(新高考)高考数学一轮复习课时练习2.2《一元二次不等式及其解法》(含解析)

1、第2讲一元二次不等式及其解法最新考纲考向预测1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.会解一元二次不等式.命题趋势不等式解法是不等式中的重要内容，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点.核心素养数学运算、逻辑推理1一元一次不等式axb(a0)的解集(1)当a0时，解集为eq blc(avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(xf(b,a)(2)当a0时，解集为eq blc(avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(x000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x

2、1，x2(x10(a0)的解集x|xx2或xx1eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(b,2a)Rax2bxc0)的解集x|x1x0(0(0对任意实数x恒成立eq blc(avs4alco1(a0， ,b24ac0.)(2)一元二次不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立eq blc(avs4alco1(a0， ,b24ac0(0)时不要忘记当a0时的情形2解不等式时忽视变形必须等价1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(3)不等式ax2b

3、xc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(4)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0得x1，即Bx|x1，所以ABx|1x23不等式eq f(x3,x1)0的解集为()Ax|x1或x3 Bx|1x3Cx|1x3 Dx|1x3解析：选C.由eq f(x3,x1)0，得eq blc(avs4alco1(（x3）（x1）0，,x10，)解得10的解集为_解析：由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x1.答案：(4，1)5(易错题)对于任意实数x，一元二次不等式mx2mx10恒成立，则实数m的取值范围是_解析：由题可得eq blc(avs4alco1(m0，,m

4、24m0，)解得4m0.所以m的取值范围是(4，0)答案：(4，0)一元二次不等式的解法 解下列关于x的不等式(1)0 x2x24；(2)ax2(a1)x10)【解】(1)原不等式等价于eq blc(avs4alco1(x2x20，,x2x24，)即eq blc(avs4alco1(x2x20，,x2x60，)即eq blc(avs4alco1(（x2）（x1）0，,（x3）（x2）0，)解得eq blc(avs4alco1(x2或x1，,2x3.)借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或20，原不等式等价于eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)0.当a1时

5、，eq f(1,a)1，eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)1时，eq f(1,a)1，解eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)0得eq f(1,a)x1；当0a1，解eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)0得1xeq f(1,a).综上所述，当0a1时，解集为eq blcrc(avs4alco1(x|1x1时，解集为eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,a)x3(x7)的解集为_解析：2x(x7)3(x7)2x(x7)3(x7)0(x7)(2x3)0，解得x7，所以原不等式的解集为eq blcrc(a

6、vs4alco1(xblc|(avs4alco1(x7).答案：eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(x7)2不等式eq f(1,x1)20的解集为_解析：不等式变为eq f(2x1,x1)0，即eq blc(avs4alco1(（2x1）（x1）0，,x10，)解得x1或xeq f(1,2).答案：eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(x1或xf(1,2)3解关于x的不等式：12x2axa2(aR)解：因为12x2axa2，所以12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1eq f(a,4)，x

7、2eq f(a,3).当a0时，eq f(a,4)eq f(a,3)，解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(a,3)；当a0时，x20，解集为x|xR，且x0；当aeq f(a,3)，解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(a,4).综上所述，当a0时，不等式的解集为xeq blc|(avs4alco1(xeq f(a,3)；当a0时，不等式的解集为x|xR，且x0；当a0时，不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(a,4).一元二次不等式的恒成立问题角度一形

8、如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围 若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则eq blc(avs4alco1(a20，,4（a2）216（a2）0，)即eq blc(avs4alco1(a2,2a2，)解得2a0a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0恒成立，则x的取值范围为()A(，2)(3，) B(，1)(2，)C(，1)(3，) D(1，3)【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)ax24x4，则由f(a)0对于任意的a1，1恒成立，得

9、f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式组eq blc(avs4alco1(x25x60，,x23x20，)得x3.故选C项【答案】Ceq avs4al()已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解 函数f(x)x2ax3.(1)若当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若当x2，2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)若当a4，6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解：(1)因为当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，解得6a2，所以实数a的取值范

10、围是6，2(2)由题意可转化为x2ax3a0在x2，2上恒成立，则(x2ax3a)min0(x2，2)令g(x)x2ax3a，x2，2，函数图象的对称轴方程为xeq f(a,2).当eq f(a,2)4时，g(x)ming(2)73a0，解得aeq f(7,3)，舍去；当2eq f(a,2)2，即4a4时，g(x)mingeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq f(a2,4)a30，解得6a2，所以4a2；当eq f(a,2)2，即a4时，g(x)ming(2)7a0，解得a7，所以7a0，,f（1）0，)所以eq blc(avs4alco1(f（0）m20，,f（1）2m

