(完整)线性代数习题集(带答案)

(完整)线性代数习题集(带答案)(完整)线性代数习题集(带答案)(完整)线性代数习题集(带答案)(完整)线性代数习题集(带答案)00PAGEPAGE1第一部分 专项同步练习第一章行列式一、单项选择题下列排列是5阶偶排列的是( )。（A)24315 （B）14325 （C）41523 (D）24351如果nj1

j2

的逆序数是kjn 2

j的逆序数是（ 。1(A）k (B)nk (C）n!k (D)n(nk2 2na

的项共有( ）项.1112（A）0 (B）n2 (C）(n2)! （D)(n0 0 0 14．0 0 1 00 1 0 01 0 0 0

（ )。(A）0 (B)1 （C)1 （D）20 0 1 05.0 1 0 00 0 0 11 0 0 0

( 。(A)0 （B）1 （C）1 (D)22xx111x1232x300016．在函数2xx111x1232x30001（A)0 （B)1 (C)1 (D)2aDa a aaD

2a a

a 2a11 127。若Da a21

131，则23 2

11 132a a21

11 12a 2a21 22

（ ).a a a31 32 33

2a a31 33

a 2a31 32(A)4 (B）4 (C)2 （D)2a8．若11a21

a a12a,则12a a22

ka22 ( ）.ka21（A）ka (B)ka (C）k2a （D)k2a9．已知4阶行列式中第1行元依次是4,0,1,3,第3行元的余子式依次为2,5,1,x,则x（ ).（A)0 （B）3 (C）3 (D）28 7 4 31111437510。若D 6 11114375(A）1 （B)2 （C）3 （D）03 0 4 00100532201005322

，则D中第四行元的余子式的和为( ).（A)1 (B）2 （C)3 （D）0xx kx 012。

等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组1 2 x30有非零解。（ )k x kx1 2 3kxx x 01 2 3(A)1 (B）2 (C）3 (D）0二、填空题1。2n阶排列24(2n)13(2n的逆序数是 。在六阶行列式中项

aaaaa

所带的符号是 .325441651326四阶行列式中包含aa2243

且带正号的项是 .若一个n阶行列式中至少有n2n1个元素等于0，则这个行列式的值等于 。(完整)线性代数习题集(带答案)(完整)线性代数习题集(带答案)(完整)线性代数习题集(带答案)(完整)线性代数习题集(带答案)PAGEPAGE84PAGEPAGE851 1 行列式0 1 0 1 0 0

01 。10010000206．行列式000n1.n000a11

a1(n a2(n1)

a1n0 .a 0 0n1a a11 12如果Da a21 a a31

a a13 11a MDa23 1 a a33

a 3a13 12a 23 a 33

3a12 .223a325552的新行列式的值为 。111x11111x111x111x111x111111111111111111123456784321123456784321876513D

A j24)为D中第四行元的代数余子式，则4j4A 3A41

2A43

A .44b c a已知Dc b a ba c ca c b d

，D中第四列元的代数余子式的和为 。1 2 3 4设行列式D3 3 4 41 5 6 71 1 2 2

6，A4j

为a (j4)的代数余子式，则A A ，4j 41 42A A 。43 4413521352n1120016．已知行列式D1030,D100nkx2x x 0x齐次线性方程组21 2 30仅有零解的充要条件是 。xkx 1 2xx1 2

x 03x 2x x 0若齐次线性方程组1 22 530有非零解，则= 。x x k3x1

22x2

3kx 03三、计算题abcda2b2三、计算题abcda2b2c2d2a3b3c3d3bcdacdabdabc1. ; 2．y xy x ；xy x yx a a1 2

a 1n20 1 x 1 a1

x a 2

1n21 0 1 x a a x a 13．解方程 0； 4．1 2

n2 ；x 1 1 0

1 x 1 0 a a1 2

a x 13a a a1 2 3

a 1n1a 1 1 101 a 1 15。15。11a21(ajn)；j111an111131b116。112b1111(nb111 1xaa a7。b1b1a1b2a1a2a1a2;a18．a11xa22 na a2 nx a ；nb bbaaaax123n123210001x2xxxx1210019.xx21121x221nxx2n;10。01200xxxx1x200021n1n2n000121aa00011aa0011．D011aa0 。0011aa00011a四、证明题a21 a 1 1a2 ab21 b 1 11 设abcd1，证明： b2 1

0。c2 c 1c2 cd21 d 1 1d2 dabx axb c

a b c1a2

1 bx a2 2

1xb2

1 1 1 1c x2a b c。2 2 2 2abx a3 3

xb c3 3

a b c3 3 31a1b1c1da2b2c2d2a4b4c4d43． (ba)(ca)(da)(cb)(db)(d1a1b1c1da2b2c2d2a4b4c4d41 1 1a a a1 2 na2 a2

a2

n

(a

a)4．1

2 n 。 i j ii1 1ijnan1an1

an2an2

an2n ann5．设a,bc两两不等，证明1a1b1c0的充要条件是abc0.a3b3c3参考答案一．单项选择题ADACCDABCDBB二．填空题1。n;3.a a14 22

a a31

;4。0;5。0；6.(1)n1n!；7。

n(n1)2 a1n

a a 2(n1) 8.3M;9。160；10。x4；11.(n)n1;12。2；13。0；14。0;15.129；16.!1nk1

1);17.k;18。k7k1．(abcda)(ca)(da)(cb)(db)(dc)；2.2(x3y3)；3.x1; 4。n1(xa)kk15.n (akk0

)1nk0

1 ); 6.(2b)((n2)b);a 1k7.()n

ak

)； 8。(x

ak

(xa)；kkkk9。1n xkk1

; 10.n1;11。(1a)(1a2a4)（略)第二章 矩阵一、单项选择题1。A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是（ )。(a)2（b）A2B2(AB)(AB) (c）(AB)AA2AB （d)(AB)TBT设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足（ )时，B=C.（a)AB=BA （b)A0 (c)方程组AX=0有非零解 （d)B、C可逆若A为n阶方阵,k为非零常数，则kA（ ）.（a)kk(c）knkn为n阶方阵，且A0，则( 。

