机电控制原理及应用课件

第2章受控机械系统动态模型

本章讨论受控机械系统的动态模型。受控机械可以有各种各样的结构形式。如果抽象为力学模型，可以分别表示为质点平移系统定轴旋转系统机械传动系统定点旋转系统多刚体系统2022/11/221TianjinUniversityofTechnology第2章受控机械系统动态模型本章讨2.1质点平移系统

位移机械系统的基本元件是质量、阻尼及弹簧。这些元件的符号如图2-1所示。

注意，图2-1只是机械元件的数学模型，它们不一定是具体物理装置的精确表示。因此，在应用这些定义时，必须是实际物理系统的合理抽象。

图2-l机械直线位移元件(a)

质量；(b)阻尼；(c)弹簧2022/11/222TianjinUniversityofTechnology2.1质点平移系统位移弹簧质量(2-1)(2-2)

(2-3)

阻尼

方程(2-1)~(2-3)应用了图示箭头方向的力和位移。如果其中任何一个方向相反，则方程中的那一项必须变号。

2022/11/223TianjinUniversityofTechnology弹簧质量(2-1)(2-2)(2-3)阻尼方程(

在这些机械元件中，阻尼耗散能量但不能储存能量，而质量和弹簧能储存能量但不消耗能量。当我们列写由这些机械元件通过内部连结而形成系统的方程时，通常需要应用牛顿定律，即作用于物体上的外力之和等于物体的质量与它的加速度之乘积。

在建立由质点-弹簧-阻尼器组成的质点平移系统的动态数学模型时，一般利用牛顿第二定律列写该系统的动力学微分方程。具体方法是：

第三，注意弹簧力和阻尼力都是起阻止质点运动的，应按照这一物理原理决定这两个作用力的符号。

首先，系统中的每一个质点必须列写一个微分方程；

其次，每一个微分方程的左边为该质点的惯性力(即质量与加速度的乘积)，右边等于与该质点相连结的弹簧力和阻尼力以及外作用力之和；2022/11/224TianjinUniversityofTechnology在这些机械元件中，阻尼耗散能量例2-1考虑单自由度质量-弹簧系统，质量为m的质点通过刚度为K的弹簧和阻尼系数为b的阻尼器悬挂在机壳上，如图2-2所示。试用牛顿定律建立质点平移系统数学模型。

图2-2单自由度质量-弹簧系统

2022/11/225TianjinUniversityofTechnology例2-1考虑单自由度质量-弹簧系统，质量为m的质点通解

系统的微分方程可列写如下：

将式(2-5)代入(2-4)，移项合并后，可得

或者表示为(2-4)

(2-5)

(2-6)

(2-7)

2022/11/226TianjinUniversityofTechnology解系统的微分方程可列写如下：

将式(2-5)代入(2-4

拉氏变换后，可得

因此，系统的传递函数为

式(2-9)表明，只有一个质点的单自由度平移系统是一个二阶系统。实际上，系统中有一个具有独立位移的质点应列写一个二阶微分方程，有n个质点应列写n个二阶微分方程，因此，由n个质点组成的系统应是2n阶系统。(2-8)

(2-9)

2022/11/227TianjinUniversityofTechnology拉氏变换后，可得因此，系统的传递函数为2.2定轴旋转系统

线性转动系统与线性移动系统是类似的，列写线性移动方程的方法同样可适用于线性转动系统。线性转动系统的三个元件如图2-3所示。图2-3机械转动元件(a)转动惯量；(b)阻尼；(c)弹簧2022/11/228TianjinUniversityofTechnology2.2定轴旋转系统线性转动系统与线性移动系扭转弹簧

转动惯量

(2-10)(2-11)

(2-12)

黏性阻尼器

在方程(2-11)和(2-12)中，假设了转动元件具有零转动惯量。

2022/11/229TianjinUniversityofTechnology扭转弹簧转动惯量(2-10)(2-11)(2-12)

