黑龙江省东南联合体2022-2023学年高三数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：2B案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。M＝{y｜y＝

，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－

）}，则M∩N为（）（，＋）

（，）

C．[2，＋∞）

D．[1，＋∞）这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子35每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布A．2 B．3 C．4

尺，则这位女子织布的天数是（）31D．1XN

2，且P(60X85)0.3．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）A．40 B．60 C．80 D．1003，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )5 32 4 25A． B． C． D．3 9 3 9区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）1 1A． B．2 3

4C．

1 D．24设直线l，且与圆Cx2y22y0B，那么

ABAC（ ）A．3

B．3 C．3 D．17．已知cos1,,则sin( )3 2 A．2 3

B．2 23

C．2 2 D．13 38．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）2 1A． B．3 3

4 5C． D．3 6 9Ax|x1 2

B{x|1x

则A B（ ）A．{x|x0} B．x|x 12 ．x|1x ．

D．{x|x1} 21iz

1

z2i（其中z为z的共轭复数，则z的值( )A．1 B．2 C．3 D．5EFABACPEFxyPAxPByPC0，设、PBC、PCA、PAB的面积分别为S、时，2xy的值为（ ）

1、S2、S3

SiS

（i1,2,3，则2

取到最大值3A．－1 B．1 C．3 D．32 2已知abi(a,bR)是1i的共轭复数则ab（ ）1i1

B．1 C．12 2

D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。α﹣l﹣βAl△ABC的周长的最小值为 ．14．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2= .x2xx2x已知椭圆 y21与双曲线

y2

1（a0b0）有相同的焦点F

,若椭圆与2 a2 b2 1 2PFPF

,则双曲线的离心率为 ．1 1 2有2名老师和3名同学将他们随机地排成一行用表示两名老师之间的学生人数则1对应的排法 种；E ；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）为提供市民的健身素质，某市把,B,C,D四个篮球馆全部转为免费民用,BC,D四场馆的使用场数中依次抽取a,a1

,a,a3

25aa1 2

,a,a3

中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；xy元，根据统计，得到如下表的数据：10152010152025303540100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99yz0.1e43432yzx的回归直线方程；② y 叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x的值x407 7

7(xx)(zi i

z)参考数据和公式：z4.5,

i

(xx)2700,i

(xii1

x)(zi

z)70,e320b

i17i1

(xx)2i

，azbx18（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC卉方案是：先建造一条直道DE将ABC分成面积之比为2:1的两部分（点E分别在边AB，AC上；再取DE的中点M，建造直道AM（如图）.设ADx，DEy1

，AMy2

（单位：百米）.y1

yx的函数关系式；2D.19（12分）如图）五边形ABCDE中，EDE,AB//CD,CD2AB,EDC150,将EAD沿AD折到PAD的位置，得到四棱锥PABCD，如图（，点M为线段PC的中点，BMPCD.求证：平面PAD平面ABCD ；PCAB1BMPDB所成角的正弦值.220（12分）已知函数

(aR).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)a0f(x)在[1,2]上最小值.21（12分）设函数f(x)2sinx|a3||a1|.若f

6，求实数a的取值范围；22（2）xRf(xa3|

1恒成立.a22（10分）如图，在直三棱柱ABCABC中，ABBCAA，AC 3，点E分别为AC和B

的中点.1 1 1 1 1 1（Ⅰ）PPBDABEPA明理由.（Ⅱ）求二面角ABED的余弦值.参考答案125601、B【解析】，，∴ ．故选．2、B【解析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列

qn

，前n

n，

5，Sm

3531m的值． a 1

5 52m因为S 1

5，解得

31，S 31

35m3．故选B．5【点睛】

12

1 m 12 313、D【解析】由正态分布的性质，根据题意，得到P(X110)P(X60)，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.【详解】，由题意，成绩X近似服从正态分布N85,2，则正态分布曲线的对称轴为x85，PX110)PX60)0.50.30.2，500110分的人数为5000.2100故选D.【点睛】难度容易4、B【解析】计算求半径为R2，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.【详解】如图所示：设球半径为R，则R23R2 32，解得R2.4 32 1

V 32故求体积为：V

R3 ，圆锥的体积：V

323，故1 .故选：B.

1 3 3 2 3 V 92【点睛】5、C【解析】

S' 22 4令圆的半径为1，则P S 6、B

1，故选C．【解析】 A0,的直线l与圆Cx2y22y0BBABC ABACABABBC AB ABBCAB2AC2r2，即可得出.【详解】由圆C：x2y22y0配方为x2y2C，半径r1.

