绝对值大全(零点分段法、化简、最值)-1

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绝对值大全〔零点分段法、化简、最值〕

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后,其解法与一般不等式的解法一样。因而把握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

１利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x|＝(0)(0)xxxx≥??

-????≤?；｜

x｜>c(0)

0(0)(0)xcxccxcxRc>??

?≠=??∈c(c>０)来解,如｜axb+|>c(c>０〕可为axb+＞c或axb+

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号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它能够把求解条理化、思路直观化。

5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观,能够使复杂问题简单化，此解法适用于||||xaxbm-+->或||||xaxbm-+-(或＜m)，当｜a｜≠|c｜时一般不用。

二、怎样化简绝对值

绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生碰到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。

(一)、根据题设条件例１：设化简

的结果是〔〕。(A)

(B〕

〔Ｃ)(D〕

思路分析:由可知

可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合

并整理后再用同样方法化去.

解:

∴应选(Ｂ〕.

归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路．

(二)、借助数轴

例２：实数ａ、b、ｃ在数轴上的位置如下图，则代数式的

值等于〔)．

(Ａ)

(B〕

〔C)

(D)

思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝

对值符号扫清了障碍．

解：原式

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∴应选〔C).

归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：

１．零点的左边都是负数,右边都是正数.

2．右边点表示的数总大于左边点表示的数.

3．离原点远的点的绝对值较大,谨记这几个要点就能沉着自若地解决问题了.

(三)、采用零点分段讨论法

例3:化简

思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论.

解:令得零点:;令得零点：，把数轴上的数分为三个部分〔如图〕

①当时，

∴原式

②当时,,

∴原式

③当时，，

∴原式

∴

归纳点评:固然的正负不能确定,但在某个详细的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个)．

２.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．

３．在各区段内分别考察问题．

４.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案.

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误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果.

三、带绝对值符号的运算

在初中数学教学中,怎样去掉绝对值符号？由于这一问题看似简单,所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点,还是学生容易搞错的问题。那么，怎样去掉绝对值符号呢?我以为应从下面几个方面着手：

(一)、要理解数a的绝对值的定义。

在中学数学教科书中，数ａ的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数ａ的点到原点的距离叫做数ａ的绝对值。〞学习这个定义应让学生理解,数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不管数ａ本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。

?〔二)、要弄清楚如何去求数ａ的绝对值。

从数ａ的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数,零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是,当a是一个负数时,如何去表示a的相反数(可表示为“-ａ〞),以及绝对值符号的双重作用(一是非负的作用，二是括号的作用〕。

(三〕、把握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。?

１、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质,判定出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a＞0时,︱a︱=a(性质1:正数的绝对值是它本身)；

当a＝0时，︱ａ︱=０〔性质２:0的绝对值是０〕；?当ａ＜０时；︱ａ︱=–ａ(性质3：负数的绝对值是它的相反数〕。

2、对于形如︱ａ+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体,再判定a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。

当a+ｂ＞０时，︱a+ｂ︱=〔a+ｂ)=a+b(性质1：正数的绝对值是它本身);?当a＋b＝0时，︱a＋b︱＝(ａ+ｂ)=0(性质2:0的绝对值是0);?当ａ+b＜0时,︱ａ+ｂ︱＝–(a+b〕=–ａ-b(性质3:负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如︱a-ｂ︱的一类问题

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同样,仍然要把a-b看作一个整体,判定出a-b的３种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。

但在去括号时最容易出现错误。怎样快速去掉绝对值符号，条件非常简单,只要你能判定出a与b的大小即可〔不管正负)。由于︱大-小︱＝︱小-大︱=大-小,所以当ａ>b时,︱a-b︱=〔a-b〕＝a－b，︱ｂ－a︱=〔a-ｂ〕=a-ｂ。

口诀:无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值,都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快速有效。如︱ａ-b︱的一类问题，只要判定出a在ｂ的右边(不管正负)，便可得到︱a-ｂ︱=〔a－b)=a-ｂ，︱b-ａ︱=(a-b)=a-ｂ。

５、对于绝对值符号前有正、负号的运算

非常简单,去掉绝对值符号的同时,不要忘记打括号。前面是正号的无所谓,假如是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也!