A 4A(a）A中两行（列）对应元素成比例 （b)A中任意一行为其它行的线性组合A中至少有一行元素全为零 (d）A中必有一行为其它行的线性组5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。(a)(AB)1B1(AB)TB（c)(A1B)TB（d）(AB)1A1B16。设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则（ )。(a)(a）A*A1 (b）A*A (c)A*An1 (d)A*An17。设A为3阶方阵，行列式A1，A*为A的伴随矩阵，则行列式(2A)12A*（ ).（a）278

(b)827

(c）278

827设A,B为n阶方矩阵，A2B2,则下列各式成立的是（ )。（a)AB （b)AB （c）B（d）2B2设A，B均为n阶方矩阵,则必有( 。（a)AB（b)ABBA (c)AB（d）A2B210。设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ 。（a）22(b)(2A)12A1（c)[(A1)1]T[(AT)T]1 (d)[(AT)T]1[(A1)T]T11.

a a 11 a a

a a 3aa 13 11 a a

a 3a12 a

a 13 33aa ，则A( 。aa21 31 32

a23 a21 33 31

23 33（a）

1 0 00 1 0

1 0 (b）0 1 0

0 0 (c）0 1 0

1 0 0(d）0 1 0 3 0 1

0 0 1

1 0 1

0 3 1 1 3 112.已知A2 2 0，则（ ). 3 1 (a）ATA (b）A1A*1 0 0 1 1 3 1 0 0 1 1 3(c）

（d） 0 0 1 2 0 2

0 0 1A2 0 2 0 1 0 3 1 13。设B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABCI，则（ 。（a）ACBI (b）CABI （c)CBAI （d）BACI设A为n阶方阵，且|A|0，则（ 。（a)AI(b）AXBAXB当A|I经有限次初等变换变为(I|BA1B以上（、(b（c）都不对设A为mn阶矩阵，秩(rmn，则( ）.（a）A中r阶子式不全为零 （b）A中阶数小于r的子式全为零（c）A经行初等变换可化为Ir 0 （d）A为满秩矩阵00 00 16。设A为mn矩阵,C为n阶可逆矩阵，BAC，则（ 。（a）秩(A〉秩（B） (b）秩(A）=秩(B）（c)秩（A)<秩(B) (d）秩(A）与秩（B）的关系依C而17。A，B为n阶非零矩阵,且AB0，则秩(A）和秩（B（ （a)有一个等于零 （b)都为n (c）都小于n （d）一个小于n，一个等于18。n阶方阵A可逆的充分必要条件是( )。（a)rArn （b）An(c）A的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存19。n阶矩阵A可逆的充要条件是（ 。(a)A的每个行向量都是非零向量（b)A中任意两个行向量都不成比例(c)A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示nXAX0二、填空题1.设A为n阶方阵，I为n阶单位阵,且A2I，则行列式 0ab2.a0c bc01 0 1 设2A 0 2 0 ，则行列式(A3I)1(A29I)的值为 0 0 1 1123234。设A

3 32,且已知A6I，则行列式A11 1 22 22 5.设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且3,则 6。设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为 ab ab ab 1ab

12 1nab ab7。非零矩阵 21 22 2n的秩为 ab abn1 n 2

abn n8。设A为100阶矩阵,且对任何100维非零列向量X,均有AX0，则A的秩为 9.若A(a)为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是 ij10 。 若 方 阵 A 与 4I 相 似 ， 则 A 1lim2K

2K K1 1 1K K 3K 1 1 2n2 lim0 1n 3

1 140 0 4 三、计算题1.解下列矩阵方程（X。2 2 3 2 2 0 1 0

2 0

1 31）1 1 0X3 2

；

1 0 0X 2 1

1 1 1 2 1

0 2

0 0 1

1 0

；3 1 0 1 0 1 3)X(IB1C)TBTI,其中B4 0 44 2 2

; C2 1 21 2 1 1 0 1

； 4）AXA2XI,其中A0 2 01 0 1 ；4 2 35)AXA2X，其中A1 1 01 2 3 ；2A为nA20A。1 1 03。已知A0 2 1，求(A2I)(A24I)1。1 0 1

1 2,

3 4

A0 0，

1 2，求 1212

,

1 0 1 1 1 2

2 3

3 0 0

4 0 1 A A3 4设A2 2 4,求一秩为2的方阵B，使AB0. 3 3 6 2 1 1 0 1 1 6。设A1 0 1,B1 2 1，求非奇异矩阵C,使ACTBC。1 1 0 1 1 0 7PP1AP为对角阵.2 1

1 1 21)A

2）A1 3 11 2

2 0 8.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)T,(1,1,0)T,(2,1,1)T,求矩阵A。5 3 2 9。设A6 4 4,求 4 4 5 四、证明题1.AB均为nAB2。设Ak0(k为整数，求证IA可逆.设a

