一元二次方程的解法-公式法课件

21.2.2一元二次方程的解法---公式法21.2.2一元二次方程的解法1我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用△表示.

总结提高判别式定理当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根当b2-4ac＜0时,方程没有实数根当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠2若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0

总结提高判别式逆定理若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0若方程没有实数根,则b2-4ac＜0若方程有两个实数根,则b2-4ac≥0若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0总结3一元二次方程根的判别式两个不相等实根两个相等实根无实数根（1）（2）（3）＞

0=0＜0（4）＜0≥0两个实数根两个不相等实根两个相等实根无实数根（1）（2）（3）（4）一元二次方程根的判别式两个不相等实根两个相等实根无实数根（4应用1.不解方程判断方程根的情况：(1)x2-2kx+4(k-1)=0(k为常数)(2)x2-(2+m)x+2m-1=0(m为常数)=4(k2-4k+4)=4(k-2)2解：△=4k2-16k+16∴△>0方程有两个不等实根解：△=m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+4∴△≥

0方程有实根含有字母系数时，将△配方后判断应用1.不解方程判断方程根的情况：(1)x2-25根的判别式问题1、不解方程，判断根的情况.(1)2x2-4x-5=0;(2)x2-(m+1)x+m=0.=56>0∴方程有两个不相等的实数根；∴当m-1=0时，≥0方程有两个相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；当m-1≠0时，解：解：根的判别式问题1、不解方程，判断根的情况.(1)2x2-462、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.

例:k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.根的判别式问题解：∵一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.∴k≠0，又∵=4-12k∴4-12k≥0，解得∴当方程有实数根.且k≠0时，2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例:k取7例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:a=2,b=5,c=-3,∴b2-4ac=52-4×2×(-3)=491、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。∴x===即x1=-3,用公式法解一元二次方程的一般步骤：求根公式:

X=4、写出方程的解：x1=?,x2=?3、代入求根公式:

X=(a≠0,b2-4ac≥0)(a≠0,

b2-4ac≥0)①②③④x2=例1.用公式法解方程2x2+5x-3=01、把方程化成一般形8填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0解：a=

，b=

，c=

.b2-4ac=

=

.x=

=

.=

.即

x1=

,x2=

.35-252-4×3×(-2)49-2求根公式:

X=1.用公式法解下列方程：(1)x2+2x=5(a≠0,

b2-4ac≥0)细心填一填：做一做填空：用公式法解方程解：a=，b=，c=.39例2

用公式法解方程：x2–x-=0解：方程两边同乘以3,

得

2x2-3x-2=0∴x=即

x1=2,x2=-例3

用公式法解方程：x2+3=2x

解：移项，得x2-2x+3=0a=1，b=-2，c=3b2-4ac=(-2

)2-4×1×3=0∴x=x1=x2=====当时，一元二次方程有两个相等的实数根。b2-4ac=0a=2，b=-3，c=-2.∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25.例2用公式法解方程：解：方程两边同乘以3,∴x=即102.用公式法解下列方程：(4)4x2-3x+2=0随堂练习当时，一元二次方程没有实数根。b2-4ac＜02.用公式法解下列方程：(4)4x2-3x+2=0随堂练习当11用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式:2、求出

的值，1、把方程化成一般形式，并写出的值。4、写出方程的解：特别注意:当时,方程无实数解;用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式:2、求123、练习:用公式法解方程:x2-2x+2=0.1、方程3x2+1=2x中，b2-4ac=

.2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等的实数根，则n=

.动手试一试吧！0-1或43、练习:用公式法解方程:x2-2x+2131、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解

思考题1、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=014

思考题2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。当a，b，c满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？思考题2、关于x的一元二次方程ax2+b15课堂心得本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？想一想记一记问一问我还有哪些疑点？课下可要多交流呦！解一元二次方程时应先化为一般形式，然后利用公式法求得方程的根.这是解一元二次方程的通法.用公式法解一元二次方程时,必须把方程化为一般形式才能正确确定出a、b、c.在代入公式求解前,要先计算b2-4ac的值.课堂心得本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？想一想16(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）

A、m﹥0

B、m≥0

C、

m﹥0且m≠1

D

m≥0且m≠1解：由题意，得

m-1≠0①⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②解之得，m﹥0且m≠1，故应选DD应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围解：由题意，得D应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围17(3)m为何值时,关于x的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？解：△=(2m+1)2-4m2

=4m+1若方程有两个不等实根，则△>0∴4m+1>0∴m

>-1/4对吗？∴m

>-1/4且m≠0注意二次项系数(3)m为何值时,关于x的一元二次方程m2x2+(2m+118问题三求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）

=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157

=（m-11）2+36∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式问题三证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）=（m193、证明字母系数方程有实数根或无实数根

例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0

有两个不相等的实数根.把判别式配方根的判别式问题解：∵>0∴方程有两个不相等的实数根；3、证明字母系数方程有实数根或无实数根例:求证方程2x2-20问题四：解含有字母系数的方程。解：当a=0时，-5x+1=0x=1.当a≠0时，方程为一元二次方程.

