吉林大学离散数学II考试A及答案

3522004级《散数学II期末考试题（A卷）352满分考时：2个时一、[20分]判断题（正确的在括号内错的打、设（G是限半群，而且有壹，如果关于运足去律，则G，是群）、任意置换一法写成轮换的乘积）、设H是G的群，则H中的壹与的一致）、设环是个含壹环，则R子环R是壹环）、设（是一个环，则运算一定满足交换）、按照剩余类的加法与乘法，环R于其理想N的有剩余类的集合R/N是一个剩余环，则从R到有个同态映射存在）、设F是有限域，则的非零元素在乘法下一定作成一个循环群）、下列部分序集都是格。)ABD、格的同态映射是保序的，反之，保序映射也是同态映射）、

下列4格所对应的哈斯图不都是分配格。)ABD二、[20分]

（分G,*为群，其中运算*义如表所示。写出子群(；

设，明a)*c=c*(a)；找出所有个元素的子群；

*aea

cc

ff

求出的元数除(f)的数的商；ab求(f)所有右陪集。b

ea

f

fc

ccfebdcfaffae三、分]设R,+,为一代数系统，其中为数集合+为实数加法，任取a,b，R,+,是否为环。如果是，请证明你的结论；如果不是请说明理由。四[10]下面给出的多项式是R上质式吗？请给出证明。0（1x；（2x。五、[14分]计(x);24

ij35252522d1212412842m848842188322228333233301013ij35252522d1212412842m848842188322228333233301013六[6](G,*)为循环群生成元素为a设（A,*）和(均(G,*)的子群，而和a分别为A,*(B,*)的生成元。(1)证明B,*是(G,*)的子群；(2)请问B,*是否为循环群？如果是，请给出其生成元素。参考答案一（分、、6、、10；24、5、、9错二（分（）子群(a)={e,a,b};（4分而，(a)*c=c*(a);（4分{e,c},{e,d},{e,f}三二元子群；（分由于大群有6个素，而子群(有元素，故它们的商是6/2=3；（4分(f)、和b*(f)={b,d}三个右陪集。三（分(R,+,)不是环，因为对于中的a,b,cb+c四（分（）取p=5，满足艾森斯坦定则的条件因此x

质式；（分如果它可约必为一次式与四次及以下因式乘积或二次式与三次及以下因式乘积的形式。（1在R上+7x-3是x+x+1，而f(0)=f(1)=1所以它在上一次质因式；22（2在上二次质因式只有x+x+1，而x+x+1=x（x+1）(x，所以它在上无二次质因式，因2此它在上不可约，从而在R上不可约。20五（分（）24-1=x)ΦΦΦΦΦΦΦ，241263x

)d

=

d|24ΦΦΦΦΦΦ因x12421

+1=Φ，=x+1，248d|12Φ+1=x-x。24（10分）q=9=3，p=3,m=2（）求Φp-1(x)，即Φ(x)。由x-1=ΦΦΦ，Φ(x)=x+1(2)求Φ(x)在Rx]中2质因式用待定系数法求Φ(x)=（+x+2+2x+2）无论取（）x+x+2还取（）x+2x+2，则R[x]/(ψ（）Rψ（x）[x]都元数是9的限，且是同构的。所以，我们不妨ψ（）=x+x+2，则R[x]/(ψ（）Rψ（）R[x]={

a0

}={011x,2x

}(3)若ξ=

，则Ψξ)=

x

x2=，ξ是ψ(x)在R[x]/(ψ（x）中的一个根。因此GF(9)={a+aξ|a，∈}/

mmmmrS-tmm-ttm[i,j={0,1,2，,2ξmmmmrS-tmm-ttm[i,j六（6分分）首先证AB,*是(的子群由于(A,*)和B,*)都是(G,*)的群，故单位元既在A中又在中，此A空，对于AB中意的a,b,于A,*)和(都是(G,*)的子此ab既在中又在B中此A中有子群判定定理AB,*是(G,*)的子群。（分其次证明（）是(G,*)循环子群由于B中含有幂的。为若m<0a的逆元也在A内。假定a是A中最小正幂，显然A包a的任意乘幂。假如又有AB任意元a，由S=tm+r。≤知=a)是A中，但m最。而0r<m，故，因此有a)这明A