2019-2020年高中数学第五课时微积分基本定理教案北师大版选修2-2

2019-2020年高中数学第五课时微积分基本定理授课设计北师大版选修2-2一：授课目的知识与技术目标：经过实例，直观认识微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法：经过实例领悟用微积分基本定理求定积分的方法感神态度与价值观：经过微积分基本定理的学习，领悟事物间的相互转变、对峙一致的辩证关系，培养学生辩证唯物主义见解，提高理性思想能力。二、授课重难点重点经过研究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观认识微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点认识微积分基本定理的含义三、授课方法：探析归纳，讲练结合四、授课过程（一）、复习：定积分的见解及用定义计算（二）、研究新课我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，因此不是求定积分的一般方法。我们必须追求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中地址函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在地址为S（t）,速度为v（t）（），则物体在时间间隔内经过的行程可用速度函数表示为。另一方面，这段行程还可以经过地址函数S（t）在上的增量来表达，即=而。对于一般函数，设，可否也有若上式成立，我们就找到了用的原函数(即满足)的数值差来计算在上的定积分的方法。注：1:定理若是函数是上的连续函数的任意一个原函数，则证明：由于=与都是的原函数，故-=C()其中C为某一常数。令得-=C,且==0即有C=,故=+=-=令，有此处其实不要修业生理解证明的过程b.为了方便起见，还常用表示，即f(x)dx=F(x)lb=F(b)-F(a)峪a它该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的为后边问题，转变为求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。不但如不但揭穿了导数和定积分之间的内在联系，同时也供应计算定积分的一种有效方法，的学习确定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最灿烂的成就。例1.计算以下定积分：；(2)。解：(1)由于，12因此dx=Inx|i=ln2-ln1=ln2。x)由于，31331因此(2xRdx2xdx^dx1x1x12313122=x2f+—卜(9-1)+(丁1)=可。3x3练习：计算解：由于是的一个原函数，因此依照牛顿一莱布尼兹公式有”兀2X2H例2.计算下歹U定积分：

sinxdx,sinxdx,sinxdx。由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：由于，因此3TITsinxdx=(—cosx)|0=(—cosn)—(—cosO)=2，2二2-sinxdx=(-cosx)|=(-cos2二)一(-cos二)=-2，JL2C.2—sinxdx=(—cosx)|0"=(—cos2兀)—(—cosO)=0?0:可以发现，定积分的值可能取正当也可能取负值，还可能是1.6一3)，定积分的值取正当，且等(I)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(图(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(图1.6一4)，定积分的值取负值，且于曲边梯形的面积;等于曲边梯形的面积的相反数;(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0(图1.6一5)，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.例3.AB两站相距7.2km，—辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24-1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求(1)A、C间的距离；(2)BD间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间。解析：作变速直线运动的物体所经过的行程

s,等于其速度函数

v=v(t)(v(t)

>0)在时间区间[a,b]上的定积分，即20

220略解：(1

)设

A

到

C

的时间为

ti则

1.2t=24,t

i=20(s),

则

AC=

1.2tdt=0.6t2

10=240(m)Jo(2)设D

到

B

的时间为

t2i则

24-1.2t

2=0,t

2i=20(s),20220则DB=(24—1.2t)dt=0.6t21=240(m)2°0(3)CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320(s)微积分基本定理揭穿了导数和定积分之间的内在联系，同时它也供应了计算定积分的一种有效方法.微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以绝不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最灿烂的成就.四：课堂小结：本节课借助于变速运动物体的速度与行程的关系以及图形得出了特别情况下的牛顿-莱布尼兹公