问题四：解含有字母系数的方程。解：当a=0时，-5x+1=021【例5】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程

有两个等根，试判断△ABC的形状.

解：利用Δ＝0，得出a=b=c.∴△ABC为等边三角形.

典型例题解析【例5】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程解：利22例6.一元二次方程有两个实数根,则m的取值范围是______________变例6.一元二次方程变23抢答：2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）（1）（2）（3）（4）（5）（6）有两个实数根的方程的序号是（）没有实数根的方程的序号是（）（5）（3）（2）（6）（4）（1）任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根a、c异号，一元二次方程有两个不相等的实数根抢答：2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和24求根公式:

X=一、由配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)

若b2-4ac≥0得这是收获的时刻，让我们共享学习的成果小结:求根公式:X=一、由配方法解一般的一元二次方程ax25这是收获的时刻，让我们共享学习的成果二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:X=(a≠0,b2-4ac≥0)4、写出方程的解:x1=?,x2=?这是收获的二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化26这是收获的时刻，让我们共享学习的成果四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代入公式时，符号不要弄错。三、当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根。这是收获的四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代271、一元二次方程的一般形式是什么？2、解一元二次方程有哪四种方法？知识回顾一般形式缺一次项缺常数项缺一次项及常数项

公式法是由配方法推导而得到．

公式法是解一元二次方程的通法.

凡形如ax2+c=0(a≠0,ac<0)

或

a(x+p)2+q=0(a≠0,aq<0)的一元二次方程都可用直接开平方法解.配方法、公式法适用于所有一元二次方程;

先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.公式法是解一元二次方程的通法.1、一元二次方程的一般形式是什么？知识回顾一般形式缺一次项28解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择解法的，并与同学交流.公式法是解一元二次方程的通法.配方法、公式法适用于所有一元二次方程;因式分解法适用于某些一元二次方程．开平方法适用于缺项的一元二次方程;解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常29课时训练1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是()A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根D2.方程x2-3x+1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根A3.下列一元一次方程中，有实数根的是()

A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=0C课时训练1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况D2.方304.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是()A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1

C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根D课时训练5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是()A.m＜1B.m＜1且m≠0

C.m≤1D.m≤1且m≠0D4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则3121.2.2一元二次方程的解法---公式法21.2.2一元二次方程的解法32我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用△表示.

总结提高判别式定理当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根当b2-4ac＜0时,方程没有实数根当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠33若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0

总结提高判别式逆定理若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0若方程没有实数根,则b2-4ac＜0若方程有两个实数根,则b2-4ac≥0若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0总结34一元二次方程根的判别式两个不相等实根两个相等实根无实数根（1）（2）（3）＞

0=0＜0（4）＜0≥0两个实数根两个不相等实根两个相等实根无实数根（1）（2）（3）（4）一元二次方程根的判别式两个不相等实根两个相等实根无实数根（35应用1.不解方程判断方程根的情况：(1)x2-2kx+4(k-1)=0(k为常数)(2)x2-(2+m)x+2m-1=0(m为常数)=4(k2-4k+4)=4(k-2)2解：△=4k2-16k+16∴△>0方程有两个不等实根解：△=m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+4∴△≥

0方程有实根含有字母系数时，将△配方后判断应用1.不解方程判断方程根的情况：(1)x2-236根的判别式问题1、不解方程，判断根的情况.(1)2x2-4x-5=0;(2)x2-(m+1)x+m=0.=56>0∴方程有两个不相等的实数根；∴当m-1=0时，≥0方程有两个相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；当m-1≠0时，解：解：根的判别式问题1、不解方程，判断根的情况.(1)2x2-4372、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.

