数学史第章数学起源与早期发展

数学史范永顺绪论数学史主要研究数学科学发生发展及其规律。学习数学史的意义：1、数学是一门积累性很强的学科，不了解数学史就不能了解数学学科。古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点。

著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。2、通过学习数学史可以了解数学知识的来龙去脉，有利于教学。活跃课堂气氛，增加学习兴趣，提高教学效果．如在讲无穷递缩等比数列的和时，可以从“芝诺悖论”讲起。2011山东理13:执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是

3、通过学习数学史可以获得人文科学的修养。通过数学史学习，可以使数学专业的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在人格培养上发挥十分重要的作用。4、学习数学史料有利于掌握数学思想。数学中有许多数学思想．如，当美索不达米亚的牧人第一次使用小石子来表示羊只时，就意味着对应思想的产生；而当他们第一次试图使用什么记号将羊只的总数记录下来时，就意味着符号思想的出现学习要求本课程开卷考试和课程论文结合的考核方式。要求在课堂上简要记笔记。参考书目：李文林.数学史概论梁宗巨.世界数学史通论李迪.中国数学史简编(美)H.伊夫斯.数学史上的历程碑网站:/zhanzheng/a04/000.htm/

糜克定的科学园——趣味数学、数学乐园糜克定的科学园——世界著名数学家传记1、数学的萌芽数学起源与早期发展

数的概念的形成大约是在30万年以前记数是伴随着计数的发展而发展的●手指记数亚里士多德：采用十进制是因为多数人生来具有十个手指●石子记数●结绳记数●刻痕记数《周易·系辞下》：上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。基普（印加）幼狼胫骨（捷克）大约约五五千千年年前前，，出出现现书书写写记记数数及及相相应应的的记数数系系统统。几种种古古老老文文明明的的早早期期记记数数系系统统：：◆巴比比伦伦数数字字：：六六十十进进制制◆玛玛雅雅数数字字：：二二十十进进制制◆其余余数数字字：：十十进进制制记数数系系统统的的出出现现使使数数与与数数之之间间的的运运算算成成为为可可能能最初初的的几几何何知知识识从从人人们们对对形形的的直直觉觉中中萌萌发发出出来来。。这这组组照照片片显显示示了了早早期期人人类类不不止止是是对对圆圆、、三三角角形形、、正正方方形形等等一一系系列列几几何何形形式式的的认认识识，，而而且且还还有有对对全全等等、、相相似似、、对对称称等等几几何何性性质质的的应应用用。。在不不同同地地区区，，几几何何学学的的来来源源不不尽尽相相同同：：●古埃埃及及：：土土地地的的丈丈量量●古印印度度：：宗宗教教实实践践●古代代中中国国：：天天文文观观测测兴起起于于埃埃及及、、美美索索不不达达米米亚亚、、中中国国和和印印度度等等地地域域的的古古代代文文明明称称为为““河河谷谷文文明明””。。早早期期数数学学，，就就是是在在尼尼罗罗河河、、底底格格里里斯斯河河与与幼幼发发拉拉底底河河、、黄黄河河与与长长江江、、印印度度河河与与恒恒河河等等河河谷谷地地带带首首先先发发展展起起来来的的。。1.1埃埃及及数数学学埃及及文文明明以以古古老老的的象象形形文文字字和和巨巨大大的的金金字字塔塔为为象象征征。。