桁架结构内力和内力图T89

第6章内力和内力图§6-1平面桁架的内力§6-2轴力和轴力图§6-3扭矩和扭矩图§6-4剪力和弯矩·剪力图和弯矩图外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力（包括约束力）。内力：物体或系统内部，因外力作用而产生的各物体之间或各部分之间的相互作用力。物体受到外力作用而变形时，其内部各质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质点间的相互作用力也发生了改变。上述相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量就是内力。

内力的计算是分析构件强度，刚度、稳定性的基础。§6-1平面桁架的内力1.什么是桁架桁架是由细长直杆组成的几何形状不变的结构。2.工程实例6.1.1桁架的概念所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。例：地面卫星接收系统例：海洋石油钻井平台例：埃菲尔铁塔

(1)杆件截面形状和尺寸设计；

(2)

材料选取；

(3)强度校核。3.分析桁架内力的目的6.1.2模型的建立1.屋架结构的简化2.桁架简化的几个假设

(1)各杆在节点处用光滑的铰链连接；

(2)各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；

(3)所有外力（主动力及支座约束力）都作用在节点上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平面内。根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作用，在同样跨度和载荷情况下，桁架比梁更能节省材料，减轻自重。3.平面简单桁架的构成

在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可以由基本三角形ABC为基础，这时是3个节点，以后每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成的桁架称为平面简单桁架。平面简单桁桁架杆件数数m与节点数n之间的关系系为：m=3+2(n-3)=2n-3平衡方程数数：2n，未知力数目目：m+3在支座约束束力共有3个未知量而而且布置恰恰当的情况况下，平面面简单桁架架是静定的的。三个支座约约束力既不不汇交也不不平行。6.1.3平面简单桁桁架的内力力计算1.节点法例题6-1如图平面简简单桁架，，已知铅垂垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求各杆内内力。取节点为研研究对象来来求解桁架架杆件的内内力。解：先取整整体为研究究对象,受力如图所所示。由平平衡方程联立求解得得FAx=－2kN,FAy=2kNFB=2kN例题6-1取节点A，受力分析如如图,设所有杆件件均为拉杆杆。由平衡衡方程解得例题6-1例题6-1取节点K，受力分析析如图。由由平衡方程程解得取节点C，受力分析如如图。由平平衡方程解得例题6-1取节点D，受力分析如如图。由平平衡方程解得例题6-1例题6-1取节点B，受力分析如如图。由平平衡方程例题6-2如图平面桁桁架，已知知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。求KE，CE，CD杆内力。2.截面法解：先取整整体为研究究对象,作受力图。。由由平衡衡方程联立求解得得FAx=－2kN，FAy=2kN，FB=2kN例题6-2由平衡方程程联立求解得例题6-2作一截面m-m将三杆截断断，取左边边部分为分分离体，作作其受力图图。意义：简化化计算,问题：能否否去掉零杆杆?3.零杆在一定载荷荷作用下，，桁架中轴轴力为零的的杆件。注意：(1)载荷改变后后，“零杆杆”可以变变为非零杆杆。因此，，为了保证证结构的几几何形状在在任何载荷荷作用下都都不会改变变，零杆不不能从桁架架中除去。。实际际上上，，零零杆杆的的内内力力也也不不是是零零，，只只是是较较小小而而已已。。在在桁桁架架计计算算中中先先已已作作了了若若干干假假设设，，在在此此情情况况下下，，零零杆杆的的内内力力才才是是零零。。首先先判判断断出出零零杆杆，，对对简简化化桁桁架架计计算算是是有有益益的的。。思考考题题6-1在图图示示载载荷荷下下，，试试判判断断下下列列各各桁桁架架中中的的零零杆杆。。思考考题题6-1参参考考答答案案：：4.小小结结(1)节点点法法(a)一般般先先研研究究整整体体，，求求支支座座约约束束力力；；(b)逐个个取取各各节节点点为为研研究究对对象象；；(c)求杆杆件件内内力力；；(d)所选选节节点点的的未未知知力力数数目目不不大大于于2，由由此此开开始始计计算算。。(2)截面面法法(a)一般般先先研研究究整整体体，，求求支支座座约约束束力力；；(b)根据据待待求求内内力力杆杆件件，，恰恰当当选选择择截截面面（（直直截截面面或或曲曲截面面均均可可））；；(c)分割割桁桁架架，，取取其其一一部部分分进进行行研研究究，，求求杆杆件件内内力力；；(d)所截截杆杆件件的的未未知知力力数数目目一一般般不不大大于于3。试用用截截面面法法计计算算图图示示桁桁架架中中指指定定杆杆件件的的内内力力。。思考考题题6-2思考考题题6-2参参考考答答案案：：（取取上上半半部部分分为为研研究究对对象象可可不不求求支支座座约约束束力力））试计计算算图图示示桁桁架架中中1、、2杆杆的的内内力力。。思考考题题6-3思考考题题6-3参参考考答答案案：：§6-2轴力力和和轴轴力力图图如上上图图中中轴轴向向受受力力（（作作用用于于杆杆上上的的外外力力合合力力的的作作用用线线与与杆杆的的轴轴线线重重合合））的的杆杆件件常常称称为为拉伸伸或或压压缩缩杆杆件件，简简称称拉压压杆杆。其其主主要要变变形形是是纵纵向向伸伸长长或或缩缩短短。。拉压杆横截面上的内力，由任一横截面(m-m)一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的分布力，此分布内力的合力称为轴力。用符号