, ,

0AAk

Ak

a A

I0，求证A是非1 2 k k 1 kk奇异阵。设nABABBA。证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6。证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.91。10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。第二章参考答案b;3d;5d;7.a;8.d；9c；10c；13。a；15。a；16。b;17。c；18.b;19.d。二．1.1或-；2。0;3.-4；4.1;5。816.0；。1；8。100；9。15i1

a ；10。I；i4 i812

0 2.0 0 1 1 10 0 2

1 4 3

2 0 1三、1.1、13 2 ；2、2 3 ；3、1 5 3;4、0 3 0； 16 0

1

1 6 4

1 0 22 0 2

212101210120013 8 6 0 3 1

3 1 15、2 9 6.2.0； 1 3 1 0

5。1 1 1不唯 3。

；0

2 12 9

1 0

4.

；

0 0 0

0 1 0 1 1 3

2 0

1 0 0

；7。1)

1

。 2)

2 1 1

；

1 0 0； 1

0 0 1

1

1 2 2 1 1 1 10022100）22100100 1001 9.2

1004 4

2100）2

。 2

） 21100） 21001第三章 向量一、单项选择题1. ,,1 2

,,1

都是四维列向量且四阶行列式 1 2 3

m,1

2 3 2

n,则行列式 1 2

1 2

( )mn (b)mn (c)mn (d)mn设A为n阶方阵，且A0,则（ 。A中两行（列）AAA设A为n阶方阵，r(A)rn,则在A的n个行向量中（ )。(a)必r个行向量线性无关r个行向量线性无关任意rr个行向量线性表示n阶方阵A可逆的充分必要条件是（ ）r(A)rnA的列秩为nA的每一个行向量都是非零向量A的伴随矩阵存在n维向量组,,,线性无关的充分条件是( ）1 2 s,,,都不是零向量1 2 s,,,中任一向量均不能由其它向量线性表示1 2 s,,,中任意两个向量都不成比例1 2 s,,,中有一个部分组线性无关1 2 sn维向量组,,,(s2)线性相关的充要条件是( ）1 2 s,,,中至少有一个零向量1 2 s,,,中至少有两个向量成比例1 2 s,,,中任意两个向量不成比例1 2 s,,,中至少有一向量可由其它向量线性表示1 2 sn维向量组,,,(3sn)线性无关的充要条件是（ ）1 2 skk1 2

,,s

使得k1 1

k2

k 0s s,,,中任意两个向量都线性无关1 2 s,,,中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示1 2 s,,,中任一部分组线性无关1 2 s8. 设向量组,,,的秩为r,则（ ）1 2 s,,,中至少有一个由r个向量组成的部分组线性无关1 2 s,,,中存在由r1个向量组成的部分组线性无关1 2 s,,,中由r个向量组成的部分组都线性无关1 2 s,,,中个数小于r的任意部分组都线性无关1 2 s设,,,均为n维向量,那么下列结论正确的是（ )1 2 s若k1 1

k2

ks s

0，则,1 2

,,s

线性相关kk1 2,,,线性无关1 2 s

,,s

,都有k1 1

k2

ks s

0，则若,,,kk,k,都有1 2 s 1 2 skk1 1 2

k 0s s(d)若0 0,则,,,线性无关1 2 s 1 2 s已知向量组,,1 2 3

,线性无关，则向量组（ ）4(a)12,23,34,41线性无关2,23,34,41线性无关2,23,34,41线性无关(d2,23,34,41线性无关若向量可被向量组1,2,,s线性表示，则（ ）kk1 2

,,s

使得k1 1

k2

ks s存在一组全为零的数kk1 2

,,s

使得k1 1

k2

ks s存在一组数kk1 2

,,s

使得k1 1

k2

ks s对的表达式唯一下列说法正确的是( ）若有不全为零的数kk1 2

,,s

，使得k1 1

k2

ks s

0,则,1 2

,,s

线性无关若有不全为零的数kk1 2

,,s

k1 1

k2

ks s

0,1 2

,,s

线性无关若,,,线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示1 2 s任何n1个n维向量必线性相关13.设是向量组0)T, (0, 0)T的线性组合,则=（ ）1 2(a)(0, 0)T (b)(2, 14.设有向量组 , , , 4T1

(d)(0, (c)(0,0,1)T,0,23,1,2T， ,(c)(0,0,1)T,0,23,1,3 , , , 0T， , , , 10T,则该向量组的极大线性无关组为（ ）4 5(a), , 1 2 3

(b), , 1 2 4(c), , 1 2 5

(d), , , 1 2 4 515.设 (a, a1 2

, a)T(b, b3 1

, b)T3

(a, a1

)T，1

(b, b1

)T,下列正确的是( ）1

也线性相;(b)若,线性无关，则, 1 1

也线性无关；若1

,线性相关，则,也线性相关；1以上都不对二、填空题1. 若 ， 3)T， t)T线性相关，则t=▁▁▁▁。1 2 3n向量线性无关的充要条件是▁▁▁▁。4. 若,,1 2