埃及及象象形形文文字字产产生生于于公公元元前前3500年年左左右右，，约约公公元元前前2500年年被被简简化化为为一一种种更更易易书书写写的的““僧僧侣侣文文””，，后后又又发发展展成成所所谓谓““通通俗俗文文””。。长长期期以以来来，，这这些些神神秘秘的的文文字字始始终终是是不不解解之之谜谜。。吉萨萨金金字字塔塔(公公元元前前2600年年)1799年年，，拿拿破破伦伦远远征征军军的的士士兵兵在在埃埃及及古古港港口口罗罗赛赛塔塔发发现现一一块块石石碑碑，，碑碑上上刻刻有有用用三三种种文文字字----希希腊腊文文、、埃埃及及僧僧侣侣文文和和象象形形文文记记述述的的同同一一铭铭文文，，才才使使精精通通希希腊腊文文的的学学者者找找到到了了解解读读埃埃及及古古文文字字的的钥钥匙匙。。古埃埃及及人人在在一一种种用用纸纸莎莎草草压压制制成成的的草草片片上上书书写写，，这这些些纸纸草草书书有有的的幸幸存存至至今今。。我我们们关关于于古古埃埃及及数数学学的的知知识识，，主主要要就就是是依依据据了了两两部部纸纸草草书书----莱莱茵茵德德纸纸草草书书和和莫莫斯斯科科纸纸草草书书。莱茵茵德德纸纸草草书书最最初初发发现现于于埃埃及及底底比比斯斯古古都都废废墟墟，，1858年年为为苏苏格格兰兰收收藏藏家家莱莱茵茵德德(H.Rhind)购购得得，，因因名名。。该该纸纸草草书书现现存存伦伦敦敦大大英英博博物物馆馆,见见图图.有时时人人们们也也称称这这部部纸纸草草书书为为阿阿姆姆士士纸纸草草书书，，他他在在公公元元前前1650年年左左右右用用僧僧侣侣文文抄抄录录了了这这部部纸纸草草书书，，而而根根据据阿阿姆姆士士所所加加的的前前言言可可知知，，他他抄抄录录的的是是一一部部已已经经流流传传了了两两个个多多世世纪纪的的更更古古老老的的著著作作，，其其中中涉涉及及的的数数学学知知识识一一部部分分可可能能得得传传于于英英霍霍特特普普(Imhotep)，，此此人人是是法法老老卓卓塞塞尔尔的的御御医医，，同同时时也也是是一一位位传传奇奇式式的的建建筑筑师师，，曾曾督督造造过过这这位位法法老老的的金金字字塔塔。。●莫斯斯科科纸纸草草书书又又叫叫戈戈列列尼尼雪雪夫夫纸纸草草书书，，1893年年由由俄俄国国贵贵族族戈戈列列尼尼雪雪夫夫在在埃埃及及购购得得，，现现藏藏莫莫斯斯科科普普希希金金精精细细艺艺术术博博物物馆馆。。据据研研究究，，这这部部纸纸草草书书是是出出自自第第十十二二王王朝朝一一位位佚佚名名作作者者的的手手笔笔（（约约公公元元前前1890年年）），，也也是是用用僧僧侣侣文文写写成成。。这两两部部纸纸草草书书实实际际上上都都是是各各种种类类型型的的数数学学问问题题集集。。这种种记记数数制制以以不不同同的的特特殊殊记记号号分分别别表表示示10的的前前六六次次幂幂：：简简单单的的一一道道竖竖线线表表示示1，，倒倒置置的的窗窗或或骨骨（（∩∩））表表示示10，，一一根根套套索索表表示示100，，一一朵朵莲莲花花表表示示1000，，弯弯曲曲的的手手指指表表示示10000，，一一条条江江鳕鳕鱼鱼表表示示100000，，而而跪跪着着的的人人像像（（可可能能指指永永恒恒之之神神））则则表表示示1000000.其其他他数数目目是是通通过过这这些些数数目目的的简简单单累累积积来来表表示示的的，，如如数数12345则则被被记记作作100100010000100000100000012345在两两部部纸纸草草书书中中，，象象形形文文字字被被简简化化为为僧僧侣侣文文数数字字:28在在象象形形文文字字中中被被表表示示为为,而而在在僧僧侣侣文文中中被被写写成成，，值得得注注意意的的是是这这里里把把代代表表较较小小数数字字的的8（（记记二二个个4））的的符符号号（=））置置于于左左边边而而不不是是右右边边。。