金融工程理论基础

金融工程理论基础金融工程理论基础投资组合理论资本资产及定价模型（CAPM)套利定价理论(APT)有效市场假说投资组合理论引言：投资组合理论的发展（一）分散投资的理念早已存在，如我们平时所说的“不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里”。但传统的投资管理尽管管理的也是多种证券构成的组合，但其关注的是证券个体，是个体管理的简单集合。投资组合管理将组合作为一个整体，关注的是组合整体的收益与风险的权衡。

Hicks（1935）提出资产选择问题，投资有风险，风险可以分散；投资组合理论的发展（二）HarryMarkowiz（1952）：PortfolioSelection，标志着现代投资组合理论（themodernportfoliotheory，MPT）的开端；WilliamSharpe（1963）提出了均值-方差模型的简化方法-----单指数模型（single-indexmodel）；WilliamSharpe（1964）、JohnLintner及（1965）JanMossin（1966）提出了市场处于均衡状态条件下的定价模型—CAPM；投资组合理论的发展（三）RichardRoll（1976）对CAPM提出了批评，认为这一模型永远无法实证检验；StephenRoss（1976）突破了CAPM，提出了套利定价模型（arbitragepricingmodel,APT)；Fama（1970）提出了有效市场假说。资本市场的混沌（Chaos）(分形）假说。现代投资组合理论的框架体系理论的基本假设资产的收益与风险分散投资和非系统风险消除有效投资组合的选择Markowitz的投资组合理论Markowitz的投资组合理论基本假设1.投资者在投资决策中只关注投资收益这个随机变量的两个数字特征：投资的期望收益和方差2.投资者是理性的，也是风险厌恶的3.投资者的目标是使期望效用最大化4.资本市场是有效的5.资本市场上的证券是有风险的6.资本市场上的每种证券都是无限可分的。这意味着，只要投资者愿意他可以购买少于一股的股票7.资本市场的供给具有无限弹性8.市场允许卖空资产的收益与风险单个资产的收益与风险资产组合的收益与风险单个资产的收益单个资产未来的收益是一个随机变量，在不同的经济状况下，这个随机变量会取不同的值，而每种经济情况又有不同的概率。因此单个资产的期望收益为其未来不同收益和对应的经济情况出现的概率的乘积之和。用公式表示为：单个资产的风险单个资产的风险为其投资收益偏离期望收益的可能性。可以用预期收益的方差或标准差来反映其风险程度。用公式表示为：投资组合的收益与风险两种资产的投资组合多种风险资产的投资组合两种资产的组合如果其中有一项资产是无风险资产，比如资产2，则有：组合1：1项风险资产与无风险资产由预期收益率的表示式可以看出，组合的预期收益是以无风险收益率为基础再加上风险补偿。风险补偿的大小取决于风险资产本身的收益率中含有的风险补偿和风险资产在组合里的比重。组合2：2项风险资产的组合风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一能够“白吃的午餐”。将多种有风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的收益率。这是马柯维茨的主要贡献。对于一般的金融工具来说，由于系统风险的存在，我们不讨论等于-1的情况。而如果等于1，意味着这两项资产的风险完全正相关。因为容许卖空，当然可以适当的选择投资比例，使得组合的方差为0.但此时有一权重取负值，由无套利原理可知，其预期收益率应该等于无风险利率。此时，两种证券的多头和空头头寸正好互相对冲，我们也可以暂时不考虑这种情况。由上不等式可知：组合的标准差不会大于标准差的组合。这说明组合确实能起到降低风险的作用。例见书多种风险资产组合的收益与风险对于包含有N种证券的资产组合P，其方差由下式决定：

若该组合是等比例地投资在各证券上，即投资在各种证券上的资本量都为1/n，则有：其中，第一项是n项有风险资产的方差的和，当n变得很大时，这一项会趋于0.但第二项不会趋于0，而是趋于协方差的平均值。

