常数项级数的概念和性质课件

第八章无穷级数第八章无穷级数1

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。(常)数项级数级数幂级数函数项级数正项级数任意项级数(交错级数)傅里叶级数无穷级数是高等数学的一个重要组成(常)数项级数2§1.常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念定义：

称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。设给定一个数列{un}:问题：

(即有没有和数)其中

un

称为级数的一般项（或通项），§1.常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念定义：32.部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的，无限项相加是否有和数？可能有，也可能没有。如何研究它？通过有限项去认识和研究无限项。定义：级数前n项之和:组成的数列称为级数的部分和数列。2.部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的，无限项相加4部分和数列{Sn}：显然,

与级数

建立了一一对应的关系:部分和数列{Sn}：显然,5

发散的级数没有和。

极限值

S

称为级数的和。3.

级数的收敛和发散定义：(C)(D

)convergencediverge发散的级数没有和。极限值S称为级数的和。3.6其差值

rn

=称为级数的余项。其差值rn=称为级数的余项。7例题

讨论等比级数

(几何级数)

的敛散性：

例1.解：例题讨论等比级数(几何级数)8常数项级数的概念和性质课件9解：∴原级数(D)例2.解：∴原级数(D)例2.10例3.

解：

∴原级数(C)例3.11例4.

解:

作出此级数，并求其和。=2，例4.解:作出此级数，并求其和。=2，12二、级数的基本性质性质1.

推论：k

是常数，二、级数的基本性质性质1.推论：k是常数，13性质2.

收敛级数可逐项相加减。设有两个收敛级数推论：

性质2.收敛级数可逐项相加减。设有两个收敛级数推论：14由性质2：矛盾！推论：

(C)+(D)=>(D)

证：(C)+(C)=>(C)由性质2：矛盾！推论：(C)+15两个发散级数逐项相加减后的情况不定。如：两个发散级数逐项相加减后的情况不定。如：16

在级数前加上或去掉或改变有限项，不影响级数的敛散性,但收敛时其和会改变。∴(C),例：性质3.(C)(C) 在级数前加上或去掉或改变有限项，不影响级数的敛散性,17收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛，且其和不变。证：

部分和为

Sn

，性质4.按某一规律加括号后的级数：证毕收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛18收敛于0，去括号后∴(D)

收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛。1.例：注意：换言之，加括号后的级数收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛。收敛于0，去括号后∴(D)收敛级数去括号后所成的19加括号后所成的级数发散，3.则原级数也发散。（反证即得）2.

发散级数加括号后所成级数不一定发散。例：

(D)(C)加括号后所成的级数发散，3.则原级数也发散。（反证即得20

性质5.

证：

（级数收敛的必要条件）说明：性质5.证：（级数收敛的必要条件）说明：21例1.

∴级数发散。例2.证明调和级数发散。证：(反证)且

解:

例1.∴级数发散。例2.证明调和级数发散。证：(反证)22但矛盾！

可见,但矛盾！可见,23三、柯西审敛准则定理（柯西审敛准则）三、柯西审敛准则定理（柯西审敛准则）24例：利用柯西审敛准则判断级数的敛散性。解例：利用柯西审敛准则判断级数的敛散性。解25所以由柯西审敛准则知，级数收敛。所以由柯西审敛准则知，级数收敛。26课外作业

习题8—12(3,4),4(2,3,4),5(3,5,7)课外作业习题8—12(327§2.正项级数及其审敛法1.定义：

许多级数敛散性的判断都可以归结为正项级数的敛散性的判断。§2.正项级数及其审敛法1.定义：许多级数敛散282.正项级数收敛的充要条件

证：

收敛数列必有界，定理：(C)证毕2.正项级数收敛的充要条件证：29如：

有界无界则其必发散。如：有界无界则其303.审敛法（判别法）比较审敛法：设有两个正项级数(C),(C).(1)(2)(D),(D).则（大的收敛则小的也收敛）（小的发散则大的也发散）3.审敛法（判别法）比较审敛法：设有两个正项级数(C),(31

证:

(1)(2)证:(1)(2)32

推论.