11、80，)即eq blc(avs4alco1(m4，,m0，)则4m0的解集为(，1)(3，)，则关于x的不等式x2bx2a0的解集为()A(2，5)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,5)C(2，1) Deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)解析：选A.由题意知关于x的方程(xb)(a1)x(1b)0的实数根为1和3，则eq blc(avs4alco1(（b1）（2ab）0，,（b3）（3ab2）0，)解得a5，b3(ab1舍去)则不等式x2bx2a0即为x23x100，解得2x5，故不等式x2bx2a0的解集为(2，5)故选A.2若不等式x

12、2mx10对于任意xm，m1都成立，则实数m的取值范围是_解析：由题意，得函数f(x)x2mx1在m，m1上的最大值小于0，又抛物线f(x)x2mx1开口向上，所以只需eq blc(avs4alco1(f（m）m2m210，,f（m1）（m1）2m（m1）10，)即eq blc(avs4alco1(2m210，,2m23m0，)解得eq f(r(2),2)m0的解集为()A(2，5) B(，2)(5，)C(5，2) D(，5)(2，)解析：选A.由x23x100，解得2x5.2不等式eq f(2,x1)1的解集是()A(，1)(1，) B(1，)C(，1) D(1，1)解析：选A.因为eq f

13、(2,x1)1，所以eq f(2,x1)10，即eq f(1x,x1)0，所以x1.3若不等式ax2bx20的解集为x|xeq f(1,3)，则eq f(ab,a)()Aeq f(5,6) Beq f(1,6)Ceq f(1,6) Deq f(5,6)解析：选A.由题意得方程ax2bx20的两根为eq f(1,2)与eq f(1,3)，所以eq f(b,a)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6)，则eq f(ab,a)1eq f(b,a)1eq f(1,6)eq f(5,6).4若不等式x2xm20的解集不是空集，则实数m的取值范围为()A.eq blc(rc)(avs4alc

14、o1(，f(1,2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)C.eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)解析：选B.因为不等式x2xm20，即14m20，所以eq f(1,2)m0的解集是x|x2或x1B不等式6x2x20的解集是eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(2,3)或xf(1,2)C若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，则a的值是3D若关于x的不等式x2px20得(2x1)(x1)0，解得x1或x1或xx(x2)的解集是

15、_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0 x2.答案：x|0 x27若0a0的解集是_解析：原不等式可化为(xa)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)0，由0a1得aeq f(1,a)，所以ax0，,2a0的解集是eq blc(avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(f(1,2)x0的解集解：(1)由题意知a0，即为2x25x30，即2x25x30，解得3x0的解集为eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,2).10已知函数f(x)ax2bxc(a0，b，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F

16、(x)eq blc(avs4alco1(f（x），x0，,f（x），x0，)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0，1上恒成立，试求b的取值范围解：(1)因为f(x)的最小值是f(1)0，且c1，所以eq blc(avs4alco1(f(b,2a)1,f（1）ab10)，得eq blc(avs4alco1(a1,b2)，所以f(x)x22x1(x1)2，因为F(x)eq blc(avs4alco1(f（x），x0,f（x），x0的解集是(1，2)，则下列选项正确的是()Ab0Babc0Cabc0D不等式ax2bxc0的解集是(2，1)解析：选ABD.对于A，a0

17、，1，2是方程ax2bxc0的两个根，所以121eq f(b,a)，12eq f(c,a)，所以ba，c2a，所以b0，所以A正确；令f(x)ax2bxc，对于B，由题意可知f(1)abc0，所以B正确；对于C，f(1)abc0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2bxc0，设其两根为x1，x2，所以x1x2eq f(b,a)1，x1x2eq f(c,a)2，所以两根分别为2和1.所以不等式ax2bxc0的解集是(2，1)，所以D正确12若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，则a的取值范围是()A4，1 B4，3C1，3 D1，3解析：选B.原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，

18、不等式的解集为a，1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.13在R上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_解析：由题意，可知不等式(xa)(xa)0对任意实数x都成立，所以14(a2a1)0，即4a24a30，解得eq f(1,2)aeq f(3,2).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)14某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加eq f(8,5)x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解：(1)由题意得，y100eq blc(rc)(avs4alco1(1f(x,10)100eq blc(rc)(avs4alco1(1f(8,50)x).因为售价不能低于成本价，所以100eq blc(rc)(avs4alco1(1f(x,10)800，解得0 x2.所以yf(x)40(10 x)(254x)，定义域为x|0 x2(2)由题意得40(10 x)(254x)10