分散投资与非系统风险消除由此可以得到重要结论：当投资组合含有许多种有风险资产是，个别资产的方差将不起作用。各项资产之间的协方差有正有负，他们会起互相对冲抵消的作用，但不会完全对冲抵消。因而组合的方差就近似等于平均的协方差（未被抵消的部分）。为什么不能完全对冲抵消？因为各项资产收益变动存在同向性。这种同向性的风险是所有资产都同时承受的，被称为系统风险或市场风险；而可以对冲抵消的风险被称为非系统风险或企业风险。通过扩大投资组合（即增加所包含的资产的种类）进行风险分散化，可以消除非系统风险，但不能消除系统风险。非系统风险是企业特有的风险，诸如企业陷入法律纠纷、罢工、新产品开发失败等。系统风险则指整个市场承受的风险，指经济的景气状况、市场总体利率水平的变化等因为整个市场化境变化而产生的风险。有效投资组合一个投资者选择他的最优组合时将从下列组合集中进行：（1）对每一风险水平，提供最大预期回报率（2）对每一预期回报率水平提供最小的风险满足这两个条件的组合集被称为有效投资组合。投资的“可行集”或“机会集”

所谓投资组合，是指由一系列资产所构成的集合。可供投资的资产众多，可供选择的投资组合无穷。把所有可供选择的投资组合所构成的集合，称为投资的“可行集”（feasibleset）或“机会集”（opportunityset）。

投资组合的两种替代表示（1）不同资产的投资比重；（2）“期望收益率-标准差”图上的一个点。

以（2）的表示方式，证券组合收益风险可能的构成点，组成曲线（或面积）即为可行域。可行集

可行集也称为机会集，它可以确定有效集。可行集代表由一组N种证券所形成的所有组合。一般的，这个集合有一个如图所示的伞形形状：N可行集BHA图2.2可行集“有效集”或“有效边界”(efficientfrontier)有效组合的优势法则（dominancerules）投资者从满足如下条件的可行集里选择其最优的投资组合：1、在给定的各种风险条件下，提供最大预期收益率；2、在给定的各种预期收益率的水平条件下，提供最小的风险。(同时成立）满足上述条件的投资组合集合称为投资的“有效集”或“有效边界”。可行域包含了有效组合，有效组合的集合为有效边界.有效边界：最小方差集中位于整体最小方差组合上方的部分。最小方差集中位于整体最小方差组合下方的的相应部分，对于给定的风险，有最小的收益。有效边界的构建对于每一给定的E（r），可以解出相应的标准差，在期望收益-标准差坐标图中描点，可以得到下图实际上，最小方差曲线只有右上方的那一段是有意义的，与其对称的右下方的那一段是没有意义的。我们称最小方差曲线右上方的那一段为有效组合边界。有效边界的形状1.有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，反映“高风险、高收益”。2.有效边界是一条上凸的曲线。3.有效边界不可能有凹陷的地方。4.构成组合的证券间的相关系数越小，投资的有效边界就越是弯曲得厉害。

无差异分析与最佳组合对于投资者来说，不同的收益风险点构成相同的效用时，称这些收益风险组合的效用无差异。无差异的点的轨迹就是无差异曲线。一个投资者有无限多条无差异曲线。不同的投资者无差异曲线的形状是不同的，主要决定于投资者的风险态度。无差异曲线与有效边界的结合，可以得到投资者的最佳组合。无差异曲线的形状（一）1.无差异曲线向右上方倾斜，或者说无差异曲线上各点的斜率为正值。即随着风险的增加，要想保持相同的效用期望值，只有增加期望收益率，也就是说，必须给这增加的风险提供风险补偿。2.风险厌恶者的无差异曲线凸向横轴。即随着风险的增加，对于相同幅度的风险增加额，投资者所要求的风险补偿不断增加，即随着风险的增加，无差异曲线上的各点的斜率越来越大。上述两个性质是由投资者的永不满足及风险厌恶的特性所导致的。无差异曲线的形状（二）3.无差异曲线是密集的。即任何两条无差异曲线中间，必然有另外一条无差异曲线4.任何两条无差异曲线不可能相交。5.在无差异曲线群中，越往左上方的无差异曲线，其效用期望值越大。无差异曲线的上述性质可以保证对某一个投资者来说，必然有一条无差异曲线与投资的有效边界相切。每个投资者都有一条自己的无差异曲线，而且对每个投资者来说，这条无差异曲线是唯一的。