即正项级数若从某项后满足比较审敛法的条件，仍得同样结果。结论同样成立；甚至上式只要在某个自然数后开始成立即可。推论.即正项级数若从某项后满足比较审仍33(重要级数)证：(重要级数)证：34即有界证毕即有界证毕35

因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较，等比级数

P--级数所以必须掌握一些已知敛散的级数。常用：调和级数(D)因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较，等比36

判别下列正项级数的敛散性：(1)解：例1.判别下列正项级数的敛散性：(1)解：例1.37(2)解：(2)解：38(3)解：或

(3)解：或39(4)解：(4)解：40(4)解：所以由比较审敛法知，原正项级数是发散的。(4)解：所以由比较审敛法知，原正项级数是发散的。41(5)

解：所以原正项级数发散.(5)解：所以原正项级数发散.42

比较审敛法的极限形式:

设正项级数比较审敛法的极限形式:设正项级数43证:

所以由极限定义,由正项级数的比较审敛法知同时收敛或同时发散;(1)当0<l<+∞时,证:所以由极限定义,由正项级数的比较审敛法知同时收敛或同44(3)当l=+∞时,即

若发散,(2)当l=

0时,收敛,若由正项级数的比较审敛法知,由正项级数的比较审敛法知,证毕(3)当l=+∞时,即若发散,(2)当l=45发散,故原级数发散.重解前面的题(5)

此解法远比前一解法简单!发散,故原级数发散.重解前面的题(5)此解法远比前一解46

判别前例中级数(1),(2)的敛散性：∴原级数收敛。例2：解：=1判别前例中级数(1),(2)的敛散性：∴原级数收敛。例47∴原级数发散。=1解：∴原级数发散。=1解：48例3：

解：判别级数的敛散性：∴原级数发散。=1例3：解：判别级数的敛散性：∴原级数发散。=149

解：∴原级数收敛。解：∴原级数收敛。50例4：

判别级数的敛散性：

解：原级数收敛。例4：判别级数51例5：并举例说明反之不成立。证：由比较审敛法，得证。反例：例5：并举例说明反之不成立。证：由比较审敛法，得证。反例：52课外作业

习题8—2(A)1(4,5,6)

习题8—2(B)3,5,6课外作业习题8—2(A)1(4,5,53比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数，若则当敛散性不定比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数54证:收敛,由比较审敛法可知(1)(公比为r的等比级数)证:收敛,由比较审敛法可知(1)(公比为r的等比级数)55因此所以级数发散.(2)从而请同学们完成.因此所以级数发散.(2)从而请同学们完成.56(3)级数敛散性不定.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.(3)级数敛散性不定.例如,p–级数但级数收敛;级数57更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。58

例1.

解：∴原级数收敛。判别下列正项级数的敛散性：<1,例1.解：∴原级数收敛。判别下列正项级数的敛散性：59解：

∴原级数收敛。=解：∴原级数收敛。=60(3)解：由此题结论还可得:(3)解：由此题结论还可得:61(4)解：(4)解：62例2.判别正项级数解：的敛散性。由比值审敛法得：原级数收敛；例2.判别正项级数解：的敛散性。由比值审敛法得：原级数收63例2.判别正项级数的敛散性。原级数发散；比值审敛法失效，但注意到此时而是单调增加趋于e，所以原级数也发散。例2.判别正项级数的敛散性。原级数发散；比值审敛法失效，64例3：若正项级数收敛,答：否！例：若用比值法：(n

偶)(n

奇)例3：若正项级数收敛,答：否！例：若用比值法：(n偶)(n65根值审敛法（柯西判别法）设正项级数则当敛散性不定根值审敛法（柯西判别法）设正项级数则当敛散性不定66时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数

说明:但级数收敛;级数发散.时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明67更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。68

例：判别下列级数的敛散性1.解：2.解：例：判别下列级数的敛散性1.解：2.解：693.解：4.解：=2>13.解：4.解：=2>170解：所以原级数收敛。r解：所以原级数收敛。r716.证：6.证：72

比值审敛法与根值审敛法相比，后者应用范围更广，这是因为，反之则未必。所以，凡是能用比值审敛法判定收敛或发散的正项级数，用根值审敛法也能够判定收敛或发散；而有些正项级数用比值审敛法得不到结果，但是用根值审敛法可以得到结果。不过在多数的应用中，比值审敛法比根值审敛法要方便一些，因为一般情况，前者极限（如果存在的话）的计算要比后者极限的计算容易一些。比值审敛法与根值审敛法相比，后者应用范围更广，73积分审敛法：积分审敛法：74例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解所以p-

