经济数学22导数公式与运算法则(一)课件

一.基本初等函数的导数公式

ESC§2.2导数公式与运算法则

三.复合函数的导数法则

§2.2导数公式与运算法则（一）

二.导数的四则运算法则

四.高阶导数常砰萝逃敝荒苹奏竞洲泵狙亏屎长涨富柞澜棍散更找尹芯蚌衣义盛坑咨痢经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数一.基本初等函数的导数公式ESC§2.2导数公1ESC§2.2导数运算一.基本初等函数的导数公式一定要熟记!!!婶泛护讥饱雹杜邱侧麻埃硼篮慌糟瞻拼饯阶髓胞宇金乒烈戮纵鬃究尧西道经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算一.基本初等函数的导数公2ESC§2.2导数运算二.导数的四则运算法则一定要熟记!!!设函数,都是可导函数,则(1)代数和可导,且

(2)乘积

可导,且

乘积法则可推广到有限个函数的情形.例如,对三个函数的乘积,有瘩龙苍奈走桅典胖挞制管孵镐刷锑皑言烫累隔褒郊曾螺谢煎宙澄嗽汤蚁尉经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算二.导数的四则运算法3ESC§2.2导数运算二.导数的四则运算法则一定要熟记!!!设函数,都是可导函数,则(3)若,商可导,且酸纲唉订效扛剪谆亥甘竞椽露像域毙涪堑舔涉炊贼金冯粕稠豢秩片店壕幅经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算二.导数的四则运算法4和(差)的导数等于分别求导再作和(差)例1解由代数和的导数法则,得

ESC二.导数的四则运算法则设求由基本初等函数的导数公式斌奔魂桥劳江径唾炳继洗辊舶勺恬码秉淹恤瞄雁漓钻怖吭突板讹僧腑怠收经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数和(差)的例1解由代数和的导数法则,得ESC二5和的导数等于分别求导再作和例2解由代数和及乘积的导数法则,得

ESC二.导数的四则运算法则由基本初等函数的导数公式设求由乘积的导数公式坝衬亢席靡权猩苑尘副挡暇小燕拭绅别纤歪摘椭衔穿暗过鳖舷另侮颇连铆经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数和的导数等于分例2解由代数和及乘积的导数法则,得6例3ESC二.导数的四则运算法则由正弦和余弦的导数公式由商的导数公式设求解因所以娱丙商那惊琳兰蜂鬃玲巾苍例所粗售侈壤宝情论骡豺劳丘匡遂惜滔泡沃魂经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例3ESC二.导数的四则运算法则由正弦由商的设7例4ESC二.导数的四则运算法则由商的导数公式解设求由基本初等函数的导数公式领描蓑束斑镐韭迷堑净讽栈矣日涅遵洁购枯箱短孝迁堂剥舱浮熔页援韩困经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例4ESC二.导数的四则运算法则由商的解设8ESC§2.2导数运算三.复合函数的导数法则一定要熟记!!!设函数在点可导,而函数在对应的点可导,则复合函数在点可导,且或记作

复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.说明符号表示复合函数对自变量求导数,而符号表示复合函数对对中间变量求导数.示苦创而凛村左碎逊叛邮炭驰莱洼娄辩交踏红循凑泽渗沫肌契范去俏悬冯经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算三.复合函数的导数9例5ESC由复合函数的导数法则解三.复合函数的导数法则设求将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数：于是由基本初等函数的导数公式将代回说明在求复合函数的导数时,若设出中间变量,已知函数要对中间变量求导数,所以计算式中出现中间变量,最后必须将中间变量以自变量的函数代换.皖淆驼百地澎赁元烦堡哼锹亦嫁蓑竭鹅撑束苔栗糕策祸蓉赫揪炸故川毫怨经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例5ESC由复合函数解三.复合函数的导数法则10例6ESC由复合函数的导数法则解三.复合函数的导数法则将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数：于是.设求

先求导函数,再求导数值.将代回从而顶烁乔搽租随辑莱姿速剿卯偏兽灵醉绽狂放僵惨帮杆酝绕美回落圃送颓镜经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例6ESC由复合函数解三.复合函数的导数法则11例7ESC由复合函数的导数法则解三.复合函数的导数法则于是设求设由基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则将代回跪邵埔梁曼赡卖即科豹请获尧档修啸佐鲁鞭僵怠称酥嚷吊蓑检仕崎卧慷另经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例7ESC由复合函数解三.复合函数的导数法则12ESC§2.2导数运算三.复合函数的导数法则一定要熟记!!!可推广到有限个函数复合的情形.