最优投资组合的选择I3I2I1ONBHA图2.3最优投资组合最优投资组合是指某投资者在可以得到的各种可能的投资组合中，唯一可以获得最大效用期望值的投资组合。有效集的上凸性和无差异曲线的下凸性决定了最优投资组合的唯一性。练习1投资者A先生估计了某股票收益率的概率分布如下：收益率（%）概率-100.1000.25100.40200.20300.05基于这一估计，计算该股票的期望收益和标准差。8.5%10.1%投资者李拥有三种证券，估计如下的收益率的联合概率分布：结果证券ABC概率1-101000.302010100.203105150.30420-1050.20如果投资者李有20%的资金投资于证券A，50%B，30%投资于证券C，计算组合的收益率和标准差。

练习25.3%4.7%

资本资产定价模型

资本资产及定价模型（CAPM)从马氏理论发展到CAPM，历时12年。美国，WilliamSharpe,1963年提出单因素模型，1964年提出CAPM模型，1990年获奖美国，JohnLintner1965年提出了与Sharpe的CAPM模型基本相同的模型挪威，JanMossin1966年也得出了相同结论。CAPM模型是资本市场均衡模型，是现代金融学的奠基石。资本资产定价模型模型假设条件资本市场线(CML)证券市场线(SML)CML与SML之间的区别模型假设条件1、投资者都是价格接受者2、投资者都是在同一证券持有期计划自己的投资行为3、所有投资局限于公开金融市场上的资产4、所有投资者可以在无风险利率上借或贷任何额度的资产5、理想的金融市场Notaxesandtransactioncosts.模型假设条件（续）6、对所有投资者信息无成本获得7、所有投资者的行为都是理性的，遵循马氏模型优化自己的投资行为8、所有投资者都以相同的观点和分析方法来对待各种投资工具，他们对所交易的金融工具未来的收益现金流的概率分布、预期值和方差等都有相同的估计，这就是一致预期假设。关于假设条件的说明说明之一：通常情况下，假设条件与现实不符。它只是描述了一种理想的均衡状态。均衡结果是：所有投资者将持有同一个风险资产组合----市场组合市场组合包含市场中所有的证券，每种证券的投资比例等于其市值占比。

市场风险溢价取决于整个市场投资者的平均风险厌恶程度个别证券的风险溢价取决于该证券与市场的协方差（准确地说，贝塔系数）说明之二：资本资产定价模型的成立并不需要上述所有假设条件成立。在将某些假设条件去掉后，模型仍然成立。附加以上的假设条件只是为了容易推导和解释资本资产定价模型。资本市场线分离定理或分离特性市场组合（marketportfolio）资本市场线（CML）两基金分离定理两基金分离定理：在所有有风险资产组合的有效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其他的点所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效投资组合的线性组合生成无风险资产对有效组合边界的影响在马氏投资组合理论中，假设所有资产都是有风险的，现在我们在投资组合中引入无风险资产：在加入无风险证券后，代表新的组合的点一定落在连接和包含所有可能的有风险资产组合的双曲线所围区域及其边界的某一点的半直线上这样的半直线有无数条。但我们很容易发现，当半直线围绕点逆时针旋转时，不管投资者的收益/风险偏好如何，越在上面的半直线上的点，其效用值越大。于是，效用值最大的半直线一定是与有效组合边界相切的那一条，即连接点和M点的半直线图2.4无风险资产与各种风险资产组合构成的投资组合这条半直线实际构成了无风险证券和有风险资产组合的有效组合边界。这条半直线被称为资本市场线。