根据旋转机械元件的定义方程(2-10)~(2-12)，利用绕旋转轴的转矩之和必须等于转动惯量与角加速度乘积的原理，可以建立机械旋转系统的动态模型。具体建模做法与质点平移系统完全类似，只是将平移系统的质量m改为旋转系统的转动惯量J，平移系统的线位移x、线速度及线加速度改为旋转系统的角位移θ、角速度及角加速度以及平移系统的力f改为旋转系统的力矩M。2022/11/2210TianjinUniversityofTechnology根据旋转机械元件的定义方程(2-10)~(2-12)例2-3

考虑打印机中的步进电动机—同步齿形带驱动装置。采用图2-4所示模型。图中，K、B分别表示同步齿形带的弹性和阻尼，M(t)为步进电动机的转矩，Jm和JL分别表示步进电动机转子和负载的转动惯量，θi和θo分别表示输入轴和输出轴的转角。

图2-4步进电动机—同步齿形带驱动装置2022/11/2211TianjinUniversityofTechnology例2-3考虑打印机中的步进电动机—同步齿形带驱动装置。采解

本系统有两个转动自由度θi和θo，因此，必须列两个转矩平衡方程。

(2-13)(2-14)(2-15)(2-16)

根据方程(2-15)和方程(2-16)，可画出系统传递函数方块图如图2-5(a)所示。

输入轴输出轴取拉氏变换，可得2022/11/2212TianjinUniversityofTechnology解本系统有两个转动自由度θi和θo，因此，必须列两个转矩图2-5例2-3驱动装置的传递函数方块图及其简化

2022/11/2213TianjinUniversityofTechnology图2-5例2-3驱动装置的传递函数方块图及其简化202

进一步，通过简化方块图2-5(a)为图2-5(b)，再为图2-5(c)，或者联立求解方程(2-15)和方程(2-16)，可得

这是一个低通滤波器特性，对步进电动机的震动具有隔离作用。

(2-17)

方程(2-17)表明，采用同步齿形带传动，系统增加了一个自由度，附加了传递函数

2022/11/2214TianjinUniversityofTechnology进一步，通过简化方块图2-5(a)为图2-5(b)

机械传动装置是许多伺服系统不可缺少的一个重要机械部件，通常具有各种形式：2.3机械传动装置齿轮系齿轮齿条副丝杠螺母副蜗轮蜗杆副谐波齿轮

2022/11/2215TianjinUniversityofTechnology机械传动装置是许多伺服系统不可缺少的一个重要2.3.1旋转/直线变换

在运动控制问题中，经常需要将旋转运动转换为平移运动。例如，通过丝杠螺母副、小齿轮齿条副以及同步齿形带，由旋转的主动轴控制负载的直线运动，如图2-6所示。图2-6由旋转到直线运动的控制2022/11/2216TianjinUniversityofTechnology2.3.1旋转/直线变换在运动控制问题中，负载质量与转动惯量的等价转换：（b）小齿轮齿条传动（c）同步齿形带传动(2-18)(2-19)(2-20)（a）丝杠螺母副

2022/11/2217TianjinUniversityofTechnology负载质量与转动惯量的等价转换：(2-18)(2-19)(2-2．3．2速比折合

讨论齿轮传动系统。参考图2-7的一对齿轮的传动系统，主动轮1与从动轮2的转角分别为θ1和θ2，转动惯量分别为J1和J2，黏性阻尼系数分别为B1和B2，主动轴上的驱动力矩为Mi，从动轴上的负载力矩为Mo。

图2-7齿轮传动及其简化(a)原传动系统；(b)向主动轴简化；(c)向从动轴简化

2022/11/2218TianjinUniversityofTechnology2．3．2速比折合讨论齿轮传动系统。参考图(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)(2-26)解下列各式联立的方程组：(2-27)传动系统向主动轴简化可得2022/11/2219TianjinUniversityofTechnology(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)传动系统向从动轴简化(2-28)

由从动轴2向主动轴1折合，从动轴上的转动惯量、阻尼系数都要乘以由轴1到轴2的传动比的二次方，而转矩只乘以传动比的一次方。反之亦然。

根据以上推算，可得结论如下：同理，可得2022/11/2220TianjinUniversityofTechnology传动系统向从动轴简化(2-28)由从动轴2向主动轴12．3．3非刚性传动链