表示。内力力的的大大小小及及指指向向只只有有将将物物体体假假想想地地截截开开后后才才能能确确定定。。习惯惯上上，，把把对对应应于于伸伸长长变变形形的的轴轴力力规规定定为为正正值值（（即即分分离离体体上上的的轴轴力力其其指指向向离离开开截截面面）），，对对应应于于压压缩缩变变形形的的轴轴力力为为负负值值（（轴轴力力的的指指向向对对着着截截面面））。。当杆杆件件轴轴向向受受力力较较复复杂杂时时，，则则常常要要作作轴轴力力图图，，将将轴轴力力随随横横截截面面位位置置变变化化的的情情况况表表示示出出来来。。解：：要要作作ABCD杆的的轴轴力力图图，，则则需需分分别别将将AB、、BC、、CD杆的的轴轴力力求求出出来来。。分分别别作作截截面面1-1、、2-2、、3-3，，如如左左图图所示示。。作轴轴力力图图。。1-1截截面面处处将将杆杆截截开开并并取取右右段段为为分分离离体体，，并并设设其其轴轴力力为为正正。。则则∑Fx=0，，-FN1-20=0例题题6-3FN1=-20kN负号号表表示示轴轴力力的的实实际际指指向向与与所所设设指指向向相相反反，，即为为压压力力。。注意意：：在作作截截面面取取分分离离体体之之前前不不允允许许应应用用力力的的可可传传性性原原理理，，因因为为外外力力移移动动后后就就改改变变了了杆杆件件的的变变形形性性质质，，并并使使内内力力也也随随之之改改变变。。如如上上例例中中D处的的力力若若移移到到C处，，则则CD段的的轴轴力力为为零零了了。。但但截截开开后后，，研研究究分分离离体体在在外外力力作作用用下下的的平平衡衡时时，，可可以以应应用用力力的的可可传传性性原原理理。。于2-2截截面面处处将将杆杆截截开开并并取取右右段段为为分分离离体体，，设设轴轴力力为为正正值值。。则则∑Fx=0，，-FN2+20-20=0例题题6-3FN2=0∑Fx=0，，-FN3+30+20-20=0FN3=30kN轴力与实实际指向向相同。。例题6-3作轴力图，以沿杆件轴线的x坐标表示横截面的位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标表示横截面上的轴力

。当然此题题也可以以先求A处的支座座约束力力，再从从左边开开始将杆杆截开，，并取左左段为分分离体进进行分析析。例题6-3试作图示示杆的轴轴力图。。思考题6-4思考题6-4参参考答案案：思考题题6-5考虑图示杆的自重，作其轴力图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为r，杆的自重为。思考题题6-5参参考答答案：：§6-3扭矩和和扭矩矩图杆件所所受外外力经经简化化后，，主要要是作作用在在垂直直于杆杆轴线线平面面内的的力偶偶，其其作用用使杆杆发生生扭转转。如上图图所示示，杆杆件在在横向向平面面内的的外力力偶作作用下下发生生扭转转变形形。其其侧面面上原原有的的直线线ab变为螺螺旋线线ab′,诸横截面面绕杆杆的轴轴线相相对转转动，，例如如B截面相相对于于A截面转转过一一角度度∠bO'b′。为了分分析横横截面面上的的内力力，取取m-m截面。。由图示示任意意横截截面m-m左边一一段杆杆的平平衡条条件可可知，，受扭扭杆件件横截截面上上的内内力是是一个个作用用于横横截面面平面面内的的力偶偶。这这一力力偶之之矩称称为扭矩，常用用符号号T表示。。即T=Me取(c)图列方方程可可得相相同的的计算算结果果。扭矩的的正负负号由由右手手螺旋旋法则则规定定：使卷曲曲右手手的四四指其其转向向与扭扭矩T的转向向相同同，若若大拇拇指的的指向向离开开横截截面，，则扭扭矩为为正；；反之之为负负。扭矩图图：表表示扭扭矩随随横截截面位位置变变化的的图线线。一传动动轴的的计算算简图图如图图所示示，作作用于于其上上的外外力偶偶矩之之大小小分别别是：：MA=2kN··m,MB=3.5kN··m，MC=1kN··m，MD=0.5kN··m，转向如如图。。试作作该传传动轴轴之扭扭矩图图。解：只只要求求出AB、BC、CD段中任任意横横截面面上的的扭矩矩，即即可作作出扭扭矩图图。例题6-41-1截面面：MA+T1=0得T1=MA=-2kN·m分别作作截面面1-1、2-2、3-3，如如右图图所示示。考虑1-1截面面例题6-4例题6-4同理得T2=1.5kN·m,T3=0.5kN·m该传动动轴横横截面面上的的最大大扭矩矩是多多少？？思考题题6-6作杆的的扭矩矩图。。思考题题6-7思考题题6-7参考考答案案§6-4剪力和和弯矩矩·剪剪力图图和弯弯矩图图梁：在外力力作用用下以以弯曲曲为主主要变变形的的杆件件。弯曲：：当杆承承受的的外力力作用用线垂垂直于于杆轴轴线（（有时时不包包括力力偶））时，，杆变变形的的主要要现象象是任任意两两横截截面绕绕垂直直于杆杆轴线线的轴轴作相相对转转动，，同时时杆的的轴线线弯成成曲线线。为计算算梁的的应力力和位位移，，首先先应确确定梁梁在外外力作作用下下任一一横截截面上上的内内力。。由上图可知，其横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有：位于横截面平面内切向分布内力的合力为剪力和位于纵向平面内的内力偶矩为弯矩M。

