分类计数原理

关于分类计数原理第一页，共二十二页，2022年，8月28日问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？第二页，共二十二页，2022年，8月28日关于分类计数原理的几点注记：

⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；

⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；

⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏．

第三页，共二十二页，2022年，8月28日分类计数原理完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第ｎ类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有N＝种不同的方法（加法原理）第四页，共二十二页，2022年，8月28日问题2从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？所有走法火车1－汽车1火车1－汽车2火车2－汽车1火车2－汽车2火车3－汽车1火车3－汽车2第五页，共二十二页，2022年，8月28日分步计数原理完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第ｎ步有种不同的方法．那么完成这件事共有N＝种不同的方法．（乘法原理）第六页，共二十二页，2022年，8月28日关于分步计数原理的几点注记⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理；⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；

⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤．

第七页，共二十二页，2022年，8月28日分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题．区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．第八页，共二十二页，2022年，8月28日例3：书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？解：⑴从书架上任取一本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取一本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N=m1+m2+m3=4+3+2=9．答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.第九页，共二十二页，2022年，8月28日(2)从书架的第1，2，3层各取一本书，可以分为三个步骤完成：第1步是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步是从第3层取一本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N=m1×m2×m3=4×3×2=24．答：从书架上各取1本书，有24种不同的取法第十页，共二十二页，2022年，8月28日例4：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左，右两边的墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？第十一页，共二十二页，2022年，8月28日例5：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9，问最多可以给多少程序命名？第十二页，共二十二页，2022年，8月28日例6：

一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘上的数字有10种取法．根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成四位数字号码的个数是N=10×10×10×10=10000．答：可以组成10000个四位数字号码．第十三页，共二十二页，2022年，8月28日例7：核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分。一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置都有一种称为碱基的化学成分占据，总共有4种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示。在一个RNA分子中，各个碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其它位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？第十四页，共二十二页，2022年，8月28日例6，例7的共同点在哪？1、都用分步原理，即乘法原理。2、每一步的总数一样。3、称为型mN第十五页，共二十二页，2022年，8月28日类题1：

有数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字许重复）？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法；第二步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。根据乘法原理，得到组成的三位数的个数是：

N=5×5×5=53=125

答：可以组成125个三位数。第十六页，共二十二页，2022年，8月28日类题2：电子元件很容易实现电路的通和断、电位的高和低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制。为使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计数单位，每个字节由8个二进制构成，问(1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国际标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？第十七页，共二十二页，2022年，8月28日练习1：

1．一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？

2．在读书活动中，一个学生要从2本科技书，2本政治书，3本文艺术里任选一本，共有多少种不同的选法？

3．乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+

ｃ5)展开后共有项？

4+5=92+2+3=7３×４×５＝６０第十八页，共二十二页，2022年，8月28日练习题2：书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有6本不同的语文书，下层放有4本不同的英语书，从中任取1本书的不同取法的种数是（）

A.5+6＋4=15B.1C.6×5×4=120D.3A在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的种数是()A.1+1+1=3B.5+6+4=15C.5×6×4=120D.1C把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.7C4火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）种

A.510B.105C.50D.以上都不对A第十九页，共二十二页，2022年，8月28日例8

有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的物理书5本，从中任取两种不同类的书，共有多少种不同的取法？解：每次取出的两本书中：含1本语文书和1本数学书的共有9×7=63种取法；含1本数学书和1本物理书的共有7×5=35种取法；含1本语文书和1本物理书的共有9×5=45种取法。由加法原理得63+35+45=143答：共有143种取法。第二十页，共二十二页，2022年，8月28日练习3：1．（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？2．有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有