例:k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.根的判别式问题解：∵一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.∴k≠0，又∵=4-12k∴4-12k≥0，解得∴当方程有实数根.且k≠0时，2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例:k取38例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:a=2,b=5,c=-3,∴b2-4ac=52-4×2×(-3)=491、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。∴x===即x1=-3,用公式法解一元二次方程的一般步骤：求根公式:

X=4、写出方程的解：x1=?,x2=?3、代入求根公式:

X=(a≠0,b2-4ac≥0)(a≠0,

b2-4ac≥0)①②③④x2=例1.用公式法解方程2x2+5x-3=01、把方程化成一般形39填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0解：a=

，b=

，c=

.b2-4ac=

=

.x=

=

.=

.即

x1=

,x2=

.35-252-4×3×(-2)49-2求根公式:

X=1.用公式法解下列方程：(1)x2+2x=5(a≠0,

b2-4ac≥0)细心填一填：做一做填空：用公式法解方程解：a=，b=，c=.340例2

用公式法解方程：x2–x-=0解：方程两边同乘以3,

得

2x2-3x-2=0∴x=即

x1=2,x2=-例3

用公式法解方程：x2+3=2x

解：移项，得x2-2x+3=0a=1，b=-2，c=3b2-4ac=(-2

)2-4×1×3=0∴x=x1=x2=====当时，一元二次方程有两个相等的实数根。b2-4ac=0a=2，b=-3，c=-2.∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25.例2用公式法解方程：解：方程两边同乘以3,∴x=即412.用公式法解下列方程：(4)4x2-3x+2=0随堂练习当时，一元二次方程没有实数根。b2-4ac＜02.用公式法解下列方程：(4)4x2-3x+2=0随堂练习当42用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式:2、求出

的值，1、把方程化成一般形式，并写出的值。4、写出方程的解：特别注意:当时,方程无实数解;用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式:2、求433、练习:用公式法解方程:x2-2x+2=0.1、方程3x2+1=2x中，b2-4ac=

.2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等的实数根，则n=

.动手试一试吧！0-1或43、练习:用公式法解方程:x2-2x+2441、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解

思考题1、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=045

思考题2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。当a，b，c满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？思考题2、关于x的一元二次方程ax2+b46课堂心得本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？想一想记一记问一问我还有哪些疑点？课下可要多交流呦！解一元二次方程时应先化为一般形式，然后利用公式法求得方程的根.这是解一元二次方程的通法.用公式法解一元二次方程时,必须把方程化为一般形式才能正确确定出a、b、c.在代入公式求解前,要先计算b2-4ac的值.课堂心得本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？想一想47(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）

A、m﹥0

B、m≥0

C、

m﹥0且m≠1

D

m≥0且m≠1解：由题意，得

m-1≠0①⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②解之得，m﹥0且m≠1，故应选DD应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围解：由题意，得D应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围48(3)m为何值时,关于x的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？解：△=(2m+1)2-4m2

=4m+1若方程有两个不等实根，则△>0∴4m+1>0∴m

>-1/4对吗？∴m

>-1/4且m≠0注意二次项系数(3)m为何值时,关于x的一元二次方程m2x2+(2m+149问题三求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）

=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157

=（m-11）2+36∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式问题三证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）=（m503、证明字母系数方程有实数根或无实数根

例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0

有两个不相等的实数根.把判别式配方根的判别式问题解：∵>0∴方程有两个不相等的实数根；3、证明字母系数方程有实数根或无实数根例:求证方程2x2-51问题四：解含有字母系数的方程。解：当a=0时，-5x+1=0x=1.当a≠0时，方程为一元二次方程.

问题四：解含有字母系数的方程。解：当a=0时，-5x+1=052【例5】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程

有两个等根，试判断△ABC的形状.

解：利用Δ＝0，得出a=b=c.∴△ABC为等边三角形.

典型例题解析【例5】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程解：利53例6.一元二次方程有两个实数根,则m的取值范围是______________变例6.一元二次方程变54抢答：2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）（1）（2）（3）（4）（5）（6）有两个实数根的方程的序号是（）没有实数根的方程的序号是（）（5）（3）（2）（6）（4）（1）任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根a、c异号，一元二次方程有两个不相等的实数根抢答：2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和55求根公式:

X=一、由配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)

若b2-4ac≥0得这是收获的时刻，让我们共享学习的成果小结:求根公式:X=一、由配方法解一般的一元二次方程ax56这是收获的时刻，让我们共享学习的成果二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:X=(a≠0,b2-4ac≥0)4、写出方程的解:x1=?,x2=?这是收获的二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化57这是收获的时刻，让我们共享学习的成果四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代入公式时，符号不要弄错。三、当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根。这是收获的四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代