第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图

第八章立体几何第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1.下列四个几何体中，几何体只有主视图和左视图相同的是()A．①② B．①③C．①④ D．②④解析由几何体分析知②④中主视图和左视图相同．答案D2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是 ()．A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．答案A3．将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为 ()．解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1答案B4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答案D5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()．A.eq\f(\r(2),4)a2B．2eq\r(2)a2C.eq\f(\r(2),2)a2D.eq\f(2\r(2),3)a2解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝eq\f(\r(2),4)S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于eq\f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq\r(2)a2.故选B.答案B6．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ()．解析选项C不符合三视图中“宽相等”的要求．答案C二、填空题7.如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________(填序号解析B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应分别在边CC1和DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．答案②8．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析(构造法)由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1-ABCD)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长AB＝2知最长棱AC1的长为2eq\r(3).答案2eq\r(3)9．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上正确结论的序号是________．解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案①10．图(a)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；图(b)中的三视图表示的实物为________．图(a)图(b)解析(1)由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由4块长方体组成．(2)由三视图可知几何体为圆锥．答案4圆锥三、解答题11．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；解(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm3)．12．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和eq\r(2)x.∵△VA1C1∽△VMN，∴eq\f(\r(2)x,2r)＝eq\f(h－x,h)，∴x＝eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).即圆锥内接正方体的棱长为eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).13．正四棱锥的高为eq\r(3)，侧棱长为eq\r(7)，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，高OS＝eq\r(3)，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq\r(7)，在Rt△SOA中，OA＝eq\r(SA2－OS2)＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2eq\r(2).作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，∵OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，SO＝eq\r(3)，∴SE＝eq\r(5)，即侧面上的斜高为eq\r(5).14．(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2还是图3?(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？(3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？解(1)该三棱锥在侧(右)投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的侧视图应是图2.(2)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中OA、OB、OC两两垂直，∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是锐角三角形．设AO＝a，OC＝c，OB＝b，则AC＝eq\r(a2＋c2)，BC＝eq\r(c2＋b2)，AB＝eq\r(a2＋b2)，∴cos∠BAC＝eq\f(a2,\r(a2＋b2)·\r(c2＋a2))>0，