随着着青青铜铜文文化化的的崛崛起起，，分分数数概概念念与与分分数数记记号号应应运运而而生生。。埃及及象象形形文文字字用用一一种种特特殊殊的的记记号号来来表表示示单单位位分分数数（（即即分分子子为为一一的的分分数数））：：在在整整数数上上方方画画一一个个长长椭椭圆圆；；纸纸草草书书中中采采用用的的僧僧侣侣文文，，则则用用一一点点来来代代替替长长椭椭圆圆号号。。在在多多位位数数的的情情形形，，则则点点号号置置于于最最右右边边的的数数码码之之上上。。例如如象象形形文文字字僧僧侣侣文文字字单位位分分数数的的广广泛泛使使用用成成为为埃埃及及数数学学一一个个重重要要而而有有趣趣的的特特色色。。埃埃及及人人将将所所有有的的真真分分数数都都表表示示成成一一些些单单位位分分数数的的和和。。为为了了使使这这种种分分解解过过程程做做起起来来更更为为容容易易，，莱莱茵茵德德纸纸草草书书在在阿阿姆姆士士的的前前言言之之后后给给出出了了一一张张形形如如2/k（（k为为从从5到到101的的奇奇数数））的的分分数数分分解解为为单单位位分分数数之之和和的的表表。。利利用用这这张张表表，，可可以以把把例例如如7/29这这样样的的分分数数表表成成单单位位分分数数之之和和：：埃及人人最基基本的的算术术运算算是加加法。。乘法法运算算是通通过逐逐次加加倍的的程序序来实实现的的。如如69×19是是这样样来进进行的的：将将69加倍倍到138，又又将这这个结结果加加倍到到276，，再加加倍到到552，，再加加倍到到1104(此此即69的的16倍)。因因为19=16+2+1，所所以69××19的答答数应应为1104+138+69=1311。。纸草书书中有有些问问题可可以被被归之之为我我们今今天所所说的的代数数学范范畴，，它们们相当当于求求解形形如或或的的一次次方程程。埃及人人称未未知数数为““堆””(aha,读读作““何””)。。如莱莱茵德德纸草草书第第24题：：已知知“堆堆”与与七分分之一一“堆堆”相相加为为19，求求“堆堆”的的值。。纸草书书作者者所用用的解解法实实质是是一种种算术术方法法，即即现在在所谓谓的““假位位法””：先假设设一个个特殊殊的数数作为为“堆堆”值值（多多半是是假值值），，将其其代入入等号号左边边去运运算，，然后后比较较得数数与应应得结结果，，再通通过比比例方方法算算出正正确答答数。。在上例例中，，数7作为为未知知数的的试验验值，，于是是，，而而应得得结果果是，，这两两个结结果之之比为为等等于于，，将将7乘乘以（））即得得正确确的““堆堆”值值为。。19埃及几几何学学是尼尼罗河河的赠赠礼。。古希希腊历历史学学家希希罗多多德在在公元元5世世纪曾曾访问问考察察过埃埃及，，并在在其著著作《《历史史》一一书中中写道道：西索斯斯特里里斯………在在埃及及居民民中进进行了了一次次土地地划分分。………假假如河河水冲冲毁了了一个个人所所得的的任何何一部部分土土地，，国王王就会会派人人去调调查，，并通通过测测量来来确定定损失失地段段的确确切面面积。。………我认认为，，正是是由于于这类类活动动，埃埃及人人首先先懂得得了几几何学学，后后来又又把它它传给给了希希腊人人。现存的纸纸草书中中可以找找到正方方形、矩矩形、等等腰梯形形等图形形面积的的正确公公式，例例如莱茵茵德纸草草书中的的第52题，通通过将等等腰梯形形转化为为矩形的的图形变变换，得得出了等等腰梯形形面积的的正确公公式。埃及人对对圆面积积给出了了很好的的近似。。