级数发散；续、非负且单调减少的，且由第五章第五节例1(教材第49页)的讨论知，例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解所以p75例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解则由积分审敛法知，综合上述讨论，有p-级数

例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解则由积分审76

前面介绍的判别正项级数敛散性的几个审敛方法，它们都是充分条件。如果用它们无法判断该正项级数敛散性，那么就要尝试用级数收敛的定义、收敛级数的性质等去判别。前面介绍的判别正项级数敛77课外作业

习题8—2(A)2(2,3),4(双),5(3,5)

习题8—2(B)1(双),2(3)课外作业习题8—2(A)2(2,3)78§3.交错级数和任意项级数及其审敛法

各项正负交错的级数称为交错级数。定义：如：其中一、交错级数及其审敛法§3.交错级数和任意项级数及其审敛法各项正负交错的级数79交错级数审敛法（莱布尼兹定理）若交错级数满足条件：则此级数收敛，

交错级数审敛法（莱布尼兹定理）若交错级数满足条件：则此级数收80证：证：81由数列收敛性质，注意：此收敛法的条件是充分而非必要的。由数列收敛性质，注意：此收敛法的条件是充分而非必要的。82判别下列级数的敛散性：(1)解：例：莱布尼兹级数判别下列级数的敛散性：(1)解：例：莱布尼兹级数83(2)解：(2)解：84(3)解：即前例(3)解：即前例85二、任意项级数及其审敛法任意项级数的敛散情况有下列三种：

对任意项级数，一般有无穷多正项，无穷多负项，但其各项的绝对值组成了正项级数:1.绝对收敛；2.条件收敛；3.发散。二、任意项级数及其审敛法任意项级数的敛散情况86定义：(A.C)(C.C)定义：(A.C)(C.C)87定理：绝对收敛的级数必收敛。定理：绝对收敛的级数必收敛。88证：证：89说明：

绝对收敛级数都是收敛级数，反之不成立，即收敛级数未必是绝对收敛级数。例：说明：绝对收敛级数都是收敛级数，反之例：90注意：注意：91例：例：92(2)(2)93

判别下列级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛：(1)例：判别下列级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛94(2)解：用比值法(2)解：用比值法95(3)解：(3)解：96(4)解：不满足级数收敛的必要条件，(4)解：不满足级数收敛的必要条件，97(5)解：(5)解：98(6)解：交错级数。(若用比值法，极限=1)(6)解：交错级数。(若用比值法，极限=1)99>?>?100

为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛？

绝对收敛级数可以任意交换项的位置而不因为有很多性质是绝对收敛级数所具备的，而条件收敛的级数不具备。如：性质1.改变它的收敛性及和数。注：条件收敛的级数不具有这一性质。如：条件收敛，其和记为S。可以证明重新排序后的级数收敛于为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛？绝对收敛级数可以101条件收敛，其和记为S。证明重新排序后的级数收敛于它收敛于再将它与原级数逐项相加，得重新排序后的级数显然收敛于条件收敛，其和记为S。证明重新排序后的级数收敛于它收敛于102黎曼于1854年证明了：可以把任何一个条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何事先指定的数;也可以使重排后的级数发散于正无穷大或负无穷大。黎曼于1854年证明了：可以把任何一个103直角乘积直角乘积104柯西乘积柯西乘积105

两个绝对收敛级数的乘积(柯西乘积)性质2.所成的级数也绝对收敛。实际上,任意方式的乘积都有此结论.两个绝对收敛级数的乘积(柯西乘积)性质2.所成的级数也绝106交错级数判断敛散性的步骤：是交错级数判断敛散性的步骤：是107课外作业

习题8—3(A)(2),(4),(6)

习题8—3(B)1(4,5,6),3课外作业习题8—3(A)(2),(108第八章无穷级数第八章无穷级数109

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。(常)数项级数级数幂级数函数项级数正项级数任意项级数(交错级数)傅里叶级数无穷级数是高等数学的一个重要组成(常)数项级数110§1.常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念定义：

称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。设给定一个数列{un}:问题：

(即有没有和数)其中

un

称为级数的一般项（或通项），§1.常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念定义：1112.部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的，无限项相加是否有和数？可能有，也可能没有。如何研究它？通过有限项去认识和研究无限项。定义：级数前n项之和:组成的数列称为级数的部分和数列。2.部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的，无限项相加112部分和数列{Sn}：显然,

与级数

建立了一一对应的关系:部分和数列{Sn}：显然,113

发散的级数没有和。

极限值

S

称为级数的和。3.