线性相关,则,1 2

,,s

(s3)线性▁▁▁▁关。n设向量组,1 2

,,s

r,则,1 2

,,s

中任意r个▁▁▁▁的向量都是它的极大线性无关组。7.设向量与 a)T正交，则a▁▁▁▁。1 2正交向量组一定线性▁▁▁▁。若向量组,1 2▁。

,,s

与1

,,t

,1 2

,,s

的秩与1 2

,,t

的秩▁▁▁10.若向量组,,,可由向量组,线性表示，则r(,,,▁▁▁▁1 2 s 1 2 t 1 2 sr(,1 2

,,)。t11.向量组1

a1

, , , 0T2

a2

, , , 0T3

a3

, , , T的线性关系是▁▁▁▁。12.设n阶方阵A, ，则A▁▁▁▁。1 2 n 1 2 3设1

(0, y,

)T，1212

(x, 0)T和是标准正交向量，则xy两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁.三、计算题1.设, , 1, ， 1)T，, )T，问1 2 3（1）能由,,1 2 （2）能由,,1 2

唯一地线性表示？线性表示,但表达式不唯一？（3）不能由,,1 2 3

线性表示？2.设13)T，25)T,3a，4a8)T，b5)T问：（1）ab不能表示为1,2,3,4的线性组合？（2)ab能唯一地表示为,1 2

,,3

的线性组合？3.求向量组 4)T, (2, 6)T， 2)T，1 2 3 0)T， 7, 14)T的一个极大线性无关组，并将其余向量用该4 5极大无关组线性表示。4.设 ,,T， , , T， , , T,t为何值时,,线性相关，t为何值时1 2 3 1 2 3,,1 2 3

线性无关？5. 将向量组10)T，2(2)T,32)T标准正交化四、证明题1.设112232132，试证123线性相关。2.设1,2,,n线性无关，证明12,23,,n1n为奇数时线性无关；在n数时线性相关。3.设1,2,,s,1,2,,s线性无关，证明能由1,2,,s线性表表示式唯一。4.设1,2,3线性相关，2,3,4线性无关，求证4不能由1,2,3线性表示.5.1,2,,s(s)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的性组合。6.设向量组1,2,,s中10，并且每一个i都不能由前i1个向量线性表示(i2,3,s)求证1,2,,s线性无关。证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关.8.设0,1,2,,s是线性无关向量组，证明向量组0,01,02,,0s第三章向量参考答案一、单项选择1.b2d3.a4.b5b6d7d8.a9.b10c11.c12.d13a14.b15.a二、填空题1.5 2。相关3.0 4.相关5。无关6.线性无关7。 128.无关9.相等10。 11.线性无关12.013。xy1214.对应分量成比例三、解答题1。解：设x1 1

x2

x3 3)xx x 0123则对应方程组为x123

)x x 1 2 3xx )x 21 2 31 1 1其系数行列式 1

1 1 2(1 1当3A0，方程组有唯一解，所以可由,唯一地线性表示;1 2, 31 1 1 0 1 1 1 0(2）当0时，方程组的增广阵A1 1 1 0

0 0 0 0,rr13，方程组 有无穷多解,所以可由1

,2,

1 1 1 0 0 0 0 0线性表示，但表示式不唯一;2 1 1 0

1 2 1 3（3）当3时，方程组的增广阵A1 2 1 30 3 3 12，r(r(， 1 1 2 9 0 0 0 18方程组无解，所以不能由1

,2,

线性表示。2.解:以,1 2

,,3

,为列构造矩阵1 1 1 1 111111111111213a24b51a85 0 2 3

0 1 10 0 1

2 10a1 04 33 0 0 0

1a2 b4 （1）当a且b不能表示为,,,的线性组合；1 2 3 4(2）当ab能唯一地表示为,,,的线性组合。1 2 3 4211321131010212100 1 1 0 13.解:, , ,

1 0011 00100001 2

4 5 0 5 5 2 7 0 04 6 2 0 14 0,,1 2

为一个极大无关组，且31 1 1

1

，4

1 2 44.,,1 2 3

1 2 3t5,1 3 t当t5时,,线性相关，当t5时,,线性无关。1 2 3 1 2 35。解：先正交化：令1 1

, , 0T, 4 2 T 2 1=

, 22 2 1

1 5 5 ,

,

1 1T 3 1

3 2

= , , 3 3 , 1 1

, 2

2 3 6 622302230303011 11

T,

2 1 5 T，55 ,551

, 0

, , 2

1T33 333

, , 666666,1

,为标准正交向量组。2 3四、证明题13(4(2)01 2 1 3∴53 4 01 2 3∴,,1 2 3

线性相关2。证：设k)k)k)01 1 2 2 2 3 n n 1则(kk(kk(k k01 n 1 1 2 2 n1 n n∵,,,线性无关1 2 nkk 0 1 nkk 0∴ 1 2k

k 0n1 n11

0 0 0 11 0 0 00 1 1 0 0 为奇数其系数行列式 =10 0 0 1 00 0 0 1 1

0,n为偶数nkk,k只能为零,,,,线性无关；1 2 n 1 2 nnkk,k,,,线性相关。1 2 n 1 2 n3。证：∵,,,线性相关1 2 skk1 2