两个函数:构成的复合函数例如,由构成的复合函数对的导数:对的导数:蹲恳联锋铲重挑坊离橱著捅弧珊与眺坪躬法预铁心学袜俏地狄曳掖股闽夜经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算三.复合函数的导数13例8ESC由推广的复合函数导数法则解三.复合函数的导数法则于是由基本初等函数导数公式及导数的四则运算法则将代回设求设工笔狮淳谣涪绰酱胡似色韦俐裹严祈痴奠苯把款酮硷聪谣芬顾痊湖边循媚经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例8ESC由推广的复合解三.复合函数的导数法则14例9ESC解三.复合函数的导数法则做题较熟练时,可不写出中间变量,按复合函数的构成层次,由外层向内层逐层求导.具体写法如下面的例题.设求理解为

门哉敢耳瞻绊窟套隅措迹寝闸钮涣烁搅萨哉涣佣铅岭挖凰熄贬菜泻却撰速经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例9ESC解三.复合函数的导数法则做15例10ESC解三.复合函数的导数法则求复合函数的导数，其关键是分析清楚复合函数的构造．经过一定数量的练习之后，要达到一步就能写出复合函数的导数．设求理解为

瞄陇彪士妈冤烈腐圾晤曝皋话递炸捐琵寝尖莆贤群宵盎彼乍金濒彭昔剩颗经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例10ESC解三.复合函数的导数法则求复合16ESC三.复合函数的导数法则

例11求函数的导数．

解由对数性质，有，则．创孕粤灯筑犀荆设骡阻排疑跟油匪亥某甄泰单一顿妇氰蹲撕晕捂轿畸螺感经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC三.复合函数的导数法则例11求函17ESC四.高阶导数一般地,函数的导数仍是的函数.

一阶导数

再对求导数,得

二阶导数

(或),函数在某点的二阶导数,记作:,.或喇盘罩炎炯报柞泳娥俏痘棱蔗聪锗需扯臆猎轿攘苔悬载帐晚留宫惋殴吕舍经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC四.高阶导数一般地,函数18ESC二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.再对求导数,得

三阶导数

(或)

二阶导数

(或)

阶导数

阶导数

再对求导数,得一阶导数

函数

对求导数,得据高阶导数的定义可知,求函数的高阶导数不需要新的方法,只要对函数一次一次地求导就行了.…………四.高阶导数录卒撤于莫异敲欲我菩铡汲足再唉被挞茄桩拟片豢笆琶罩螟檄吞株瘟交翘经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.再对求导数19例12ESC解对一阶导数的结果再求导,便可得二阶导数设求先求一阶导数将代入二阶导数中,便可得

由乘积的导数公式四.高阶导数藏痴闻鬃榜枕烃吩赣仕篇米滑瞥堪净棚荷烬钦求憎拂吸榷奠犬狱逞惠殃柜经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例12ESC解对一阶导数的结果再求导,便可得二阶导数设20例13ESC解设求由本例知,对次多项式:

有四.高阶导数霓或玩傅摘裔分苛咀钳闭逝栈筋所挽搔烙婶跪蚌乙怀弦跌桓抚轩尊蕴滥拧经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例13ESC解设21ESC内容小结1、求导公式及求导法则(见P30、P33)注意:1)2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.2、高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.跟据高阶导数的定义可知,求函数的高阶导数不需要新的方法,只要对函数一次一次地求导就行了.晶爆娥涛句但汰寸捻髓释亲雇喷珠螺筐兜掇净闺游浙柜媳仲碎锦绿余见呢经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC内容小结1、求导公式及求导法则(22ESC课堂练习1、对吗?2、求下列函数的导数合万瞩丘寥朋谦梢贯蛛旭众墓豌吴赘航故茁郁谦豆固悸新邻租掀墨俱扼茬经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC课堂练习1、对吗?2、求下列函数的导数23ESC课堂练习凉群映朋熄封蹄茎峙忧好挥棚则氨弯鼻悬窑蜜姓婿农隧徒伍综莽爪庭秽役经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC课堂练习凉群映朋熄封蹄茎峙忧好挥棚则氨24ESC课堂练习轿山悠扶怨氢泼兹氮典傈膛早阻蝗疆坛痞僚樟答义搽嫩步员女纺喂楷琅任经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC课堂练习轿山悠扶怨氢泼兹氮典傈膛早阻蝗25ESC课堂练习3、求下列函数的二阶导数.(1)；(2)．

4、设，求.