级数的收敛和发散定义：(C)(D

)convergencediverge发散的级数没有和。极限值S称为级数的和。3.114其差值

rn

=称为级数的余项。其差值rn=称为级数的余项。115例题

讨论等比级数

(几何级数)

的敛散性：

例1.解：例题讨论等比级数(几何级数)116常数项级数的概念和性质课件117解：∴原级数(D)例2.解：∴原级数(D)例2.118例3.

解：

∴原级数(C)例3.119例4.

解:

作出此级数，并求其和。=2，例4.解:作出此级数，并求其和。=2，120二、级数的基本性质性质1.

推论：k

是常数，二、级数的基本性质性质1.推论：k是常数，121性质2.

收敛级数可逐项相加减。设有两个收敛级数推论：

性质2.收敛级数可逐项相加减。设有两个收敛级数推论：122由性质2：矛盾！推论：

(C)+(D)=>(D)

证：(C)+(C)=>(C)由性质2：矛盾！推论：(C)+123两个发散级数逐项相加减后的情况不定。如：两个发散级数逐项相加减后的情况不定。如：124

在级数前加上或去掉或改变有限项，不影响级数的敛散性,但收敛时其和会改变。∴(C),例：性质3.(C)(C) 在级数前加上或去掉或改变有限项，不影响级数的敛散性,125收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛，且其和不变。证：

部分和为

Sn

，性质4.按某一规律加括号后的级数：证毕收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛126收敛于0，去括号后∴(D)

收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛。1.例：注意：换言之，加括号后的级数收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛。收敛于0，去括号后∴(D)收敛级数去括号后所成的127加括号后所成的级数发散，3.则原级数也发散。（反证即得）2.

发散级数加括号后所成级数不一定发散。例：

(D)(C)加括号后所成的级数发散，3.则原级数也发散。（反证即得128

性质5.

证：

（级数收敛的必要条件）说明：性质5.证：（级数收敛的必要条件）说明：129例1.

∴级数发散。例2.证明调和级数发散。证：(反证)且

解:

例1.∴级数发散。例2.证明调和级数发散。证：(反证)130但矛盾！

可见,但矛盾！可见,131三、柯西审敛准则定理（柯西审敛准则）三、柯西审敛准则定理（柯西审敛准则）132例：利用柯西审敛准则判断级数的敛散性。解例：利用柯西审敛准则判断级数的敛散性。解133所以由柯西审敛准则知，级数收敛。所以由柯西审敛准则知，级数收敛。134课外作业

习题8—12(3,4),4(2,3,4),5(3,5,7)课外作业习题8—12(3135§2.正项级数及其审敛法1.定义：

许多级数敛散性的判断都可以归结为正项级数的敛散性的判断。§2.正项级数及其审敛法1.定义：许多级数敛散1362.正项级数收敛的充要条件

证：

收敛数列必有界，定理：(C)证毕2.正项级数收敛的充要条件证：137如：

有界无界则其必发散。如：有界无界则其1383.审敛法（判别法）比较审敛法：设有两个正项级数(C),(C).(1)(2)(D),(D).则（大的收敛则小的也收敛）（小的发散则大的也发散）3.审敛法（判别法）比较审敛法：设有两个正项级数(C),(139

证:

(1)(2)证:(1)(2)140

推论.

即正项级数若从某项后满足比较审敛法的条件，仍得同样结果。结论同样成立；甚至上式只要在某个自然数后开始成立即可。推论.即正项级数若从某项后满足比较审仍141(重要级数)证：(重要级数)证：142即有界证毕即有界证毕143

因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较，等比级数

P--级数所以必须掌握一些已知敛散的级数。常用：调和级数(D)因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较，等比144

判别下列正项级数的敛散性：(1)解：例1.判别下列正项级数的敛散性：(1)解：例1.145(2)解：(2)解：146(3)解：或

(3)解：或147(4)解：(4)解：148(4)解：所以由比较审敛法知，原正项级数是发散的。(4)解：所以由比较审敛法知，原正项级数是发散的。149(5)

解：所以原正项级数发散.(5)解：所以原正项级数发散.150

比较审敛法的极限形式:

设正项级数比较审敛法的极限形式:设正项级数151证:

