第16讲 四边形综合问题-2022中考数学巅峰冲刺（解析版）

1、PAGE212022年中考数学总复习巅峰冲刺专题16四边形综合问题【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；解题要领：利用平行四边形的性质求角度时，常常运用平行线的性质和平行四边形对角相等进行等角的转化；利用平行四边形的性质求线段的长度或图形面积时，一是运用平行四边形对边相等，对角线互相平分进行等线段转化，二是运用勾股定理或相似三角形或三角函数求解解题要领：初步判断已知或可直接获得判定平行四边形的边或角的相等，再分析出需要的另外条件；防止陷阱：“一组对边平行，而另一组对边相等”不是正确的判定方法解题要领：判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；矩形的内角是直角和对角线相等，

2、相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解解题要领：判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度解题要领：判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化【名师原创】原创检测，关注素养

3、，提炼主题；【原创1】如图所示，在菱形ABCD中，BAD=120，AB=3，M,N分别从B,C两点同时出发，以相同的速度分别向终点C，D移动，连接MN在移动的过程中，MN的最小值为（）ABCD【解析】连接AM,AC,AN,ABCD,BAD=120B=60又四边形ABCD是菱形，AB=BC,ABC为正三角形，故AB=AC在ABM和ACN中，=60ABMACNBAM=CAN,AM=ANMAN=MACCAN=MACBAM=60故AMN为正三角形AM=MN当AM最短时，即AMBC时，在RtAMB中，B=60，AM=，故MN的最小值为，故选D。【原创2】如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，E是BC边的

4、中点，点，如图，作ME，由是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DEAM于点E，BFAM于点F，连接BE（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求EBF的正弦值【分析】（1）通过证明ABFDEA得到BF=AE；（2）设AE=，则BF=，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于ABE的面积与ADE的面积之和得到2=24，解方程求出得到AE=BF=6，则EF=2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解【解答】（1）证明：四边形ABCD为正方形，BA=AD，BAD=90，DEAM于点E，BFAM于点F，AFB=90，DEA=90，ABFBAF=

5、90，EADBAF=90，ABF=EAD，在ABF和DEA中，ABFDEA（AAS），BF=AE；（2）解：设AE=，则BF=，DE=AF=2，四边形ABED的面积为24，2=24，解得1=6，2=8（舍去），EF=2=4，在RtBEF中，BE=2，sinEBF=【例题3】（2022泰安）如图，ABC中，D是AB上一点，DEAC于点E，F是AD的中点，FGBC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分CAB，连接GE，CD（1）求证：ECGGHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=ACEC请你帮助小亮同学证明这一结论（3）若B=30，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由【分析】（1）依

6、据条件得出C=DHG=90，CGE=GED，依据F是AD的中点，FGAE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，CGE=GDE，利用AAS即可判定ECGGHD；（2）过点G作G2AC2AC12AD于M，交BC于N则有四边形AE，四边形CF，S1M，由题意可得：C1NO=A1MO=90，1=2=3，则A1OMOC1N，OA=5，OC=3，OA1=5，A1M=3OM=4，设NO=3，则NC1=4，OC1=3，则（3）2（4）2=9，解得：=（负数舍去），则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（，）故选：A，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的

7、中点H，连接GH若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A1BCD【分析】延长GH交AD于点、N，ND轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（）AONCOAMB四边形DAMN与OMN面积相等CON=MND若MON=45，MN=2，则点C的坐标为（0，1）【解答】解：点M、N都在y=的图象上，SONC=SOAM=，即OCNC=OAAM四边形ABCO为正方形，OC=OA，OCN=OAM=90，NC=AM，OCNOAM，A正确；SOND=SOAM=，而SONDS四边形DAMN=SOAMSOMN，四边形DAMN与MON面积相等，B正确；OCNOAM，ON=OM的值不能确定

8、，MON的值不能确定，ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，ONMN，C错误；作NEOM于E点，如图所示：MON=45，ONE为等腰直角三角形，NE=OE，设NE=，则ON=，OM=，EM=（1）在RtNEM中，MN=2MN2=NE2EM2，即22=2（1）2，2=2，ON2=（）2=42vCN=AM，CB=AB，BN=BM，BMN为等腰直角三角形，BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a在RtOCN中，OC2CN2=ON2，a2（a）2=42，解得a1=1，a2=1（舍去），OC=1，C点坐标为（0，1），D正确故选C二、填空题：6如图所示，在正方形ABCD中，