考虑转轴为非刚性的情况。如图2-8所示，z2，z3为一对啮合齿轮，转动惯量分别为J2，J3，飞轮J1，J4分别通过轴1及轴2与齿轮z2，z3

相连，轴1和轴2的扭转刚度分别为K1，K2，输入转矩为Mi，齿轮z2，z3传递的转矩为M2，M3。

图2-8带非刚性轴的齿轮传动2022/11/2221TianjinUniversityofTechnology2．3．3非刚性传动链考虑转轴为非刚性的情况解下列各式联立的方程组：(2-29)(2-30)(2-31)(2-32)(2-33)2022/11/2222TianjinUniversityofTechnology解下列各式联立的方程组：(2-29)(2-30)(2-31)可得该传动系统的等效系统，如图2-9所示。

图2-9带非刚性轴的齿轮传动的简化图(2-34)(2-35)(2-36)2022/11/2223TianjinUniversityofTechnology可得该传动系统的等效系统，如图2-9所示。图2-

将上列各式拉氏变换，整理后，可得：

由此可得系统传递函数如下：(2-37)(2-38)(2-39)(2-40)2022/11/2224TianjinUniversityofTechnology将上列各式拉氏变换，整理后，可得：由此可综合以上讨论结果，可得结论如下：

对于一个无功率消耗的传动系统，从动轴上的转动惯量J、黏性阻尼系数B以及弹性系数K折合到主动轴上，都必须乘以由主动轴到从动轴的传动比的二次方n2，才能得到等效的转动惯量n2J、等效的黏性阻尼系数n2B以及等效的弹性系数n2K。而从动轴的转角θ和作用在从动轴上的转矩M折合到主动轴上，则必须分别除以和乘以传动比n。这样，主动轴和等效的从动轴可以串接起来，作为单轴的机械转动系统处理。2022/11/2225TianjinUniversityofTechnology综合以上讨论结果，可得结论如下：202．3．4主谐振频率

在控制系统应用中，往往最感兴趣的是关于传动装置的主谐振频率。因此，将齿轮等效转动惯量分别与主动轴和从动轴的飞轮惯量合并。从而，图2-9的等效系统可以进一步简化为图2-10。

图2-10齿轮传动系统的近似简化2022/11/2226TianjinUniversityofTechnology2．3．4主谐振频率在控制系统应用中，往往

根据图2-10，可列写出如下方程：经拉氏变换后，可得简化系统的传递函数为：(2-41)2022/11/2227TianjinUniversityofTechnology根据图2-10，可列写出如下方程：经拉氏变换后，可得简化系

因此，该齿轮传动系统的主谐振频率近似为(2-42)2022/11/2228TianjinUniversityofTechnology因此，该齿轮传动系统的主谐振频率近似为(2-

例2-4考虑图2-11（a）所示的机床进给系统。它由齿轮、轴、丝杠螺母副及直线运动工作台等组成。图中，Mi——驱动电动机输入转矩；x0(t)——工作台位移；z1，z2，z3，z4——齿轮齿数；

J1，J2，J3——I轴、II轴、III轴上的转动惯量；

K1，K2，K3——I轴、II轴、III轴的扭转刚度；

K4——丝杠螺母副及螺母座部分的轴向刚度系数；m——工作台直线运动部分的质量；

B——工作台直线运动速度阻尼系数；

L——丝杠导程。2022/11/2229TianjinUniversityofTechnology例2-4考虑图2-11（a）所示的机床进给系

解根据传动比转换关系，折合到主动轴的等效传动系统如图2-11（b）所示。并且进一步将Ⅱ、Ⅱ轴的等效转动惯量合并到输出轴，从而得到简化系统如图2-11（c）所示。图2-11机床进给系统及其简化2022/11/2230TianjinUniversityofTechnology解根据传动比转换关系，折合到主动轴的等效传动系统如图图中，简化系统的微分方程为2022/11/2231TianjinUniversityofTechnology图中，简化系统的微分方程为2022/10/1131Tianj拉氏变换以后，可得(2-43)

解此方程组，可得机床进给系统的简化传递函数为(2-44)

