方波的傅里叶分解与合成

方波的傅里叶分解与合成教学目的1、用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法。重难点1、了解串联谐振电路的基本特性及在选频电路中的应用;了解方波的傅立叶合成的物理意义。2、选频电路将方波转换成奇数倍频正弦波的物理意义。教学方法讲授与实验演示相结合。学时3学时。一、实验仪器FD-FLY-1傅立叶分解合成仪，DF4320示波器，标准电感，电容箱。二、原理任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即:f(t)=2a+*(acosgt+bsinn3t)n=12兀a0其中：T为周期，①为角频率。①=亍；第一项2为直流分量。图1方波图2三角波所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有n阶谐波的迭加。如图1所示的方法可以写成：Th(0忍tV2)f(t)=T',-h(-2忍tV0)

此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为:TOC\o"1-5"\h\z…4",.1.c1.~1.-f(t)=(sin①t+—sin3wt+—sin5①t+—sin7①t+兀3574龙x*/1产()sin[(2〃-1)①t]兀2n-1n=1同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为：4hTT1———,T(-4忍t忍4)f(t)=2tT3T'2h(1-T)(4忍t忍甘)\o"CurrentDocument"f(t)=—(sin①tsin3①t+sin5①tsin7①t+)兀23252728h<®1——X(-1)n-1sin(2n-1)①t冗2(2n-1)2n=1(a)周期性波形傅里叶分解的选频电路我们用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。本仪器具有1KHz的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波和三角波的输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。实验线路图如图3所示。这是一个简单的RLC电路，其中R、C是可变的。L一般取0.1H~1H范围。当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率气为：波形分解的RLC串联电路1气波形分解的RLC串联电路这个响应的频带宽度以Q值来表示：wLQ=当Q值较大时，在气附近的频带宽度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。如果我们调节可变电容C，在n气频率谐振，我们将从此周期性波形中选择出这个单元。它的值为：V(t)=bsinnwt图3这时电阻R两端电压为:VR(t)=I°Rsin(n①°t+甲)_X此式中中'R,X为串联电路感抗和容抗之和I0Z,Z为串联电路的总阻抗。在谐振状态X=0此时，阻抗Z=r+R+R+R=r+R+R其中，r方波（或三角液）电源的内阻；LR为取样电阻；Rl为电感的损耗电阻；RC为标准电容的损耗电阻。（R值常因较小而忽略）"°C.由于电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，rl的数个将随频率的增加而增加。实验证明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz~7KHz范围内，阻值不随频率变化。（b）傅里叶级数的合成本仪器提供振幅和相位连续可调的1KHz，3KHz，5KHz，7KHz四组正弦波。如果将这四组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器，叠加后，就可以分别合成出方波、三角波等波形。三、实验内容和使用方法A、方波的傅里叶分解

求RLC串联电路对1KHz,3KHz,5KHz正弦波谐振时的电容值求RLC串联电路对1KHz,3KHz,5KHz正弦波谐振时的电容值C、C、C135,1、并与理论值进行比较。实验中，要求学生观察在谐振状态时，电源总电压与电阻两端电压的关系。学生可从李萨如图为一直线，说明此时电路显示电阻性。表1谐振频率fi1000Hz3000Hz5000Hz实验值0.253呀0.0280呀0.0100呀理论值0.253呀0.0280呀0.0101呀测量以上数据时所用电感电感：L=0.1H00（标准电感）电容为：RX7/0型十进式电容箱理论值Ci表1为1KHz、3KHz、5KHz正弦波谐振时测得电容值，仅供参考。2、将1KHz方波进行频谱分解，测量基波和n阶谐波的相对振幅和相对相位。将1KHz方波输入到RLC串联电路。如图3所示。然后调节电容值至C，C，C值附近，可以从示波器上读出只有可变电容调在c，c，c时产生谐振，且可测得振幅分别为5b，b，b；135135而调节到其它电容值时，却没有谐振出现。实验数据如下：（供用户参考）（一）取方波频率f=1000Hz，取样电阻R=22Q，信号源内阻测量得r=6.0Q电感L=0.100H。表2实验数据谐振时电容值Ci（呀）0.253C1和C3之间0.028C3和C5之间0.010谐振频率（KHz）1无谐振3无谐振5相对振幅（cm）6.00—1.80—0.090李萨如图\NAM与参考正弦波位相差兀兀K