9、以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么AGD的底数是度【分析】根据已知可求得BEC的度数，根据三角形外角定理可求得AGD的度数【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABBCADCD，ABC90，ADGCDG，ABD45，GDGD，ADGCDG，AGDCGD，CGDEGB，AGDEGB，ABE是等边三角形，ABBE，ABE60，BEBC，EBC150，BECECB15，BGE180BECEBAGD60故答案为607如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，ADC=120，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（

10、到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒DEF为等边三角形，则t的值为【解析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出DAE和EMF，得到BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值【解答】解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，四边形ABCD是菱形，ADC=120AB=AD，A=60，BM=AE，AD=ME，DEF为等边三角形，DEA=DFE=60，DE=EF=FD，MEFDEA120，ADEDEA=180A=120，MEF=ADE，在DAE和EMF中，DAE和EMF（SAS），AE=MF，M=A=60，又BM=AE，BMF是等边三角形，BF=AE

11、，AE=t，CF=2t，BF=CFBF=2tt=3t，BF=4，3t=4，t=故答案为：8如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A的位置，若OB，tanBOC，则点A的坐标为【分析】如图，作辅助线；根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出AD、OD的长度，即可解决问题【解答】解：如图，过点A作AD轴与点D；设AD，OD；四边形ABCO为矩形，OABOCB90；四边形ABAD为梯形；设ABOC，BCAO；OB，tanBOC，解得：2，1；由题意得：AOAO1；ABOABO；由勾股定理得：221，由面

12、积公式得：；联立并解得：，故答案为（，）9如图，矩形ABCD中，AB4，AD6，点E为AD中点，点和N，连接MN（1）求证：ABMNDA；（2）连接BD，当BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明【分析】（1）由正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，可证得ABMADN135，又由MAN45，可证得BAMAND45DAN，即可证得ABMNDA；（2）证出四边形BMND是平行四边形，再证出BDN90，继而求得答案【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABCADCBAD90，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，ABMADN135，MAN45，BAMAND45

13、DAN，ABMNDA；（2）解：当BAM时，四边形BMND为矩形；理由如下：BAM，EBM45，AMB，BAMAMB，ABBM，同理ADDN，ABAD，BMDN，四边形ABCD是正方形ABDADB45，BDNDBM90BDNDBM180，BMDN四边形BMND为平行四边形，BDN90，四边形BMND为矩形13问题情境在四边形ABCD中，BABC，DCAC，过点D作DEAB交BC的延长线于点E，M是边AD的中点，连接MB，ME特例探究1如图1，当ABC90时，线段MB与ME的数量关系是，位置关系是；2如图2，当ABC120时，试探究线段MB与ME的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸3如图3，当A

14、BC时，请直接用含的式子表示线段MB与ME之间的数量关系解：1MBME，MBME2MEeqr3MB证明如下：连接CM，如解图所示DCAC，M是边AD的中点，MCMAMDBABC，BM垂直平分ACABC120，BABC，MBEeqf1,2ABC60，BACBCA30，DCE60ABDE，ABEDEC180，DEC60，DCEDEC60，CDE是等边三角形，ECEDMCMD，EM垂直平分CD，EM平分DEC，MECeqf1,2DEC30，MBEMEB90，即BME90在RtBME中，MEB30，MEeqr3MB3MEMBtaneqf,214如图1，在矩形ABCD中，过点B作BNMBN的形状，并说明

15、理由；（3）如图2，连接AC，分别交，由题意可知：D，=A=A，即AB=MB，B，又易证四边形BN是菱形；（3）由于=，可设DAE，AM=AB=，EF=AFAE=AC=AC，=15如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由【解答】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CMEM理由：ADEF，ADBC，BCEF，EFM=HBM在FME和BMH中，FMEBMH，HM=EM，EF=BHCD=BC，CE=CH1HCE=90，HM=EM，CM=ME，CMEM（2如图2，连接AE，四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，FDE=45，CBD=45，点B、E、D在同一条直线上BCF=90，BEF=90，M为