高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件

第六节高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式二、高斯公式的物理意义通量与散度三、斯托克斯（Stokes）公式四、斯托克斯公式的物理意义环流与旋度五、作业第六节高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式一、高斯公式定理一、高斯公式定理证明思路与格林公式的证明思路类似只证明：R关于x，y的曲面积分等于相应的三重积分（其余类似可证）对空间区域进行分类：（1）区域由上下两片和垂直于xoy面的柱面围成（2）区域为单连通区域（3）区域为多连通区域证明思路与格林公式的证明思路类似先证明：先证明：证明证明根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件同理可证：高斯（Gauss）公式所以：同理可证：高斯（Gauss）公式所以：Gauss公式的实质

表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重使用Gauss公式时应注意:使用Gauss公式时应注意:Guass公式应用之一:简化曲面积分计算解(利用柱面坐标得)课本例2注：对称性+截面法更简单，自己练习！Guass公式应用之一:简化曲面积分计算解(利用柱面坐标得)添加曲面（取下侧）使之封闭，在闭区域上使用高斯公式。对新添加之曲面（实为平面），用“一投、二代、三定号”的基本方法计算其曲面积分.课本例3，07期末题添加曲面（取下侧）使之封闭，在闭区域上课本例3，07期末题高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件增加课本例4?增加课本例4?试题链接：上一节例3试题链接：上一节例3高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件课本例5课本例5解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件故所求积分为故所求积分为Gauss公式的应用之二：体积公式提示：课本例1Gauss公式的应用之二：体积公式提示：课本例1二、高斯公式物理意义--通量与散度1.通量的定义:二、高斯公式物理意义--通量与散度1.通量的定义:2.散度的定义:物理意义：通量对体积的变化率，称为通量密度.2.散度的定义:物理意义：通量对体积的变化率，称为通量密度散度在直角坐标系下的形式积分中值定理两边取极限,散度在直角坐标系下的形式积分中值定理两边取极限,高斯公式可写成高斯公式右端：单位时间内离开区域的流体总质量(流量).高斯公式左端：区域内源头在单位时间所产生的流体质量的平均值.高斯公式可写成高斯公式右端：单位时间内离开区域的高斯公式左端小结应用的条件物理意义高斯公式的实质高斯公式小结应用的条件物理意义高斯公式的实质高斯公式三、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式.三、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式.

是有向曲面的正向边界曲线右手法则证明如图是有向曲面的右手法则证明如图思路曲面积分二重积分曲线积分12思路曲面积分二重积分曲线积分1211根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线同理可证所以，.同理可证所以，.另一种形式便于记忆形式另一种形式便于记忆形式Stokes公式的实质:

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲简单的应用解按斯托克斯公式,有简单的应用解按斯托克斯公式,有高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件解则解则即即四、斯托克斯公式的物理意义--环流量与旋度1.环流量的定义:四、斯托克斯公式的物理意义--环流量与旋度1.环流量的定义利用stokes公式,有2.旋度的定义:利用stokes公式,有2.旋度的定义:高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件斯托克斯公式的又一种形式其中斯托克斯公式的又一种形式其中斯托克斯公式的向量形式其中斯托克斯公式的向量形式其中Stokes公式的物理解释:Stokes公式的物理解释:解由力学知道点的线速度为观察旋度由此可看出旋度与旋转角速度的关系.解由力学知道点的线速度为观察旋度由此可看出旋度与旋小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式第六节高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式二、高斯公式的物理意义通量与散度三、斯托克斯（Stokes）公式四、斯托克斯公式的物理意义环流与旋度五、作业第六节高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式一、高斯公式定理一、高斯公式定理证明思路与格林公式的证明思路类似只证明：R关于x，y的曲面积分等于相应的三重积分（其余类似可证）对空间区域进行分类：（1）区域由上下两片和垂直于xoy面的柱面围成（2）区域为单连通区域（3）区域为多连通区域证明思路与格林公式的证明思路类似先证明：先证明：证明证明根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件同理可证：高斯（Gauss）公式所以：同理可证：高斯（Gauss）公式所以：Gauss公式的实质

表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重使用Gauss公式时应注意:使用Gauss公式时应注意:Guass公式应用之一:简化曲面积分计算解(利用柱面坐标得)课本例2注：对称性+截面法更简单，自己练习！Guass公式应用之一:简化曲面积分计算解(利用柱面坐标得)添加曲面（取下侧）使之封闭，在闭区域上使用高斯公式。对新添加之曲面（实为平面），用“一投、二代、三定号”的基本方法计算其曲面积分.课本例3，07期末题添加曲面（取下侧）使之封闭，在闭区域上课本例3，07期末题高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件增加课本例4?增加课本例4?试题链接：上一节例3试题链接：上一节例3高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件课本例5课本例5解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件故所求积分为故所求积分为Gauss公式的应用之二：体积公式提示：课本例1Gauss公式的应用之二：体积公式提示：课本例1二、高斯公式物理意义--通量与散度1.通量的定义:二、高斯公式物理意义--通量与散度1.通量的定义:2.散度的定义:物理意义：通量对体积的变化率，称为通量密度.2.散度的定义:物理意义：通量对体积的变化率，称为通量密度散度在直角坐标系下的形式积分中值定理两边取极限,散度在直角坐标系下的形式积分中值定理两边取极限,高斯公式可写成高斯公式右端：单位时间内离开区域的流体总质量(流量).高斯公式左端：区域内源头在单位时间所产生的流体质量的平均值.高斯公式可写成高斯公式右端：单位时间内离开区域的高斯公式左端小结应用的条件物理意义高斯公式的实质高斯公式小结应用的条件物理意义高斯公式的实质高斯公式三、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式.三、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式.

是有向曲面的正向边界曲线右手法则证明如图是有向曲面的右手法则证明如图思路曲面积分二重积分曲线积分12思路曲面积分二重积分曲线积分1211根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线同理可证所以，.同理可证所以，.另一种形式便于记忆形式另一种形式便于记忆形式Stokes公式的实质:

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲简单的应用解按斯托克斯公式,有简单的应用解按斯托克斯公式,有高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件解则解则即即四、斯托克斯公式的物理意义--环流量与旋度1.环流量的定义:四、斯托克斯公式的物理意义--环流量与旋度1.环流量的定义利用stokes公式,有2.旋度的定义:利用stokes公式,有2.旋度的定义:高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式课件斯托克斯公式