莱茵德德纸草书书第50题假设设一直径径为9的的圆形土土地，其其面积等等于边长长为8的的正方形形面积。。如果与与现代公公式相比比较，就就相当于于取值为为。埃及人在在体积计计算中达达到了很很高的水水平，代代表性例例子是莫莫斯科纸纸草书中中的14题。这这道题给给出了计计算平截截头方锥锥体积的的公式，，用现代代符号表表示相当当于：这个公式式是精确确的，并并且具有有对称的的形式。埃及数学学是实用用数学,但也有有个别例例外，例例如莱茵茵德纸草草书第79题：：7座房，，49只只猫，343只只老鼠，，2401颗麦麦穗，16807赫卡卡特。有人认为为这是一一个数谜谜：7座座房子，，每座房房里养7只猫，，每只猫猫抓7只只老鼠，，每只老老鼠吃7颗麦穗穗，每颗颗麦穗可可产7赫赫卡特粮粮食，问问房子、、猫、老老鼠、麦麦穗和粮粮食各数数值总和和。埃及文明明在历代代王朝的的更迭中中表现出出一种静静止的特特性。莱莱茵德纸纸草书和和莫斯科科纸草书书中的数数学，在在数千年年漫长的的岁月中中很少变变化。加加法运算算和单位位分数的的计算显显得笨重重繁复。。古埃及及人的面面积、体体积算法法对精确确公式与与近似公公式往往往不作明明确区分分，这又又使它们们的实用用几何带带上了粗粗糙的色色彩。这这一切都都阻碍埃埃及数学学向更高高的水平平发展。。公元前前4世纪纪希腊人人征服埃埃及之后后，这一一古老的的数学文文化完全全被蒸蒸蒸日上的的希腊数数学所取取代。1.2古古巴比伦伦数学底格里斯斯河与幼幼发拉底底河所灌灌溉的美美索不达达米亚平平原，也也是人类类文明的的发祥地地之一。。早在公公元前四四千年，，苏美尔尔人就在在这里建建立起城城邦国家家并创造造了文字字。两河流域域的居民民用尖芦芦管在湿湿泥板上上刻写楔楔形文字字，然后后将泥板板晒干或或烘干。。迄今已已有约50万块块泥板文文书出土土。对楔楔形文字字的释读读比埃及及文字要要晚，关关键的一一步是在在19世世纪70年代迈迈出的，，当时发发现的贝贝希斯敦敦石崖，，上面用用三种文文字（波波斯文、、埃及文文和巴比比伦文））记载着着波斯王王大流士士一世的的战功。。对波斯斯文的知知识使人人们得以以揭开古古巴比伦伦文字的的奥秘。。1.2古古巴比伦伦数学1.2古古巴比伦伦数学泥版楔形形文普普林林顿322现存泥板板文书中中大约有有300块是数数学文献献。对这这些泥板板文书的的研究揭揭示了一一个远比比古埃及及人先进进的美索索不达米米亚早期期数学文文化。美索不达达米亚人人创造了了一套以以60进进制为主主的楔形形文记数数系统。。这种记记数制对对60以以内的整整数采用用简单十十进累记记法，例例如59记。。对对于大于于59的的数，则则采用六六十进制制的位制制记法。。同一个个记号，，根据它它在数字字表示中中的相对对位置而而赋予不不同的值值，这种种位值原原理是美美索不达达米亚数数学的一一项突出出成就。。例如这这一一写法中中，右边边的表表示两个个单位；；中间的的表表示基基数（60）的的2倍；；而左边边的则则表示示基数（（60））的平方方的2倍倍，因此此这个数数字是指指，，用十十进制写写出来就就是7322。。这种位值值制是不不彻底的的，因为为其中没没有零号号。这样样，美索索不达米米亚人表表示122和7202的形式式是相同同的，人人们只能能根据上上、下文文来消除除二义性性。不过过在公元元前3世世纪的泥泥板文书书中开始始出现一一个专门门的记号号，用来来表示没没有数字字的空位位。这记记号是由由两个斜斜置的小小楔形组组成。有有了这个个空位记记号，人人们就很很容易将将数与区区分分开来了了。