MAB

HPMarkowitz组合选择模型解的性质风险与收益的关系：有无风险证券的情形无风险收益率切点组合的含义？如果M点所代表的有风险资产组合的预期收益率和标准差分别是和，投资于这一有风险资产组合的资金比例是，投资于无风险资产组合的资金比例（1-），则加上无风险证券后的组合的预期收益率和标准差为：在这个包含无风险证券和有风险资产组合的有效组合边界上，两基金分离定理依然成立。不过在这里，其中一项基金是无风险证券，而另一项则是切点M所代表的有风险资产的组合。资本市场线上任意一点所代表的投资组合都可以有一定比例的无风险证券和由M点所代表的有风险资产组合生成。因此得出一个在金融上很有意义的结果。对于从事投资服务的金融机构来说，不管投资者的收益/风险偏好如何，只要找到切点M所代表的有风险资产的组合，再加上无风险证券，就能为所有的投资者提供最佳的投资方案。投资者的收益/风险偏好就只需反映在组合中无风险证券所占的比重。因此，资产组合优化决策分离为两个步骤：第一步：“技术部分”确定最佳风险资产组合第二步：“个性部分”利用无差异曲线确定最优风险资产投资比例分离定理（续）最优风险资产组合：切点组合M：上面的切点对应的风险资产组合我们称之为最优风险资产组合。每一位投资者根据自己的无差异曲线与有效边界相切之切点确定其最优资产组合。虽然每位投资者的最优资产组合各不相同，但是在有效边界相同的情况下，投资者的最优风险资产组合是一样的。分离定理：也称分离特性，是指最优风险资产组合的确定与个别投资者的风险偏好无关。另一种解释：融资决策（无风险借贷的确定）与投资决策（风险资产组合的选择）的分离分离定理图示市场组合市场组合是这样的投资组合：它包含市场上存在的所有的资产种类，各种资产所占比例和每种资产的总市值占市场所有资产的总市值比例相同。举例说明资本市场线资本市场线(CML)：无风险资产F与市场组合M的连线（射线）。资本市场线上的点代表有效的资产组合。资本市场线方程：含义：表示有效组合的预期收益率与风险之间的关系。有效组合的预期收益率由两部分构成：一部分是无风险收益率，它是由时间创造的，是对投资者放弃即期消费的补偿；另一部分是风险溢价，它与承担风险大小成正比，是对投资者承担风险的补偿。资本市场线图示证券市场线

资本市场线反映的是有效组合的E(r)和之间之间的均衡关系，任何单个风险证券由于均不是有效组合而一定位于该直线的下方。因此资本市场线并不能告诉我们单个证券的E(r)和之间存在怎样的关系？为此，我们有必要作进一步的分析——引出证券市场线。投资者持有组合。组合越高,要求E(r)越高。因此，对于单个证券，投资者不再关注其，仅关注单个证券对组合的风险贡献。