６、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比拟,大于０直接去绝对值号,小于0的整体前面加负号。

四、去绝对值化简专题练习

〔1)设化简的结果是(B)。

〔Ａ〕〔B〕〔C)〔Ｄ〕

(2)实数a、b、c在数轴上的位置如下图,则代数式的值等于〔C〕。

〔A〕〔Ｂ)(C)〔D〕

〔3)已知,化简的结果是x－8。

(4〕已知,化简的结果是-x＋8。

(5〕已知,化简的结果是－3x。

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(6〕已知a、b、c、ｄ知足

且,那么ａ

+b+c+d=0(提示:可借助数轴完成〕(7)若

，则有(A)。(A〕

〔B)

〔C)

〔Ｄ〕

(８)有理数a、b、ｃ在数轴上的位置如下图,则式子化简结果为

(C).

(A)

〔B〕

〔C〕

〔Ｄ〕

〔9〕有理数a、ｂ在数轴上的对应点如下图，那么下列四个式子，

中负数的个数是(B).

〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3(10)化简

=

〔1〕－3ｘ(x2)〔1１〕设x是实数,下列四个结论中正确的是〔Ｄ)。

〔Ａ)y没有最小值

(B〕有有限多个x使y取到最小值(C〕只要一个ｘ使y获得最小值

(Ｄ〕有无穷多个ｘ使y获得最小值

五、绝对值培优教案

绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念,在解代数式化简求值、解方程(组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、把握绝对值这一概念,应从下面方面人手:

l.绝对值的代数意义：??

?

??=)0()0(0)0(aaaaaa

2.绝对值的几何意义从数轴上看,a表示数a的点到原点的距离〔长度，非负);

ba-表示数a、数b的两点间的距离.

3.绝对值基本性质

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①非负性:0≥a；②baab?=；③)0(≠=bb

aba;④222

aaa==．培优讲解

〔一〕、绝对值的非负性问题

【例1】若3150xyz+++++=,则xyz--=。总结:若干非负数之和为0,。〔二)、绝对值中的整体思想

【例2】已知4,5==ba，且abba-=-，那么ba+=．

变式1.若|m－1|＝m-1，则m_______1；若｜m－１|>m－１，则m＿__＿_＿_1;

(三〕、绝对值相关化简问题(零点分段法)【例3】阅读下列材料并解决有关问题：

我们知道()

()()

0000

??

?

??-=xxxxx

x，如今我们能够用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++xx时,可令01=+x和02=-x,分别求得2,1=-=xx(称2,1-分别为

1+x与2-x的零点值〕。在有理数范围内，零点值1-=x和2=x可将全体有理数分成不

重复且不遗漏的如下３种情况:

〔1)当1-

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变式1.化简(1)12-x;(2)31-+-xx；

变式2．已知23++-xx的最小值是a，23+--xx的最大值为b,求ba+的值。

〔四)、ba-表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离．

【例4】(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-,3与５，2-与

6-,4-与3.

并回答下列各题：

(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答：＿＿_.(2〕若数轴上的点A表示的数为x，点Ｂ表示的数为―1,则A与B两点间的距离

能够表示为_____＿＿_＿＿___＿.

〔３)结合数轴求得23xx-++的最小值为，获得最小值时x的取值范围为_＿＿．

(4〕知足341>+++xx的x的取值范围为＿_____．〔5〕若1232020xxxx-+-+-++-的值为常数,试求x的取值范围.

〔五)、绝对值的最值问题

【例5】〔1〕当x取何值时,3-x有最小值？这个最小值是多少？(２)当x取何值时,25+-x有最大值？这个最大值是多少？〔3)求54-+-xx的最小值。(4〕求

987-+-+-xxx的最小值。

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【例６】.已知1,1≤≤yx,设421--++++=xyyyxM,求M的最大值与最小值．

课后练习：

1、若|1|ab++与2

(1)ab-+互为相反数,求321ab+-的值。

２.若

1

++ba与2)1(+-ba互为相反