n811多元函数的极限与连续

第8章多元函数微分法及其应用第8章多元函数微分法及其应用128.1

多元函数的极限与连续平面点集多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考题作业functionofmanyvariables28.1多元函数的极限与连续平面点集多元函数的概念多元函数2一维数轴上的邻域:回忆一、平面点集一维数轴上的邻域:回忆一、平面点集34（1）邻域(Neighborhood)将邻域去掉中心称之为去心邻域.4（1）邻域(Neighborhood)将邻域去掉中心称之为45（2）区域5（2）区域56667连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，7连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，78有界闭区域；无界开区域．例如，8有界闭区域；无界开区域．例如，89OxyOxyOxy

Oxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域9OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭910（3）聚点

内点一定是聚点；说明：

边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．10（3）聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例1011

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．11点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,1112（4）n维空间n维空间的记号为说明：n维空间中两点间距离公式12（4）n维空间n维空间的记号为说明：n维空间中两1213n维空间中邻域、区域等概念

特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为13n维空间中邻域、区域等概念特殊地当1314（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．14（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．1415多元函数定义域:定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.实际问题中的函数:的自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义15多元函数定义域:定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.1516例1

求的定义域．解所求定义域为16例1求1617解Oxy定义域是有界半开半闭区域17解Oxy定义域是有界半开半闭区域1718一元函数的图形一元函数的图形是平面上的一条曲线回忆18一元函数的图形一元函数的图形是平面上的一条曲线回忆1819

二元函数的图形是空间的一张曲面二元函数的图形19二元函数的图形是空间的一张曲面二元函数的图形1920例上半球面下半个圆锥面2D20例上半球面下半个圆锥面2D2021例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:21例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:2122

的图形是双曲抛物面(马鞍面).又如,它在xOy平面上的投影是全平面.22的图形是双曲抛物面(马鞍面).又如,它在xOy平面上的2223回忆:一元函数的极限

讨论二元函数二、多元函数的极限23回忆:一元函数的极限讨论二元函23有简写有简写2425Oxy路径又是多种多样的.方向有任意多个,Oxy说明：（1）定义中的方式是任意的；25Oxy路径又是多种多样的.方向有任意多个,Oxy说明：（2526（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．(doublelimit)26（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算2627例2

求证证由夹逼准则，原结论成立．27例2求证证由夹逼准则，原结论成立．2728例3

求极限解其中28例3求极限解其中2829例4

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．29例4证明2930确定极限不存在的方法：30确定极限不存在的方法：3031极限是否存在？练习取解

极限不存在.取31极限是否存在？练习取解极限不存在.取3132

关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.32关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函3233三、多元函数的连续性定义333三、多元函数的连续性定义33334例6

讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．34例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同3435闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．f(P)是有界闭区域D上的多元连续函数，则f(P)在D上可取得介于任意两个不同函数值之间的任何值．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理35闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续3536多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．36多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则3637例７解37例７解3738作业习题8.1(第313页)38作业习题8.1(第313页)38第8章多元函数微分法及其应用第8章多元函数微分法及其应用39408.1

多元函数的极限与连续平面点集多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考题作业functionofmanyvariables28.1多元函数的极限与连续平面点集多元函数的概念多元函数40一维数轴上的邻域:回忆一、平面点集一维数轴上的邻域:回忆一、平面点集4142（1）邻域(Neighborhood)将邻域去掉中心称之为去心邻域.4（1）邻域(Neighborhood)将邻域去掉中心称之为4243（2）区域5（2）区域434464445连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，7连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，4546有界闭区域；无界开区域．例如，8有界闭区域；无界开区域．例如，4647OxyOxyOxy

Oxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域9OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭4748（3）聚点

内点一定是聚点；说明：

边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．10（3）聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例4849

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．11点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,4950（4）n维空间n维空间的记号为说明：n维空间中两点间距离公式12（4）n维空间n维空间的记号为说明：n维空间中两5051n维空间中邻域、区域等概念

特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为13n维空间中邻域、区域等概念特殊地当5152（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．14（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．5253多元函数定义域:定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.实际问题中的函数:的自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义15多元函数定义域:定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.5354例1

求的定义域．解所求定义域为16例1求5455解Oxy定义域是有界半开半闭区域17解Oxy定义域是有界半开半闭区域5556一元函数的图形一元函数的图形是平面上的一条曲线回忆18一元函数的图形一元函数的图形是平面上的一条曲线回忆5657

二元函数的图形是空间的一张曲面二元函数的图形19二元函数的图形是空间的一张曲面二元函数的图形5758例上半球面下半个圆锥面2D20例上半球面下半个圆锥面2D5859例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:21例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:5960

的图形是双曲抛物面(马鞍面).又如,它在xOy平面上的投影是全平面.22的图形是双曲抛物面(马鞍面).又如,它在xOy平面上的6061回忆:一元函数的极限

讨论二元函数二、多元函数的极限23回忆:一元函数的极限讨论二元函61有简写有简写6263Oxy路径又是多种多样的.方向有任意多个,Oxy说明：（1）定义中的方式是任意的；25Oxy路径又是多种多样的.方向有任意多个,Oxy说明：（6364（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．(doublelimit)26（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算6465例2

求证证由夹逼准则，原结论成立．27例2求证证由夹逼准则，原结论成立．6566例3

求极限解其中28例3求极限解其中6667例4

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．29例4证明6768确定极限不存在的方法：30确定极限不存在的方法：6869极限是否存在？练习取解

极限不存在.取31极限是否存在？练习取解极限不存在.取6970

关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.32关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函7071三、多元函数的连续性定义333三、多元函数的连续性定义37172例6

讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．34例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同7273闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．f(P)是有界闭区域D上的多元连续函数，则f(P)在D上可取得介于任意两个