数列的概念与简单表示法数列的性质和递推公式NO课下检测

一、选择题1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2解析：逐项验证可知B选项合适．答案：B2．已知数列{an}满足a1＞0，且an＋1＝eq\f(1,2)an，则数列{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列解析：由a1＞0，且an＋1＝eq\f(1,2)an，则an＞0，又eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2)＜1，∴an＋1＜an.因此数列{an}为递减数列．答案：B3．(2022·福州高二检测)已知数列{an}的项满足an＋1＝eq\f(n,n＋2)an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于()\f(2,n＋12) \f(2,nn＋1)\f(1,2n－1) \f(1,2n－1)解析：a1＝1＝eq\f(2,1×2)，∵an＋1＝eq\f(n,n＋2)an∴a2＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,2×3).同理可求a3＝eq\f(1,6)＝eq\f(2,3×4).因此，猜想an＝eq\f(2,nn＋1).答案：B4．在数列{an}中，已知an＝eq\f(n＋c,n＋1)(c∈R)，则对于任意正整数n有()A．an＜an＋1B．an与an＋1的大小关系和c有关C．an＞an＋1D．an与an＋1的大小关系和n有关解析：∵an＝eq\f(n＋c,n＋1)＝eq\f(n＋1＋c－1,n＋1)＝1＋eq\f(c－1,n＋1)∴an－an＋1＝eq\f(c－1,n＋1)－eq\f(c－1,n＋2)＝eq\f(c－1,n＋1n＋2)当c－1＞0时an＞an＋1；当c－1＜0时an＜an＋1；当c－1＝0时an＝an＋1.答案：B二、填空题5．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中最大的项为第________项．解析：∵f(n)＝－2n2＋21n＝－2(n－eq\f(21,4))2＋eq\f(441,8)(n∈N*)，∴n＝5或6时an最大．∵a5＝55，a6＝54，∴最大项为第5项．答案：56．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2012＝________.X12345f(x)51342解析：由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2,1,5,2,1，…故数列{xn}为周期为3的周期数列．∴x2012＝x3×670＋2＝x2＝1.答案：17．数列{an}中a1＝1，a2＝3，aeq\o\al(2,n)－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4＝________.解析：令n＝2得aeq\o\al(2,2)－a1·a3＝－1，∴a3＝10.令n＝3代入，得aeq\o\al(2,3)－a2a4＝(－1)2，∴a4＝33.答案：338．(2022·龙山高二检测)我们可以利用数列{an}的递推公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n，n为奇数时，,a\f(n,2)，n为偶数时))(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．解析：由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．答案：640三、解答题9．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．解：a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.可猜想an＝2n－1＋1.10．已知an＝a(eq\f(1,2))n(a为常数且a≠0)，试判断{an}的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．∵an－an－1＝a(eq\f(1,2))n－a(eq\f(1,2))n－1＝－a(eq\f(1,2))n＜0，∴{an}是递减数列．解：这种解法误认为a＞0，所以不对，对于非零实数a应讨论a＞0和a＜0两种情况．∵an