美索不达达米亚人人的记数数制远远远胜于埃埃及象形形数字之之处，还还在于他他们巧妙妙地将位位值原理理推广应应用到整整数以外外的分数数。美索索不达米米亚人对对分数能能够跟对对整数一一样运算算自如。。美索不达达米亚人人长于计计算，这这不只是是与他们们优良的的记数系系统有关关。美索索不达米米亚的学学者还表表现出发发展程序序化算法法的熟练练技巧。。他们创创造了许许多成熟熟的算法法，开方方根计算算就是有有代表性性的例子子之一。。这种开开方程序序既简单单又有效效：设是是所求平平方根，，并设是是这根根的首次次近似；；由方程程求求出第第二次近近似，，若偏偏小，则则偏偏大，，反之亦亦然。取取算术平平均值为为下一一步近似似，因为为总总是是偏大，，再下一一步近似似必必偏小，，取算术术平均值值将将得到更更好的结结果。这这一程序序实际上上可以无无限继续续下去。。耶鲁大大学收藏藏的一块块古巴比比伦泥板板（编号号7289），，其上载载有的的近似似值，结结果准确确到六十十进制三三位小数数，用现现代符号号写出来来是1.414213，是是相当精精确的逼逼近。美索不达达米亚人人还经常常利用各各种数表表来进行行计算，，在现有有的300多块块数学泥泥板文书书中，就就有200多块块是数学学用表，，包括乘乘法表、、倒数表表、平方方表、立立方表、、平方根根表、立立方根表表，甚至至还有指指数（对对数）表表。美索不达达米亚数数学在代代数领域域内达到到了相当当的高度度。来自自古巴比比伦时代代的一些些泥板文文书则表表明，已已能卓有有成效地地处理相相当一般般的三项项二次方方程。例如，耶耶鲁大学学收藏的的一块泥泥板文书书中有这这样的问问题：已知依几几布姆(igibum)比依依古姆(igum)大大7。问问依几布布姆和依依古姆各各为多少少？这里igibum和igum是古巴巴比伦数数学文献献中表示示互为倒倒数的两两个数的的专有术术语，在在十进制制中则相相当于乘乘积为六六十之幂幂的两个个数。若若以x表表示igibum，y表示igum，则该该题相当当于求解解方程组组这又又相相当当于于先先求求解解一一个个一一元元二二次次方方程程：：题中中给给出出的的算算法法相相当当于于:也就就是是今今天天熟熟知知的的二二次次方方程程的的求求根根公公式式：：由于于正正系系数数二二次次方方程程没没有有正正根根，，因因此此在在古古代代与与中中世世纪纪，，甚甚至至在在近近代代早早期期，，二二次次方方程程一一直直是是被被分分成成以以下下三三类类（（其其中中））：：来研研究究。。古埃埃及及人人没没有有留留下下解解三三次次方方程程的的纪纪录录，，美美索索不不达达米米亚亚泥泥板板文文书书中中却却不不乏乏三三次次方方程程的的例例子子。。像像这这样样的的纯纯三三次次方方程程，，主主要要是是通通过过查查立立方方表表或或立立方方根根表表来来求求解解。。形形如如的的混混合合三三次次方方程程也也是是籍籍现现成成的的表表来来求求解解。。巴巴比比伦伦人人编编有有专专门门的的的的数数值值表表（（其其中中为为整整数数））。。美索索不不达达米米亚亚几几何何也也是是与与测测量量等等实实际际问问题题相相联联系系的的数数值值计计算算。。美美索索不不达达米米亚亚学学者者已已掌掌握握三三角角形形、、梯梯形形等等平平面面图图形形和和棱棱柱柱、、平平截截头头方方锥锥等等一一些些立立体体图图形形体体积积的的公公式式。。在美美索索不不达达米米亚亚河河谷谷地地区区，，圆圆面面积积通通常常被被取取作作半半径径平平方方的的三三倍倍，，也也就就是是说说取取圆圆周周率率为为3，，其其精精确确度度自自然然在在埃埃及及人人之之下下。。但但也也有有学学者者采采用用作作