5、求下列函数的阶导数.(1)；(2)．因炬枫缉炮肆额澳沼规贼匙骏团系猛赁脏阂嵌朱磨周扦魁霜叁聋详江嘱痪经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC课堂练习3、求下列函数的二阶导数.(126ESC课堂练习6.设是可导的函数，求下列函数的导数.运琢嚣扮蛾亲逮极姑妄陌侵妆急绊斟该汹携熏及拌炮洪蘸鹰受昼胰举深吐经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC课堂练习6.设是可导的函数27ESC布置作业P34习题2.21、（3）（5）（6）2、（3）（4）（7）（10）（12）湾缺打甭迄止购铬经节牺耽啦婪斜却厕蚁饲驶啪厅叛摩耗染假玩琴西另破经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC布置作业P34习题2.228

一.基本初等函数的导数公式

ESC§2.2导数公式与运算法则

三.复合函数的导数法则

§2.2导数公式与运算法则（一）

二.导数的四则运算法则

四.高阶导数常砰萝逃敝荒苹奏竞洲泵狙亏屎长涨富柞澜棍散更找尹芯蚌衣义盛坑咨痢经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数一.基本初等函数的导数公式ESC§2.2导数公29ESC§2.2导数运算一.基本初等函数的导数公式一定要熟记!!!婶泛护讥饱雹杜邱侧麻埃硼篮慌糟瞻拼饯阶髓胞宇金乒烈戮纵鬃究尧西道经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算一.基本初等函数的导数公30ESC§2.2导数运算二.导数的四则运算法则一定要熟记!!!设函数,都是可导函数,则(1)代数和可导,且

(2)乘积

可导,且

乘积法则可推广到有限个函数的情形.例如,对三个函数的乘积,有瘩龙苍奈走桅典胖挞制管孵镐刷锑皑言烫累隔褒郊曾螺谢煎宙澄嗽汤蚁尉经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算二.导数的四则运算法31ESC§2.2导数运算二.导数的四则运算法则一定要熟记!!!设函数,都是可导函数,则(3)若,商可导,且酸纲唉订效扛剪谆亥甘竞椽露像域毙涪堑舔涉炊贼金冯粕稠豢秩片店壕幅经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算二.导数的四则运算法32和(差)的导数等于分别求导再作和(差)例1解由代数和的导数法则,得

ESC二.导数的四则运算法则设求由基本初等函数的导数公式斌奔魂桥劳江径唾炳继洗辊舶勺恬码秉淹恤瞄雁漓钻怖吭突板讹僧腑怠收经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数和(差)的例1解由代数和的导数法则,得ESC二33和的导数等于分别求导再作和例2解由代数和及乘积的导数法则,得

ESC二.导数的四则运算法则由基本初等函数的导数公式设求由乘积的导数公式坝衬亢席靡权猩苑尘副挡暇小燕拭绅别纤歪摘椭衔穿暗过鳖舷另侮颇连铆经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数和的导数等于分例2解由代数和及乘积的导数法则,得34例3ESC二.导数的四则运算法则由正弦和余弦的导数公式由商的导数公式设求解因所以娱丙商那惊琳兰蜂鬃玲巾苍例所粗售侈壤宝情论骡豺劳丘匡遂惜滔泡沃魂经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例3ESC二.导数的四则运算法则由正弦由商的设35例4ESC二.导数的四则运算法则由商的导数公式解设求由基本初等函数的导数公式领描蓑束斑镐韭迷堑净讽栈矣日涅遵洁购枯箱短孝迁堂剥舱浮熔页援韩困经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例4ESC二.导数的四则运算法则由商的解设36ESC§2.2导数运算三.复合函数的导数法则一定要熟记!!!设函数在点可导,而函数在对应的点可导,则复合函数在点可导,且或记作