图中C是横截截面的的形心心。分析梁梁左段段任意意横截截面m－m上的剪剪力，，由∑Fy=0，，FA-FS=0得M=FA·x=Fbx/lFS=FA

得现分析如何求解剪力

和弯矩M。也可取取横截截面的的右边边一段段梁作作为分分离体体计算算，结结果相相同，，但稍稍复杂杂。正负号根据变形情况来确定。剪力以使梁的微段发生左上右下的错动者为正；反之为负。弯矩以使梁的微段发生上凹下凸的变形，即梁的上部纵向受压而下部纵向受拉时为正；反之为负。剪切变变形演演示弯曲变变形演演示试求下下图所所示悬悬臂梁梁之任任意横横截面面m-m上的剪剪力和和弯矩矩。思考题题6-8思考题题6-8参考答答案：：FS=-

FM=-

Fx(a)(b)FS=0M=Me试求图图示截截面（（1-1、2-2、3-3）上上的剪剪力和和弯矩矩。解：本本题可可从右右边开开始求求解，，也可可从左左边开开始求求解解。从从右边边开始始可先先不求求支座座A处的约约束力力。取右段段分析析，考考虑1-1截面面，有有∑Fy=0，FS1-2=0，FS1=2kN例题6-5取右段段分析析，考考虑2-2截面面，有有例题6-5取右段段分析析，考考虑3-3截面面，有有例题6-5为了验验证结结果的的正确确性，，可从从左边边开始始进行行分析析。先先求A处的支支座约约束力力，有有下面以以左段段为研研究对对象，，分析析3-3截面上的剪剪力和弯矩。。例题6-5此结果与取右右段分析的结结果相同。例题6-5从上例看到，，梁的横截面面上的内力，，一般而言，，在不同的横横截面上有不不同的数值。。因此有必要要作出梁的内内力图——剪剪力图和弯矩矩图，以直观观地表示这些些内力随横截截面位置变化化的情况。从从而为梁的强强度计算与刚刚度计算提供供重要的依据据。解：取轴x与梁的轴线重重合，坐标原原点取在梁的的左端。以坐坐标x表示横截面的的位置。只要要求得x处横截面上的的剪力和弯矩矩，即可画出出其内力图。。试作图示梁的的剪力图和弯弯矩图。例题6-6根据左段分离离体的平衡条条件便可列出出剪力方程和和弯矩方程。。有FS(x)=-qx(0≤x＜l)M(x)=-qx2/2(0≤x＜l)例题6-6右图所示为一一受满布均布布荷载的简支支梁，试作剪剪力图和弯矩矩图。解：此梁的支支座约束力根根据对称性可可知：FA=FB=ql/2梁的剪力方程程和弯矩方程程分别为FS(x)=ql/2-qx(0＜x＜l)M(x)=qlx/2-qx2/2(0≤x≤l)例题6-7解：根据整体体平衡，求得得支座约束力力FA=Fb/l,FB=Fa/l梁上的集中荷荷载将梁分为为AC和CB两段，根据每每段内任意横横截面左侧分分离体的受力力图容易看出出，两段的内内力方程不会会相同。例题6-8图示为一受集中荷载

作用的简支梁。试作其剪力图和弯矩图。AC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0＜x＜a)(0≤x≤a)FS(x)=Fb/l-F=-

Fa/l(a＜x＜l)M(x)=Fbx/l-F(x-a)=Fa(l-x)/l(a≤x≤l)例题6-8AC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0＜x＜a)(0≤x≤a)FS(x)=Fb/l-F=-

Fa/l(a＜x＜l)M(x)=Fbx/l-F(x-a)=Fa(l-x)/l(a≤x≤l)例题6-8从剪力图上看看到，在集中中力作用处剪剪力发生突变变，突变的值值等于集中力力的大小。发生这种情况况是由于把实实际上分布在在很短区间内内的分布力，，抽象成了作作用于一点的的集中力力。例题6-8例题6-8若将集中力

看为Dx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在

Dx

梁段内，剪力从Fb/l沿斜直线过渡到

-

Fa/l，不存在突变现象。简支梁如图所所示。试作该该梁的剪力图图和弯矩图。。解：先求支座座约束力例题6-9分段列出剪力