1，A0,的直线l与圆Cx2y22y0B， ∴ABBC ∴ABACABABBC AB ABBCAB

AC

r23；故选：B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.7、B【解析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【详解】cos1，,3 2 sin 1cos2 1

12 29 3sinsin2 23本题正确选项：B【点睛】8、A【解析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：11122．3 3A．【点睛】9、C【解析】AB.【详解】∵ Ax|x1

B{x|1x0}集合 ， 2∴A B

x|1x1 . 2故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.10、D【解析】zzz.【详解】1i

(1i)2

2i

i，1i (1i)(1i) 21iz2iiz2iz2ii(2i)1，1i iz1z| (1)222 5.故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.11、D【解析】根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于△ABC 的BC边上高的一半，从而得到S1

1SS2

S，由3此结合基本不等式求最值，得到当2

PEF的中点，再由平行四边形法则得出3PA1PB1PC0xy

，从而可求得结果.2 2 2【详解】因为EF是△ABC的中位线，所以P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，所以S1

1SS2

S，3

SS由此可得 S S

SS ( 22

2)2 1， 2 3 2 3 23 S S S2 S2 16当且仅当S S时，即P为EF的中点时，等号成立，PEPEPF0，所以PAPAPB2PE，PAPC2PF，PA1PB1PC0，将以上两式相加可得2PAPBPCPA1PB1PC0，所以PAPAxPByPC0，又已知根据平面向量基本定理可得xy1，2从而2xy11 3.2 2故选：D【点睛】12、A【解析】先利用复数的除法运算法则求出【详解】

11

的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．1i (1i)2 i1i ii 2 ，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故选：A．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。133【解析】AαβαβADC的周长AB+AC+BC＝MB+BC+CN.【详解】AαβM，NαβD，E，MN，AM，AN，DE，根据对称性三角形ABC的周长为AB+AC+BC＝MB+BC+CN，M，B，C，NMNADEl于，OOD⊥l，OE⊥l，∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根据余弦定理，故MN2＝1+1﹣2×1×1×cos120°＝3，故MN 3．故答案为：3【点睛】14【解析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x-1)7的展开式通式为：Tr1

Cr2x7rr7r5T6

C52x2584x2，7则a 84.2故答案为：84【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.22 22【解析】x2

FP,PF先根据椭圆 y21得出焦距结合椭圆的定义求出2 1率的公式求出离心率即可.

,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心2【详解】x2

F

1,0解:因为椭圆 y21,则焦点为 ,2 1 2x2又因为椭圆 y21与双曲x2

x2y2

1（a0b0）有相同的焦点,2 a2 b2P,FPFF,在椭圆中: FF

2c2,

1 1 2FF21 2 1 1 2由椭圆的定义: PF2

2aPF2 221222 22在双曲线中: PF22122

PF2

22 2 42 ,所以双曲线的实轴长为: 42

,实半轴为22 22 2则双曲线的离心率为: 2 22 2222 22【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的定考查离心率的求解利用定义解决综合问16、36 ；1.【解析】1A2A3

36.P3，E.

3 2 3【详解】23名同学，将他们随机地排成一行，用则0，1，2，3，1A2A3

36.3 2 3136种；

A2A4 48P0

2 4120，A5A5

A2A3 36P1 3 2 3 ，A5 1205

A2A2A2 24P2

3 2 A55

120，

A2A2 12P 3 3 2 ，A5 1205∴E0481362243121120 120 120 120故答案为：36；1.【点睛】本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.7017（1）见解析，12.5（2）①z0.1x2②20【解析】100aa1 2

,a,a3

的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;①由公式可计算

(xx)2,

(xx)(z

zzx的回归直线方程；i i ii1 i1②求出g(x)，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时x的值.【详解】25（）抽样比为

1，所以a

,a,a

分别是，6，7，8，5100 4

1 2 3 4所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15p101，p121，p131，p1516 3 3 6所以分布列为E(1011211311516 3 3

12.5因为7i1

(xx)2i

700,7(xii1

x)(zi

z)70,所以b

7i1

(xx)(zi

z)，

701,a4.50.1252，7i1

(xx)2i

700 10z0.1x2；②z0.1ey

22，

4343140lnx4343设g(x) y 4343lnx,g(x)4343 x ，x40 x40 (x40)2x[0,20],g(x0,g(xx[20,g(x0,g(x递减x20【点睛】x2x2934x2218（1）y1