图2-12机床进给系统传递函数方块图2022/11/2232TianjinUniversityofTechnology拉氏变换以后，可得(2-43)解此方程组，可得机床进

通常，在机械传动系统中，阻尼都是比较弱的，因此，上式可以进一步近似为

由式(2-45)很容易看出，简化系统的主谐振频率为(2-45)2022/11/2233TianjinUniversityofTechnology通常，在机械传动系统中，阻尼都是比较弱的，因2．4定点旋转机械系统

在分析定点旋转机械系统时，所依据的动力学定理主要是欧拉动力学方程。在动坐标系oxyz中，欧拉动力学方程可以表示为

(2-46)2022/11/2234TianjinUniversityofTechnology2．4定点旋转机械系统在分析定点旋转机

下面，我们利用动量矩定理，集中研究三轴万向框架系统的动态模型。图2-13(a)是三轴万向环架几何结构示意图。图2-13三轴万向框架系统2022/11/2235TianjinUniversityofTechnology下面，我们利用动量矩定理，集中研究三轴万向框

(2-47)(2-48)(2-49)定点旋转的万向环架的动力学模型

这一动态模型也适用于一般的三轴定点旋转系统。当系统处于大角度运行状态时，系统模型是三个互相交链的二阶非线性微分方程组。只有当系统处于初始位置附近时，A和P角很小，取sinP＝P，sinA＝A以及cosP＝cosA＝1，并假设Jix≈Jiy，那么，定点旋转系统动力学方程才可以线性化为2022/11/2236TianjinUniversityofTechnology(2-47)(2-48)(2-49)定点旋转的万向环架的动(2-50)

这样，互相耦合的三根轴完全解耦，分别由互相独立的三个二阶线性微分方程建模，即，将定点旋转系统分解为三个定轴旋转系统处理。在初步分析设计时，这样做可以使问题得到极大的简化。但是，在计算各轴上的伺服电动机转矩时，则必须使用完整的动态模型，以获得精确的反馈控制系统的设计。2022/11/2237TianjinUniversityofTechnology(2-50)这样，互相耦合的三根轴完全解2．5多刚体机械系统

建立多刚体系统的动态模型一般采用拉格朗日方程

(2-50)

一个具有质量mq的刚体在三维空间的动能是一个标量，它可以由下列关系式确定：(2-51)

其中，三维向量Vq表示刚体质心相对基座的线速度，三维向量Ωq表示刚体相对基座的旋转角速度。它们都在坐标系q中表示。并且，3×3矩阵Jq表示刚体相对坐标系q(当坐标系原点移到刚体质心时)的惯性矩(或惯性张量)。2022/11/2238TianjinUniversityofTechnology2．5多刚体机械系统建立多刚体系统的动态模型一般2．5．1球坐标工业机器人

球坐标工业机器人的前三个连杆的原理结构如图2-14(a)所示。选择广义坐标θ2=θ和θ3=h，如图2-14(b)所示。

图2-l4球坐标结构工业机器人2022/11/2239TianjinUniversityofTechnology2．5．1球坐标工业机器人球坐标工业机器人的系统的动能

(2-52)(2-53)(2-54)

因为系统的总动能和广义力(矩)fq(q＝2，3)已经确定，所以可以直接利用拉格朗日方程(2-50)来建立系统动态模型。

广义力(矩)2022/11/2240TianjinUniversityofTechnology系统的动能(2-52)(2-53)因为系统的总动能q＝2

解联立方程组得(2-55)2022/11/2241TianjinUniversityofTechnologyq＝2解联立方程组得(2-55)2022/10/1141Tq＝3

解联立方程组得(2-56)2022/11/2242TianjinUniversityofTechnologyq＝3解联立方程组得(2-56)2022/10/1142T

对于实际的工业机器人，其工作速度一般都比较低，加速度的影响很小，通常可以忽略不计。若考虑原点附近的运动，令cosθ≈1和sinθ≈θ，以及h为小量。那么，在略去二阶小量后，方程(2-55)和(2-56)可简为下列线性模型：(2-57)2022/11/2243TianjinUniversityofTechnology对于实际的工业机器人，其工作速度一般都比较低，加速度2．5．2旋转坐标工业机器人