证券市场线β系数（或β值）证券市场线(SML)β系数与资产选择β系数（或β值）市场组合方差的分解：市场组合方差可分解为各项资产与市场组合收益率之间的协方差的代数和。数学上可以证明：市场组合的方差等于所有证券与市场组合的协方差的加权和，权数等于各种证券在市场组合中的比例。β系数（续）我们注意到重要的一点：在资本资产定价模型中，每一投资者持有市场组合并关心他的方差/标准差，因为这将影响到资本市场线的斜率，进一步影响到他投资于市场组合的比例。每一证券对市场组合方差的贡献取决于他同市场组合协方差的关系。具有较大协方差的证券将被投资者认为对市场组合的风险有较大的贡献。他同样意味着：不能认为那些具有较大标准差的证券，相对于那些具有较小标准差的证券，必然会给市场组合增加更多的风险。β系数：表示某项资产的收益率对市场收益率的敏感性和反映程度，用于测量某项资产风险相对于市场风险的比率。因此，定义一个度量资产风险的相对指标单一证券预期收益与风险均衡关系证券市场线资本资产定价模型（CAPM）：决定单项资产或资产组合的预期收益率与风险之间均衡关系的定价模型Sharpe,Lintner,Mossin分别用不同方法先后给予证明。含义：在市场处于均衡条件下，单项资产或某资产组合的预期收益率与其对市场组合方差的贡献率（即β值）之间存在线性关系。证券市场线(SML)：在以β系数为横轴、预期收益率为纵轴的坐标中CAPM方程表示的线性关系证券市场线图示3．β系数与资产选择攻击型股票（aggressivestock）β系数大于1的股票市场上升时其升幅较大。防御型股票（defensivestock）β系数小于1的股票市场下降时其跌幅较小。中立型股票（neutralstock）β系数等于1的股票与市场波动一致，适于指数型基金的选择。小结SML、CML区别CML描述有效率资产组合的风险溢价是资产组合标准差的函数。SML描述单个资产风险溢价是该资产风险的函数。相同:都描述资产的风险溢价CML与SML之间的区别1．描述对象不同CML描述有效组合的收益与风险之间的关系SML描述的是单项资产或某个资产组合的收益与风险之间的关系，既包括有效组合又包括非有效组合2．风险指标不同CML中采用标准差作为风险度量指标，是有效组合收益率的标准差SML中采用β系数作为风险度量指标，是单项资产或某个资产组合的β系数因此，对于有效组合，可以用两种指标来度量其风险；而对于非有效组合，只能用β系数来度量其风险，标准差可能是一种错误度量（用于CAPM）练习区别资本市场线和证券市场线某投资者拥有一个投资组合，由3中证券构成组合中这些证券的贝塔值和比例如下：证券贝塔值比例A0.900.30B1.300.10C1.050.60请问：该组合的贝塔值？1.03练习给定市场组合的期望收益率为10%，无风险收益率6%，证券A的贝塔值0.85，证券B的贝塔值1.20：（1）画出证券市场线（2）证券市场线的方程是什么？（3）证券A和B均衡的期望收益率是多少？A9.4%B10.8%套利定价理论（APT）套利定价理论资本资产定价模型对于投资策论的选择具有重要的指导意义，而且其形式简洁优美。然而在实际应用中存在以下问题：第一，要实际计算有风险市场组合，如果不是做不到，也是非常繁重复杂的第二，证券市场线实际只考虑了有风险市场组合的预期收益率对证券或证券组合预期收益率的影响，即把市场风险（系统风险）全部集中表现在一个因素里，这样的分析自然过于笼统。事实上影响总体市场环境变化的宏观因素是多方面的，可以集中的表现为一些宏观经济变量的变化，如国民收入、通胀率、利率水平、能源价格等等。这样分析单个或多个因素对证券或证券组合市场价值的影响，当然是很有实际意义的。因素模型单因素模型多因素模型单因素模型假设：资产的收益率受单一因素的影响。因素模型的假设基础仍然是资产收益率之间存在关联性，但它认为资产收益率之间的关联性是一种或多种因素变动对不同资产所产生的影响的间接反映。单因素模型：其中bi表示资产i对因素F的敏感度，与β系数类似，用以反映资产风险相对于因素变化的大小。单因素模型（续）因素风险与非因素风险单项资产的总风险资产组合的总风险因素风险：等式右边第一项非因素风险：等式右边第二项投资分散化将导致因素风险的平均化和非因素风险的降低单指数模型（SIM）单指数模型(SIM)或市场模型：以市场指数为因素的单因素模型单指数模型(SIM)的优点：减少有效组合的计算量，它是Sharpe引入单指数模型的初衷直接计算协方差用SIM计算协方差多因素模型假设：资产收益率受多种因素的影响。譬如，GDP增长率、利率水平、行业增长率、市场收益率等等。

多因素模型多因素模型的应用多因素模型在理论上和实践中已经得到了广泛的应用。譬如，后面要介绍的套利定价理论就以多因素模型作基础假设。作为资产收益率生成过程，多因素模型已被许多经验结果所证实，如Chen,RollandRoss(1986)的五因素模型和Fama-French(1993)的三因素模型。另外，许多投资实践都基于多因素模型。

套利定价理论套利资产组合套利定价线套利资产组合基础性假设：资产收益率受一种或多种因素的影响，可由因素模型决定。或者说，资产收益率的生成过程是因素模型。另外，假设投资者喜欢获利较多的投资策略、市场上有大量不同的资产、允许卖空等。竞争性均衡状态：不存在套利机会。所谓套利机会，是指市场中没有不承担风险、不需要额外资金就能获得收益的机会。套利资产组合（续）套利资产组合满足的条件：不需要额外投资：不承担(因素)风险：具有正的收益率：套利证券组合实例：三个股票的期望收益率分别为8%、13%、20%，β系数（因素敏感度）分别是1、2、3。如果投资比例分别为1、-2、1，则该投资组合的投资额为0、风险为0，而收益却为