,,s

k使得k1 1

k2

ks s

k0若k0，则k1 1

k2

ks s

0（k,k1 2

,,

不全为零）s与1,2,,s线性无关矛所以k0于是 k k k

1 2k 1 k

sk s能由,,,线性表示.1 2 s设k1 1

k2

k ①s sl1 1

l2

l ②s s则①—②得(k1

l1

(k2

l2

s

l0s s∵,,,线性无关1 2 s∴kl0,(is)i i∴kl,(is) 即表示法唯一i i4.证：假设4

能由,,1 2

线性表示∵,,2 3

线性无关，∴,2 3

线性无关∵,,1 2

线性相关，∴

,1 2

线性表示，∴能由,4 2

线性表示，从而2

,,3

线性相关，矛盾∴不能由,,4 1 2

线性表示。5。证：必要性设向量组,线性相关1 2 skk1 2k

,,sk

使得k1 k

k2

k 0s s不妨设ks

0,则s

1k1k

2k

s1k

，s1s s s即至少有一个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组,中至少有一个向量是其余向量的线性组合1 2 s不妨设s

k1

k2

s1

s1则k1 1

k2

s1

s1

0,所以,线性相关。1 2 s6。证：用数学归纳法当s=1时， 0，线性无关,1当s=2时，∵不能由线性表示，∴,线性无关,2 1 1 2设s=i—1时，,线性无关1 2 i1s=i,1 2

,,i

线性相关，,1 2

, ,

i1

线性无关,i

可由,1

,,

线性i1表示，矛盾,所以,线性无关。得证1 2 i7.证：若向量组,中有一部分组线性相关，不妨设,（r〈s)1 2 s 1 2 rkk1 2

,,r

使得k1 1

k2

k 0r r于是k1 1

k2

kr r

r

0s因为kk,k0，┈，01 2 r所以,线性相关。1 2 s8。证:设k k)k)k)00 0 1 0 1 2 0 2 s 0 s则(k0

kk1

ks

k1

k2

k 0s s因,,,, 线性无关，0 1 2 sk kk0 1

k 0s0所以 k12 k s

解得k

k k k 00 1 2 s所以向量组0,01,02,,0s线性无关.第四章 线性方程组一、单项选择题nAX0rAX0有非零解的充分必要条件是（ ）（A）rn (B)rn(C）rn (D）rnA是mnAXb有无穷解的充要条件是（）(A）r(A)m(B)r(A)n（C)r(Ab)r(A)m(D）r(Ab)r(A)n设A是mn矩阵，非齐次线性方程组AXb的导出组为AX0,若mn,则（)(A）AXb必有无穷多解 （B)AXb必有唯一解(C)AX0必有非零解 （D)AX0必有唯一解 x2xx4方程组

1 2 32 x2x2

无解的充分条件是（ ）(2)x ( 4)(1) 3)(3(A)1 （B)2 （C)3 (D)43 xxx131 2 2x

22方程组 2

有唯一解的充分条件是（)x 43(1)x3

(3))(1))(A）1 （B）2 (C）3 (D）4 x2xx13方程组3

1 233xx3

2

有无穷解的充分条件是（）xx 4)(2)( 3)(2 3（A)1 (B）2 （C）3 （D)47．已知1 2

AXb,1 2

是导出组AX0的基本解系，k,k1 2

AXb的通解是(）（A)k

k

) 1

(B）k

k

) 121 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 21（C)kk()2 (D)kk()2111 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2A为mn矩阵，则下列结论正确的是（)AX0AXb有唯一解(B）AX0AXb(C)AXbAX0仅有零解（D）AXbAX0有非零解A为mnAX0仅有零解的充要条件为（)（A）A的列向量线性无关 （B）A的列向量线性相关A的行向量线性无关 （D）A的行向量线性相关 xxx 110．线性方程组x12x233 0 ( ）x41 2 3x7x10x 11 2 3(A）无解 （B）有唯一解 （C)有无穷多解 （D）其导出组只有零二、填空题设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X，均有AX0，则A的秩为 .kx2xx 0线性方程组 1x2 30 仅有零解的充分必要条件是 . 2x

kx 2xx 01 2 3X和s设X和s

X cX

c

均为非齐次线性方程组AXb的解(c,c,

为常数）,1 2 1 1 2 2 s s 1 2 s则cc1 2

c 。s若线性方程组AXb的导出组与BX0(r(B)r)有相同的基础解系，则r( .Amn

Xb的系数矩阵的秩为m，则其增广矩阵的秩为 .设1015矩阵的秩为8，则AX0的解向量组的秩为 。7。如果n阶方阵A的各行元素之和均为0,且r(n1，则线性方程组AX0的通解为 。8.若n元齐次线性方程组AX0有n个线性无关的解向量，则A .1 2 1

1 x9。设A2 3 a2,b3,xx1，若齐次线性方程组AX0只有零解,则a 。 21 a 2 0 x3 31 2 1

1 x10.设A2 3 a2,b3,xx1，若线性方程组AXb无解，则a 。 21 a 2 0 x3 311。n阶方阵A,对于AX0,若每个n维向量都是解，则r( .12设54A3,,1 2 3

是非齐次线性方程组AXb的三个不同的解向量，若1 2

23

(2,0,0,0)T,31 2

(2,4,6,8)T，则AXb的通解为 .13。设A为mn矩阵,r(rmin(m,n)，则AX0有 个解,有 个线性无关的解。三、计算题1.已知,,1 2 3

AX01

,2

,3

是否是该方程1组的一个基础解系?为什么？543315433112010012265 6 0 0 1B 3211312100

，1 1 1 1 11

12 3 1

BAX0的00解,试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？xx 03。设四元齐次线性方程组为（Ι)：1 2求(Ι）的一个基础解系

xx 02 4k1

(0,1,1,0)Tk2

(1,2,2,1)T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组(Ι）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。4。问ab系表示全部解）.xaxx a xx bx 4 1 2 3 1 2 31）axxx 1 2)xbx

b2 1 2 3 1 2 3xxax a2 xx 2x 41 2 3 1 2 35。求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为x 1 1 2 1 x1c3c3.(c,