(二)取方波频率f=1000Hz，取样电阻R=500Q，测得信号源内阻r=6.0Q，L=1.00H。从上述数据中可以看出：方波傅里叶分解时，只能得到1KHz、3KHz、5KHz正弦波，而2KHz、4KHz、6KHz等正弦波是不存在的。电感用铜线缠绕，由于存在趋肤效应，其损耗电阻随频率升高而增加，因此使3KHz、5KHz谐波振幅数值比理论值偏小，此系统误差应进行校正。表3实验数据二使用频率f使用频率f(KHz)损耗电阻RL1.00307Q3.00362Q5.00602Q谐振时电容值q(寸)0.253C1和C3之间0.028C3和C5之间0.010谐振频率(KHz)1无谐振3无谐振5相对振幅(cm)6.00—1.60—0.50李萨如图\Nw\与参考正弦波位相差兀丸丸(3)基波和各次谐波与同一参数正弦波(1KHz)初相位关系均为兀，说明方波分解为基波和各次谐波初相位相同。3、不同频率电流通过电感损耗电阻的测定。对1H空心电感可采用Q5型品质因素测量仪(低频Q表)测量。如：我们测得某电感(1H)损耗电阻和使用频率关系：图4对于0.1H空心电感可用下述方法测定损耗电阻R。自己接一个如图4的串联谐振电路。测量在谐振状态时，信号源输出电压VAB和取样电阻R两端的电压V，可计算出R=R+R的值。R为标准电容的损耗电阻，一般较小可忽略。.RL.LcC一L=0.1H电感的损耗电阻和使用频率关系使用频率f(KHz)损耗电阻rl1.0026Q3.0034Q5.0053Q测量VAB、VR电压可用示波器，也可用其它交流伏特表。

4、相对振幅测量时，系统误差的校正。可用分压原理校正。若：b3为3KHz谐波校正后振幅b’3为3kHz谐波未被校正时振幅。Rl「为1KHz使用频率时损耗电阻。R”为3KHz使用频率时损耗电阻。L3…，rrb:b'=:则：33R]+R+rRl3+R+rb=b^xRl3+R+「

33R1+R+r11111这一系列正弦波振幅比为1：3:5:7，它们的初相位为同相。对5KHz，谐波也可作类似的校正。例：基波1KHz,b=6.00cm134.0+22.0+6.0…x=2.07cm谐波3KHz，b=L8026.0+22.0+6.053.0+22.0+6.0…=1.3cm谐波5KHz，b=0.90X26.0+22.0+6.0511经校正后，基波和谐波的振幅为1：3:5，与理论值符合较好。B、傅里叶级数合成：1、方波的合成…40/.1.°1.L1.r、f(x)=(sin①t+—sin3①t+—sin5①t+—sin7①t)兀357以上式中可知，方波由一系列正弦波（奇函数）合成。abz、I1KHz正弦波；b、z、I1KHz正弦波；b、1Khz-实验步⑴用N调节方法是示波器X轴输入1KHz正弦波：而Y轴输入1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波在示波器上显示如下波形时：\/VW\A/WY输入1KHz3KHz5KHz7KHz图5此时，基波和各阶谐波初相位相同。也可以用双踪示波器调节1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波初相位同相。111调节1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波振幅比为1:3:5:7。将1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化，最后可看到近似方波图形。方波合成过程如图6所示。从傅里叶级数迭加过程可以得出：4合成的方波的振幅与它的基波振幅比为1：兀；基波上迭加谐波越多，越趋近于方波。学生可观察迭加谐波越多，合成方波前沿、后沿越陡直。2、三角波的合成(选做)三角波傅里叶级数表示式:s、8hzsin①tsin3wtsin5①tsin7①tf(t)辰F—k+m+

谐振频率f1000HZ3000HZ5000HZ实验值讨理论值讨0.2530.02800.0101谐振时电容值C1（沥C1和C3之间C3和C5之间谐振频率（KHZ