高中数学第三章导数及其应用第19课时导数的实际应用检测选修1-1

学必求其心得，业必贵于专精第19课时导数的实质应用（限时：10分钟）1．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）A．10B．15C．25D．50剖析：设内接矩形的长为x，则宽为错误!，∴S2＝x2·错误!＝y，∴y′＝50x－x3.令y′＝0得x2＝50，x＝0（舍去），∴S2＝625，即S＝25.答案：C2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的资料最省，堆料场的长和宽应分别为（单位：米)（）A．32,16B．30，15C．40,20D．36,18剖析：要使资料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短，设场所宽为x米，则长为错误!米，因此新墙总长L＝2x＋错误!(x＞0)，则L′＝2－错误!.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为错误!＝32（米)，可使L最小．答案：A3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x（单位：万件)的函数关系式为y＝－错误!x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件剖析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去),当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.因此当x＝9时，y获取最大值．答案：C4．某箱子的容积与底面边长x的关系为V（x）＝x2错误!(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为__________．2360x－x2剖析：V（x)＝，V′(x)＝－错误!x＋60x。2令V′（x)＝0，得x＝40。∵0＜x＜40时，V′（x）＞0；40＜x＜60时，V′（x)＜0,-1-学必求其心得，业必贵于专精x＝40时，V（x）最大．答案：405．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，尔后把四边翻转90°，再焊接而成(如图）．问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少？剖析：设容器的高为x，容器的体积为V,则V＝(90－2x)（48－2x)x（0＜x＜24），即V＝4x3－276x2＋4320x。∵V′＝12x2－552x＋4320，由V′＝12x2－552x＋4320＝0，得x1＝10,x2＝36。∵0＜x＜10时,V′＞0，10＜x＜36时，V′＜0,x＞36时,V′＞0，∴当x＝10时，V有极大值V（10）＝1960。又∵0＜x＜24，∴V(10）又是最大值．∴当x＝10时，V有最大值V(10）＝1960.故当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积是1960cm3.（限时:30分钟）1．某产品的销售收入y1(万元）是产量x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2（万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2（x＞0)，为使利润最大，应生产(）A．9千台B．8千台C．6千台D．3千台剖析：构造利润函数y＝1－2＝18x2－23(x＞0),求导得y′＝36x－62＝0，解得x＝6yyxx（x＝0舍去)．因此x＝6时,函数获取极大值,也是最大值．答案：C2．有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为（）A．18B．10C．8D．1剖析：设正方形的边长为x，则V＝（8－2x)(5－2x）x＝2（2x3－13x2＋20x）错误!,V′＝4(3x2－13x＋10）错误!，-2-学必求其心得，业必贵于专精令V′＝0，得x＝1，因此当x＝1时，容积V取最大值为18.答案：D3．若一球的半径为r,则内接于球的圆柱的侧面积最大为(）A．2πr2B．πr2C．4πr2D。错误!πr2剖析:如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l,则R＝rcosθ,l＝2rsinθ，2∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πrsinθcosθ.2222S′＝4πr(cosθ－sinθ）＝4πrcos2θ＝0，当θ＝错误!，即R＝错误!r时，S侧最大且(S侧)max＝2πr2。答案:A4．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，尔后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(）A．6B．8C．10D．12剖析：设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2（0＜＜24），′＝12（24－)(8－)．令′＝0，则在(0,24）内有x＝8，故当x＝8时，xVxxV有最大值．答案：B5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售为Q，销量Q（单位：件）与零售价P（单位：元）有以下关系：Q＝8300－170P－P2,则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出)（）A．30元B．60元C．28000元D．23000元剖析：设毛利润为L（P)，由题意知,L(P）＝PQ－20Q＝Q（P－20)(8300－170P－P2)（P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，-3-学必求其心得，业必贵于专精因此L′（P)＝－3P2－300P＋11700。令L′（P）＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去）．此时，L(30）＝23000。依照实责问题的意义知，L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元．答案：D6．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________cm,宽为________cm，高为________cm时,可使表面积最小．剖析：设底面两邻边长分别为xcm，2xcm，则高h＝错误!＝错误!.∴表面积S＝4x2＋2（x＋2x）·错误!＝4x2＋错误!（x＞0）．∴S′＝8x－错误!＝错误!(x3－27）．令S′＝0,解得S在(0,＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，∴x＝3时函数取极值，且就是它的最小值．答案:6347．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为__________dm时最省料．剖析：设底面边长为xdm，则高＝错误!,h其表面积为S＝x2＋4×错误!×x＝x2＋错误!,S′＝2x－错误!，令S′＝0，得x＝8,则高h＝错误!＝4（dm）．答案：48．一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(以下列图)．当帐篷的极点O终究面中心O1的距离为__________时,帐篷的体积最大．剖析:设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3。则由题设可得正六棱锥底面边长为错误!＝错误!（m），于是底面正六边形的面积为22S＝6×错误!(错误!）＝错误!(8＋2x－x)．122V＝3×错误!(8＋2x－x)(x－1）＋错误!（8＋2x－x)＝错误!(8＋2x－x2）错误!＝错误!(16＋12x－x3)，-4-学必求其心得，业必贵于专精求导数，得V′＝错误!（12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2（不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0;当2＜x＜4时,V′＜0。因此当x＝2时，V最大．答案:2m9．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度没关的花销是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的花销总和最小？剖析：设轮船速度为x(x＞0）千米/时的燃料花销为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝错误!。∴Q＝错误!x3。∴总花销y＝错误!·错误!＝错误!x2＋错误!.y′＝错误!－错误!。令y′＝0，得x＝20。∴当x∈(0，20）时，y′＜0,此时函数单调递减，当x∈（20，＋∞）时，y′＞0,此时函数单调递加．∴当x＝20时，y获取最小值，∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的花销总和最小．10．统计表示：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升)关于行驶速度x(千米/时)的函数剖析式可以表示为y＝错误!x3－错误!x＋8（0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？剖析：(1）当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了错误!＝2.5小时，要耗油错误!×2。5＝17.5(升)．（2）当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了错误!小时，设耗油量为h(x）升，依题意得h（x）＝错误!×错误!＝错误!x2＋错误!－错误!(0＜x≤120），xh′（x)＝640－错误!＝错误!(0＜x≤120）．令′(）＝0，得x＝80.hx因为x∈(0,80）时,h′(x）＜0，h（x）是减函数；x∈(80，120）时，h′(x）＞0，h（x)是增函数，因此当x＝80时，(x)获取极小值(80）＝11.25（升）．hh因为h(x）在（0,120］上只有一个极小值,因此它是最小值．即汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．11．为了在夏季降平易冬季供暖时减少能源耗费，房屋的屋顶和外墙需要建筑隔热层．某-5-学必求其心得，业必贵于专精幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为6万元．该建筑物每年的能源耗资资用C(单位：万元）与隔热层厚度x(单位：cm）满足关系：C（x)＝错误!（0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源耗资资用为8万元．设f（x）为隔热层建筑花销与20年的能源耗资花销之和．（1）求k的值及f(x）的表达式；（2)隔热层修建多厚时，总花销f(x）达到最小，并求最小值．剖析:(1）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源耗资资用为C（x）＝错误!，再由C（0）＝8,得k＝40,因此C(x）＝错误!.而建筑花销为C1（x)＝6x.最后得隔热层建筑花销与20年的能源耗资资用之和为f（x）＝20C（x）＋C1(x）＝20×错误!＋6x＝错误!＋6x（0≤x≤10）．（2)f′(x）＝6－错误!。令f′(x)＝0，即错误!