为任意实数) 2 1

2 1 23x 3 3

2 1 6。设A2 1 3，求42一个矩阵B,使得AB0，且r(B)2 9 5 2 8 参考答案一、单项选择题1.B2。D3。C4.B5.A6.C7。B8.D9。A10。C二、填空题1.1002。k且k3 3。1 4.r 5.m 6.77。（k为任意实数) 8。0 9。a或3 10.a1 11。0112。( ,0,0,0)Tk(0,2,3,4)T,k任意实数 13。无穷，nr12三、计算题1.是 2。不能3.1）v1

(0,0,1,0)T,v2

2）kk)1a 1 (1a)24。1)当a2时,无解;当a且a1时有唯一解（- , , 2a 2a 2a

；当a1时有无穷多ccT(cc)1 2 1 21b(b2) b24 12）当b1时，无解;当b且b4无穷多解:c(3,1,1)T(0,4,0)T(其中c为任意常数)

,b1

b1

,b

；当b4时有5。9x1

5x2

3x3

5 1 06。

0 1112 12 2 12 第五章特征值与特征向量一、单项选择题0 0 1设A0 1 0，则A的特征值是（ )。 1 0 0 (a）—1,1，1 （b）0,1，1 (c）-1，1，2 (d）1，1,21 1 0设A1 0 1,则A的特征值是( 。 0 1 1 （a）0，1,1 (b)1,1,2 (c）—1，1,2 (d）—1,1，1设A为n阶方阵，A2I,则（ 。（a)|A|1 (b）A的特征根都是1(c)r(A)n (d）A一定是对称阵x,

A的两个不同的特征值对应的特征向量，则k

k

也是A的特征向量的1 2 11 22充分条件是( ).（a)k1

0且k2

0 （b)k1

0且k2

0 （c)kk12

0 （d)k1

且k 02若n阶方阵B的特征值相同，则( ).(a）AB (b)|AB| （c）A与B相似 (d）A与B合同1设A为n阶可逆矩阵，是A的特征值,则的特征根之一是( (a)1|A|n （b)1|A| （c)|A| (d）|A|n1设2是非奇异阵A的一个特征值，则( A2)1至少有一个特征值等于( )。3（a）4/3 (b)3/4 （c)1/2 (d）1/4设n阶方阵A的每一行元素之和均为a(a0)，则2A1E有一特征值为( ).（a)a (b)2a (c）2a+1 （d)2 +1aA的属于不同特征值的特征向量(。(a)线性相关 (b）线性无关(c)两两相交 （d)其和仍是特征向量|AB|是n阶矩阵A与B相似的（ 。（a）充要条件 （b）充分而非必要条件（c）必要而非充分条件 (d）既不充分也不必要条件n阶方阵A有n个不同的特征根是A与对角阵相似的（ (a)充要条件 （b)充分而非必要条件(c）必要而非充分条件 （d)既不充分也不必要条件1 设矩阵A

1 0 0 0 与B0 1 0相似,则,的值分别 1 1 0 0 2 (a)0,0 （b)0，1 (c）1，0 (d）1，1设B为相似的n阶方阵，则( 。(a)存在非奇异阵P,使P1APB （b）存在对角阵D，使A与B都相似于D(c）存在非奇异阵P，使PTAPB (d)A与B有相同的特征向量若n阶方阵A与某对角阵相似,则( ).r(An （b)A有n个不同的特征值（c)A有n个线性无关的特征向量 (d)A必为对称阵若A相似于B,则( )。(a)IAIB (b)|IAIB|(c）A及B与同一对角阵相似 （d)A和B有相同的伴随矩阵1 0 0设A0 1 0,则与A相似的矩阵是（ )。 0 0 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0(a)0 1 0 （b)0 2 0 （c)0 2 0 (d)0 1 1 0 0 2

0 0 1

0 0 1

0 0 2 下列说法不妥的是 （ ）(a）因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零属于一个特征值的向量也许只有一个(d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵若A B，则下列结论错误的是 ( ）（a)EAEB (b）B（c)存在可逆矩阵P，使P1APB (d)trAtrB二、填空题n阶零矩阵的全部特征值为 。设A为n阶方阵，且A2I，则A的全部特征值为 。设A为n阶方阵,且Am0(m是自然数)，则A的特征值为 。若A2A,则A的全部特征值为 。若方阵A与4I相似，则A 。若n阶矩阵A有n个相应于特征值的线性无关的特征向量，则A 。设三阶矩阵A的特征值分别为—1，0,2，则行列式A2AI 。设二阶矩阵A满足A23A2EO，则A的特征值为 。特征值全为1的正交阵必是 阵。1 1 1 若四阶矩阵与B相似，A的特征值为, , , ，则B1E= 。1 1 1 2 3 4 511.若A22 31 1 2B,则x ，y= 。y x

3 4 三、计算题nAaA向量。PP1AP为对角阵。2 1

1 1 21）A

2）A1 3 11 2

2 0 3.A1，1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)TA。2 1 2 14.设A5 a 3，有一个特征向量1，求a,b的值，并求出对应于的特征值。 11 b 13 3 1

15.设At 2 2，有一个特征向量2,求s,t的值. 3 3 s 1 3 0 0 1设Ax 1 y有三个线性无关的特征向量,求x,y满足的条件。 1 0 0

a b求正交阵P,使P1AP为对角阵，其中A 。b aA的特征值为-1，2,5B3AA2，求B的特征值；BB相似的对角阵；（3）求B,A3E。11129.已知矩阵A（3）求B,A3E。1112 y yy

