排列组合用A还是C的技巧

排列组合用A还是C的技巧排列组合用A还是C的技巧排列组合用A还是C的技巧排列组合用A还是C的技巧编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:排列组合用A还是C的技巧．解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有(）A．120种B．96种C．78种D．72种分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有P(4,4)=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有C(3,1)*C(3,1)*P(3,3)=54种排法，由分类计数原理，排法共有78种，选C。解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。例2、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？分析：因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选2个有C(4,2)种，从4个盒中选3个盒有C(4,3)种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有P(3,3)种，故所求放法有C(4,2)*C(4,3)*P(3,3)=144种。二、特殊元素与特殊位置优待法对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。例3、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。A．24个B。30个C。40个D。60个[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有P(4,2)=12个，2）0不排在末尾时，则有C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18个，由分数计数原理，共有偶数30个，选B。例4、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。故关灯方法种数为C(4,3)=4。三、插空法、捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。例5、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析：先将其余四人排好有P(4,4)种排法，再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有P(5,3)种方法，这样共有P(4,4)*P(5,3)=1440种不同排法。对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。例6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有P(5,5)种排法，而甲乙、丙、之间又有P(3,3)种排法，故共有P(5,5)*P(3,3)=720种排法。四、排除法对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。例如在例3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有C(4,1)P(4,2)=48个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故有C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=30个偶数。五、顺序固定问题用“除法”(对等法)对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。例7、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件，排队方法有P(6,6)种，而其中甲、乙、丙的种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有P(6,6)/P(3,3)=120种。六、构造模型“挡板法”对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C(11,3)=165。例9、把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数？解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入2块隔板共有C(6,2)=15种插法。又如六个“优秀示范员”的名额分配给四个班级，有多少种不同的分配方法经过转化后都可用此法解。七、分排问题“直排法”把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。例9、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有P(7,7)=5040种。八、构造方程或不等式例10：某赛季足球比赛的记分规则是：胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分。一球队打完15场积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平情况共有（）种种种种解析：设该队胜x场，平y场，则负(15-x-y)场，由题意得3x+y=33y=33-3x(0≤x≤11且x+y≤15)因此，有以下三种情况：x=11,y=0或x=10,y=3或x=9,y=6故选A例12、把一张20元面值的人民币换成1元、2元或5元面值的人民币，有多少种不同的换法？解：设对换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，5元的人民币z张，则x+2y+5z=20当z=0时，x+2y=20,x可以取0、2、4…20，有11种方法。当z=1时，x+2y=15,x可以取1、3、5…15，有8种方法。当z=2时，x+2y=10,x可以取0、2、4…10，有6种方法。当z=3时，x+2y=5,x可以取1、3、5有3种方法。当z=4时，x+2y=0,x=0，y=0,1种方法。故共有11+8+6+3+1=29种方法。九、枚举法：有些计数问题由于条件过多，从排列或组合的角度思考不太方便，可以尝试用枚举法，枚举时也要按照一定的思路进行，才能做到不重不漏。例11：某寝室4名同学各写了一张新年贺卡，先集中起来，然后每人从中取走一张别人写的贺卡，问有多少种不同的取法？解：设4位同学分别为A、B、C、D，各人取别人贺卡的不同取法可罗列成下表：同学A同学B同学C同学D1BADC2BCDA3BDAC4CADB5CDA