所以由极限定义,由正项级数的比较审敛法知同时收敛或同时发散;(1)当0<l<+∞时,证:所以由极限定义,由正项级数的比较审敛法知同时收敛或同152(3)当l=+∞时,即

若发散,(2)当l=

0时,收敛,若由正项级数的比较审敛法知,由正项级数的比较审敛法知,证毕(3)当l=+∞时,即若发散,(2)当l=153发散,故原级数发散.重解前面的题(5)

此解法远比前一解法简单!发散,故原级数发散.重解前面的题(5)此解法远比前一解154

判别前例中级数(1),(2)的敛散性：∴原级数收敛。例2：解：=1判别前例中级数(1),(2)的敛散性：∴原级数收敛。例155∴原级数发散。=1解：∴原级数发散。=1解：156例3：

解：判别级数的敛散性：∴原级数发散。=1例3：解：判别级数的敛散性：∴原级数发散。=1157

解：∴原级数收敛。解：∴原级数收敛。158例4：

判别级数的敛散性：

解：原级数收敛。例4：判别级数159例5：并举例说明反之不成立。证：由比较审敛法，得证。反例：例5：并举例说明反之不成立。证：由比较审敛法，得证。反例：160课外作业

习题8—2(A)1(4,5,6)

习题8—2(B)3,5,6课外作业习题8—2(A)1(4,5,161比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数，若则当敛散性不定比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数162证:收敛,由比较审敛法可知(1)(公比为r的等比级数)证:收敛,由比较审敛法可知(1)(公比为r的等比级数)163因此所以级数发散.(2)从而请同学们完成.因此所以级数发散.(2)从而请同学们完成.164(3)级数敛散性不定.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.(3)级数敛散性不定.例如,p–级数但级数收敛;级数165更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。166

例1.

解：∴原级数收敛。判别下列正项级数的敛散性：<1,例1.解：∴原级数收敛。判别下列正项级数的敛散性：167解：

∴原级数收敛。=解：∴原级数收敛。=168(3)解：由此题结论还可得:(3)解：由此题结论还可得:169(4)解：(4)解：170例2.判别正项级数解：的敛散性。由比值审敛法得：原级数收敛；例2.判别正项级数解：的敛散性。由比值审敛法得：原级数收171例2.判别正项级数的敛散性。原级数发散；比值审敛法失效，但注意到此时而是单调增加趋于e，所以原级数也发散。例2.判别正项级数的敛散性。原级数发散；比值审敛法失效，172例3：若正项级数收敛,答：否！例：若用比值法：(n

偶)(n

奇)例3：若正项级数收敛,答：否！例：若用比值法：(n偶)(n173根值审敛法（柯西判别法）设正项级数则当敛散性不定根值审敛法（柯西判别法）设正项级数则当敛散性不定174时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数

说明:但级数收敛;级数发散.时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明175更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。176

例：判别下列级数的敛散性1.解：2.解：例：判别下列级数的敛散性1.解：2.解：1773.解：4.解：=2>13.解：4.解：=2>1178解：所以原级数收敛。r解：所以原级数收敛。r1796.证：6.证：180

比值审敛法与根值审敛法相比，后者应用范围更广，这是因为，反之则未必。所以，凡是能用比值审敛法判定收敛或发散的正项级数，用根值审敛法也能够判定收敛或发散；而有些正项级数用比值审敛法得不到结果，但是用根值审敛法可以得到结果。不过在多数的应用中，比值审敛法比根值审敛法要方便一些，因为一般情况，前者极限（如果存在的话）的计算要比后者极限的计算容易一些。比值审敛法与根值审敛法相比，后者应用范围更广，181积分审敛法：积分审敛法：182例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解所以p-

级数发散；续、非负且单调减少的，且由第五章第五节例1(教材第49页)的讨论知，例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解所以p183例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解则由积分审敛法知，综合上述讨论，有p-级数

例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解则由积分审184

前面介绍的判别正项级数敛散性的几个审敛方法，它们都是充分条件。如果用它们无法判断该正项级数敛散性，那么就要尝试用级数收敛的定义、收敛级数的性质等去判别。前面介绍的判别正项级数敛185课外作业

习题8—2(A)2(2,3),4(双),5(3,5)

习题8—2(B)1(双),2(3)课外作业习题8—2(A)2(2,3)186§3.交错级数和任意项级数及其审敛法

各项正负交错的级数称为交错级数。定义：如：其中一、交错级数及其审敛法§3.交错级数和任