3 3 5 P1APBP. 5 3 2 10.设A6 4 4,求。 4 4 5 四、证明题11A是非奇异阵，A的任一特征根，求证A1A关于的特征向1量也是A1关于的特征向量。A2EA的特征根只能是1.设nABABBA.证明:相似矩阵具有相同的特征值.nAE，如果rAErAEn,证明：—1A的特征值。Bk。设A B,证明ABk。7.设,

是nA分别属于

的特征向量，且

，证明

A的特征向量。1 2 1 2 1 2 1 2第五章 参考答案一、单项选择题1.a2.c3c4d5b6.b7b8.d9b10c11b12a13.a14。c15b16b17a18a二、填空题102304.0,15.4I6.I 7.78.19.单位10.2411-17，—12三、计算题1。a,(1,1, 1 1

1 1 32。(1） （2）2 1 11 1

1 2 20 2 03。1 3 0 1 2 1 4。a3,b0,1 5。s9,t2,6 6。xy01 1 22 22

ab 0 7.P1

1 ,P1AP

0 ab 22 22

4 8（1)—4，2，-10 (2)

2 , (3)8101 1 19.（1）y6,（2)特征值2,2,6；p1 0 20 1 32(21001) 21 10。2(2100)4 421) 1) 2(1) 21四.证明题(略)第六章 二次型一、单项选择题n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（ )。(a)A0 (b)存在阶阵C，使ACTC(c)负惯性指数为零 (d) 各阶顺序主子式为正An（)。AAAABA) AAA,则下列结论不正确的是(）.A可逆 (b) A1正定,x)Tn(c)A的所有元素为正 (d) 任给X(x,x, 0,均有XT,x)Tn1 2方阵A正定的充要条件是（ ）.A的各阶顺序主子式为正； (b) A1是正定阵；(c)A的所有特征值均大于零； (d)AAT 是正定阵。下列f(x,y,z)为二次型的是（ )。ax2by2cz2 (b) axby2cz(c)axybyzcxzdxyz (d) ax2bxyczx2A、BnX(x

, ,

)T且XTAXXTBX则A=B的充要条件是（ )。1 2 nr(A)r(B) (b) ATA(c)BTB (d) ATA,BTB，f(x

,x,

)的矩阵为A，则（ )必成立.1 2 3 4(a) A的所有顺序主子式为非负数 (b) A的所有特征值为非负数(c) A的所有顺序主子式大于零 (d) A的所有特征值互不相同设A，B为n阶矩阵，若（ ，则A与B合同。nPQ且PAQBnPP1APBnQ，且Q1AQB) nC,T，且CATB000000100000(b) 010.0 0 1

0 0 2 3 0 2 1 2 3(c)

0 4 6

(d) 4 5 6 2 6 5 7 8 9 ．下列矩阵中是正定矩阵的为（ )2

3

1 0 0

1 1 (a)

(b)

(c) 0 2

(d)1 2 3 4 2

0 3 5

1 0 ．已知A是一个三阶实对称且正定的矩阵 (a)3,i,－1;(b)2,－1,3; (c)2，i，4; (d)1，3，4二、填空题1f(x

,x,)x

2x

x2的秩为 .1 2 3 12 23 3f(x

)x2

6x

3x2的矩阵为 .1 2 1 2 12 21 0 4 设A2 2 0,则二次型fXTAX的矩阵为 。 0 0 3 f(x,

,x)2x2x2x22xx

tx

正定，则t的取值范围是 。1 2 3

1 2

12 23,x)Tn设A为n阶负定矩阵，则对任何X(x,x, 0均有X,x)Tn1 2任何一个二次型的矩阵都能与一个对角阵 。1 1 0设A1 a 0是正定矩阵，则a满足条件 。 0 0 a2 f(x

,x)x22x

2x2ax2则当a的取值为

f(x

,x)是

1 2 3

12 2 3

1 2 3f(x

)x

的负惯性指数是 。1 2 121 3x2．二次型(x,x) 1的矩阵为 。21 21 2x三、计算题求一个非退化的线性变换，将下列二次型化为标准型。1）f(x,x,x)x22x

2xx2x24xx

x21 2 3

12 13

23 32）f(x,x,x)2xx4xx2x22xx1 2 3 12 13 2 232 1 1 0 1 1 设A1 0 1,B1 2 1,求非奇异矩阵C，使ACTBC。 1 1 0 f(x

,x)x

x

为标准形，并写出相应的满秩线性变换1 2 3 12 13求非奇异矩阵P,P1AP1 1 22 1A1 2

A1 3 1 2 0 四、证明题f(x

,x)xTAx在正交变换xQy下的标准形为y2y2，1 2 32且的第3列为2

1 22T.222Q ,0, 22 (Ⅰ）求矩阵A； （II)证明AE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.A、B为同阶正定矩阵，0，求证AB也是正定矩阵.A,BA＋B第六章参考答案一、单项选择题1．(d) 2．(c) 3．(c)9．(d) 10．(c) 11．(d)

4．(b) 5．(a) 6

(d) 7．(c) 8．(c)二、填空题

1 3

1 01。3 2．

3．

2 0，4．2, 25．06．合同7a8．a0

3 3

0 39．110．1 22 2 三、计算题1．xyy1 1 21）x yy2 2 3xy3 3xyyy1 1 2 32)x yy2y2 1 2 3xy3 30 1 02．1 0 0， 0 0 1 xy