，x2,3.y x2x2366x2

，x2,3.（2）AD

6百米时，两条直道的长度之和取得最小值6

63 2 2 百米.63 2 【解析】由S

ADE

2S3

ABC

AE.ADEy1

xADE和AEM中，利用余弦定理，可得y2

x的函数关系式方法二：在ADEDEAEAD，则有1 DE

AE

2AEADAD2，化简整理即得；同理AM

ADAE 由和基本不等式，计算即得.S2ADES2ADE 3

SABC

3ADx，1 21 6 ADAEsin 2 3

3232sin

，AE .3 x30ADx3由0AE

6x

，得2x3.1：在ADE中，由余弦定理，得DE2AD2AE22ADAEcos3

x2

366.x2x2366x2故直道DE长度y1

xy1

，x2,3.ADE中，由余弦定理，得①AD2DM2AM22DMAMcosAMD①AE2EM2AM22EMAMcosAMD ②1MDEDMEM

DE.21AD2AE

DM2EM22AM

DE22AM2，262 1

36

x2 9 3所以x2 x2

62AM2AM

.x

2 x2

4 x2 2yx的函数关系式为2x2934x22x2934x222DEAEADDEAEAD，DE2AE2DE2AE22AEADAD26所以 2 xcos x2x2 6.x

x 3 x2所以，直道DE长度y1

xy1

x2366，x2,3.1 1 ADEMDEAM

ADAE .22 12 2

1 36 所以AM

AD AE 2ADAE x24 4 x2

6.所以，直道AM长度y2

关于x的函数关系式为y 2

，x2,3.x2x2934x22x236x26x29x236x26x2934x221 22 x22 x2366x22x2934x22x2

3663 26 x263 26 （当且仅当

x

时取“”）.2 x294 x2 3 22故当AD 6百米时，两条直道的长度之和取得最小值 6 百米.2 【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.19（1）见解析（2）2 77【解析】试题分析:（1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立;（2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面PDB的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果.试题解析PDNANMNMN//CDMN

1CD，2AB//CDAB

1CDMN//ABMNABABMNAN//BM，2BMPCD，ANPCD，∴ANPD,ANCD.EDEAPDPANPD的中点，可得PAD为等边三角形，∴PDA600，又EDC1500CDA900CDAD，CDPADCDABCD，∴平面PAD平面ABCD.（2）解：AB//CDPCDPCAB所成的角，PD 1由（1）可得PDC900tanPCD

，∴CD2PD，2PD1，则CD2,PAADAB1，AD的中点OPO，过OAB可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，3 1 1 1 3D2,0,0B2,1,0C22,0P0,0,

2， 3 1 3∴M4,1,4，DBDBPB1,1, 3,BM3224所以 ,0,

34，34xy0nxyzPBD

n·DB0{ ，即n·PB0

，3xy z032 2 3x3n3,3,3

为平面PBD的一个法向量，cosn,BM∵

n·BM nBM

3 2 721 3 7 ，2 722 77则直线BM与平面PDB所成角的正弦值为 2 77点睛:判定直线和平面垂直的方法20、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当0aln2时，函数f(x)的最小值是f(x)a；当aln2时，函数f(x)的最小值是minf(x)ln22amin【解析】求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；0＜a＜ln2f（x）值是-af（x）ln2-2a．【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0,)．f(x)1a1axx xa0f(x)

1 a 0x1；x a1 1ax 1

1ax当0x 时，f(x) 0；当x 时，f(x) 0，a x a xf(x的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1 a a (2)(i当011a1f(x在区间[1,2]上是减函数，af(x)的最小值是f(2)ln22a1当a

2，即0a1f(x在区间[1,2]上是增函数，2f(x)的最小值是f(1)a当1121

a1f(x在1,1上是增函数，在12上是减函数．a 2 a a 又 f(2)f(1)ln2a，

1aln2f(xf(1)a；2当ln2a1f(xf(2)ln22a综上所述，结论为当0aln2时，函数f(x)的最小值是f(x) a；min当aln2时，函数f(x)的最小值是f(x) ln22a.min【点睛】fx极值与最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)fx；(3)fx0,求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查fx在fx0的根x0

（左增右减fxx0处取极大值，如果左负右正（左减右增，那么fx在x0

处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极（）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小21（1）4,（2）证明见解析【解析】

6化为|a3||a1|4. 2 21a将要证明的不等式转化为证xR，2sinx|a1| 1恒成立，由2sinx的最小值为，得到只要证1a1a2|a1|1a

1，即证|a1| 12，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成.1a【详解】1a（1）∵

62|a3||a1|6，即|a3||a1|4 2 2a3a14a3时，不等式化为a3

，∴a4(3a)(a1)4当1a3时，不等式化为 ，此时a无解a3(3a)(1a)4a1时，不等式化为a14,综上，原不等式的解集为4,（2）要证xRf(xa3|1a即证xR2sinx|a1|1a

，∴a01a1恒成立1a1恒成立1a2sinx的最小值为－2，∴只需证2|a1