具有旋转坐标的工业机器人的原理结构如图2-15所示。第l连杆为立柱，第2连杆为大臂，第3连杆为小臂。

图2-15旋转坐标结构工业机器人

2022/11/2244TianjinUniversityofTechnology2．5．2旋转坐标工业机器人具有旋转坐标的工业第3连杆的动能为(2-58)(2-59)(2-60)第1连杆的旋转动能为

第2连杆的旋转动能为2022/11/2245TianjinUniversityofTechnology(2-58)(2-59)(2-60)第1连杆的旋转动能为第对于式(2-60)，2022/11/2246TianjinUniversityofTechnology对于式(2-60)，2022/10/1146Tianjin(2-61)2022/11/2247TianjinUniversityofTechnology(2-61)2022/10/1147TianjinUniv三连杆旋转坐标工业机器人的总动能

(2-62)2022/11/2248TianjinUniversityofTechnology三连杆旋转坐标工业机器人的总动能(2-62)2022/10

另外，作用于各个连杆的广义力在平衡位置附近可近似地表示为(2-63)

将以上结果代入拉格朗日方程(2-62)，直接可得三连杆旋转坐标工业机器人的动态模型如下：(2-64)

由以上方程组可看出，在平衡位置附近，当机器人的工作速度比较低时，三连杆旋转坐标工业机器人的动态模型是三个二阶线性微分方程，其中，第1连杆的运动是独立的。这种简化的线性模型可以应用于初步分析和设计。2022/11/2249TianjinUniversityofTechnology另外，作用于各个连杆的广义力在平衡位置附近2．6微型机电系统

微型机电系统(MEMS)通常采用微梁或膜片支承的试验质量作为敏感元件。为了定量分析和设计这类MEMS器件，必须建立它们的动力学模型。本节基于耦合静电场的两端点对模型和微结构的主振动模态，建立静电场耦合MEMS传感器动态模型。2022/11/2250TianjinUniversityofTechnology2．6微型机电系统微型机电系统(MEMS)

2．6．1耦合静电场两端点对模型

静电场耦合微机电系统(MEMS)方块图如图2-16所示。

图2-16静电场耦合微机电系统

耦合静电场的两个端点变量对具有两个独立变量，另外两个变量可以通过静电场表达式求取。独立变量对有两种选取方法。2022/11/2251TianjinUniversityofTechnology2．6．1耦合静电场两端点对模型静电选取独立变量对(q，x)

选取独立变量对(u，x)

(2-65)(2-66)(2-67)(2-68)

以上各式表明，当静电场能量已知为独立变量的函数时，则所有端点的变量都可确定，并且，由此可以计算所有端点电路与机械系统的相互关系。静电场储能We'采用独立变量(q，x)，需要寻找函数u(q，x)；而静电场同等能量采用独立变量(u，x)，则需要寻找函数q(u，x)。工程上经常采用后一种方法，因为计算函数q(u，x)比较方便。2022/11/2252TianjinUniversityofTechnology选取独立变量对(q，x)选取独立变量对(u，x)2．6．2系统动态模型

在力(压力)和／或加速度作用下，试验质量产生的微小位移由其与基片电极或定齿之间形成的差动电容电桥检测，并转换为与位移成比例的电信号输出。电的输出信号经过交流前置放大、同步解调、校正及直流功率放大等处理后，又加给试验质量与基片电极或定齿之间形成的另一组加力电容，组成静电力反馈回路。平衡时，反馈的静电力等于作用于试验质量的输入外力(压力)，或加速度引起的惯性力。这样，反馈的静电力就可以作为被测量的度量。2022/11/2253TianjinUniversityofTechnology2．6．2系统动态模型在力(压力)和／或加

设试验总质量为m，弹性梁的刚度为K，等效黏性阻尼系数为b，惯性力ma或者其他外作用力fd作为被测量，那么，根据传感器的基本作用原理，可以画出MEMS等价系统原理图，如图2-20所示。图2-20微机电传感器系统原理2022/11/2254TianjinUnive