1 0 03． 1 1 解：令x yy 即X1 1 0YC 2 1

0 0 1 1xy3 3f(x,x,x)y2y

yy1 2 3则：

1 12 13(y11 2

y2

y)21(y3 4

y)23wy1y1

1 1 11 1 2 2 2

2 令wy

即Y0 1 1WCW 2 2 3

0 0 1 2w y3 3即XCCWf(x,x,x)w21w21 2 1 2 3 1 4 21 1

1 1 34．

2 1 11 1

1 2 2四、证明题22解:由题意A的特征值为1,1,0。且 22

T2为特征值0的特征血量221(x

,x)T时有1 2 322x222 1

x03Q20,1,0

T222,0, 222 1212 1212 Q 0 1 0 0 121212121 0 0 1 0 1 2 2AQ0 1 0QT0 1 0 0 0 0 2

0 12第二部分 历年期末试题山西财经大学2006—2007学年第二学期期末2007级《线性代数》课程试卷(A）题号题号一二三四五总分分数评卷人复核人1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则,视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具.一、单项选择题（521010220）三、计算题（一）(共4小题,每题8分，共计32分)四、计算题（二）(共3小题，每题10分，共计30分）五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）本题得分一、单项选择题（5210答题要求:(每题只有一个是符合题目要求的，请将本题得分所选项填在题后的括号内,错选、多选或未选均无分）1、设n阶方阵与B等价,则必有 （ ）当a(a0时Ba B）当a(a0时Ba（C）当时B0 (D）当时B02、设B为同阶可逆矩阵，则 ( ）（A）矩阵A与B等价 (B）矩阵A与B相似(C)矩阵A与B合同 (D）矩阵A与B可交换3,1 2

, ,r

1 2

, ,s

线性表示，则（ ）当rs时，向量组Ⅱ必线性相关当rs时,向量组Ⅰ必线性相关当rs时，向量组Ⅰ必线性相关当rs时，向量组Ⅱ必线性相关4和1 2

Axb,1 2

是对应导出组的基础解系,k,k1 2为任意常数，则方程组Axb的通解（一般解）为（ ）1(A)kk)2 （B)kk() 1211 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 21（C)kk)2 （D）kk()2111 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 21 1 0 5、若方阵C1 0 1,则C 0 1 1 本题得分（A）1，0，1 （B)1，1，2 （C)-1,1，2 （D）-1，1，1二、填空题（10220）本题得分答题要求:将正确答案填写在横线上1，1 2

为2维列向量，矩阵A(21

,2

),B,2 1

) A6,则B 。2

5 0 0 阶方阵A0 1 2,则A的逆矩阵A1 0 1 1 2 1 0 3、设A1 2 0，矩阵B满足ABA2BAE，其中为A的伴随矩阵，E 0 0 1 则B的行列式B= 。4A35A的秩rA2

1 0 1，则r(BA) 。B B 0 2 0 1 0 5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1,2,3，4，其对应的余子式依次为4，3，2，1，则该行列式的值为 。1 2 2

a 6、设三阶矩阵A2 1 2，三维列向量1，已知与线性相关，则a 1 3 0 4 1 、设四阶矩阵A相似于BA的特征值为2,345E为四阶单位矩阵，则行列式BE 。、如果10阶方阵A的各行元素之和均为0,且r(9，则线性方程组Ax0的通解为 。9、若方阵A与对角阵相似，且Am0，(m为自然数）,则A 。10f(x

,x)2x

tx

正定，则t的所属区间为 。1 2 3

1 2

12 23本题得分三、计算题(一)（共4小题，每题8分，共计32分)本题得分（骤）111x111x111x111x111x11112、,1 2

,,,3 4

的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向量。其中1

(2,4)T,3

(1,4,1,3)T-4,-4,3,(2,5,,0)T。4 51 1 1 23、设A3 5 1 2，求A的秩。 5 3 6 2 4 9 1 1 4 1 2 34、求矩阵X,使XA2XBC。其中A6 5 7,B2 3 2，C . 5 3 2

2 3 1本题得分四、计算题（二（共3小题,每题10分,共30分答题要求：(请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）本题得分2 1 5 11 2 5 31、已知向量 ,

,

,

，判断向量能否由向量组,,

线性表示，3 1 3 2 12 3 6

1 2 34 1 11 3 若能，写出它的一般表示方式；若不能，请说明理由。1 8 1

x2、设A4 1 1，X1 x 231 1 2 x3（1)计算二次型XTAX，写出该二次型所对应的矩阵；（2)将二次型XTAX化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵.1 2 4 5 3、设A2 x 2,B y ，如果B相似，求 4 2 1 4 （1）x,y的值(2）相应的正交矩阵P,使P1APB。本题得分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）本题得分（过程）1AnEnA22A4E0A3E可逆，并求(A3E)1。2、若向量组,1 2

,,3

线性无关,向量组1

,2

,3

,4

+是否线性相关？说明其理由。12008-2009学年第二学期期末线性代数 课程试卷（A）3 1 x

一、单项选择题（5210）（本题得分所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分）本题得分行列式4 x 0 的展开式中,x2的系数为 （ )1 0 x（A） —1 (B) 2 （C） 3 （D) 4设B为n阶非零矩阵，且AB0，则 ( ）（A）r(A)