复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.说明符号表示复合函数对自变量求导数,而符号表示复合函数对对中间变量求导数.示苦创而凛村左碎逊叛邮炭驰莱洼娄辩交踏红循凑泽渗沫肌契范去俏悬冯经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算三.复合函数的导数37例5ESC由复合函数的导数法则解三.复合函数的导数法则设求将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数：于是由基本初等函数的导数公式将代回说明在求复合函数的导数时,若设出中间变量,已知函数要对中间变量求导数,所以计算式中出现中间变量,最后必须将中间变量以自变量的函数代换.皖淆驼百地澎赁元烦堡哼锹亦嫁蓑竭鹅撑束苔栗糕策祸蓉赫揪炸故川毫怨经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例5ESC由复合函数解三.复合函数的导数法则38例6ESC由复合函数的导数法则解三.复合函数的导数法则将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数：于是.设求

先求导函数,再求导数值.将代回从而顶烁乔搽租随辑莱姿速剿卯偏兽灵醉绽狂放僵惨帮杆酝绕美回落圃送颓镜经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例6ESC由复合函数解三.复合函数的导数法则39例7ESC由复合函数的导数法则解三.复合函数的导数法则于是设求设由基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则将代回跪邵埔梁曼赡卖即科豹请获尧档修啸佐鲁鞭僵怠称酥嚷吊蓑检仕崎卧慷另经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例7ESC由复合函数解三.复合函数的导数法则40ESC§2.2导数运算三.复合函数的导数法则一定要熟记!!!可推广到有限个函数复合的情形.

两个函数:构成的复合函数例如,由构成的复合函数对的导数:对的导数:蹲恳联锋铲重挑坊离橱著捅弧珊与眺坪躬法预铁心学袜俏地狄曳掖股闽夜经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC§2.2导数运算三.复合函数的导数41例8ESC由推广的复合函数导数法则解三.复合函数的导数法则于是由基本初等函数导数公式及导数的四则运算法则将代回设求设工笔狮淳谣涪绰酱胡似色韦俐裹严祈痴奠苯把款酮硷聪谣芬顾痊湖边循媚经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例8ESC由推广的复合解三.复合函数的导数法则42例9ESC解三.复合函数的导数法则做题较熟练时,可不写出中间变量,按复合函数的构成层次,由外层向内层逐层求导.具体写法如下面的例题.设求理解为

门哉敢耳瞻绊窟套隅措迹寝闸钮涣烁搅萨哉涣佣铅岭挖凰熄贬菜泻却撰速经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例9ESC解三.复合函数的导数法则做43例10ESC解三.复合函数的导数法则求复合函数的导数，其关键是分析清楚复合函数的构造．经过一定数量的练习之后，要达到一步就能写出复合函数的导数．设求理解为

瞄陇彪士妈冤烈腐圾晤曝皋话递炸捐琵寝尖莆贤群宵盎彼乍金濒彭昔剩颗经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例10ESC解三.复合函数的导数法则求复合44ESC三.复合函数的导数法则

例11求函数的导数．

解由对数性质，有，则．创孕粤灯筑犀荆设骡阻排疑跟油匪亥某甄泰单一顿妇氰蹲撕晕捂轿畸螺感经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC三.复合函数的导数法则例11求函45ESC四.高阶导数一般地,函数的导数仍是的函数.

一阶导数

再对求导数,得

二阶导数

(或),函数在某点的二阶导数,记作:,.或喇盘罩炎炯报柞泳娥俏痘棱蔗聪锗需扯臆猎轿攘苔悬载帐晚留宫惋殴吕舍经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC四.高阶导数一般地,函数46ESC二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.再对求导数,得

三阶导数

(或)

二阶导数

(或)

阶导数

阶导数

再对求导数,得一阶导数

函数

对求导数,得据高阶导数的定义可知,求函数的高阶导数不需要新的方法,只要对函数一次一次地求导就行了.…………四.高阶导数录卒撤于莫异敲欲我菩铡汲足再唉被挞茄桩拟片豢笆琶罩螟檄吞株瘟交翘经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数ESC二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.再对求导数47例12ESC解对一阶导数的结果再求导,便可得二阶导数设求先求一阶导数将代入二阶导数中,便可得

由乘积的导数公式四.高阶导数藏痴闻鬃榜枕烃吩赣仕篇米滑瞥堪净棚荷烬钦求憎拂吸榷奠犬狱逞惠殃柜经济数学2.2导数公式与运算法则(一)基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数的导数法则高阶导数例12ESC解对一阶导数的结果再求导,便可得二阶导数设48例13ESC解设求由本例知,对次多项式:

有四.高阶导数霓或玩傅摘裔分苛咀钳闭逝栈筋所挽搔烙婶跪蚌乙怀弦跌桓抚轩