《计量经济分析方法与建模》课件第二版第05章时间序列

第五章时间序列模型

关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第9章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。

1第五章时间序列模型关于标准回归技术及其预

在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、估计及识别方法。2在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是对统计均

由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳的，因此，由20世纪80年代初Granger提出的协整概念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本思想及误差修正模型。3由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序列的变化规律§5.1

序列相关及其检验

第3章在对扰动项ut的一系列假设下，讨论了古典线性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方程的扰动项

ut满足古典回归假设，使用OLS所得到的估计量是线性无偏最优的。但是如果扰动项ut不满足古典回归假设，回归方程的估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明，扰动项ut关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此，必须建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设所带来的模型估计问题。4§5.1序列相关及其检验第3章在对扰动项ut的§5.1.1

序列相关及其产生的后果

对于线性回归模型(5.1.1)随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为(5.1.2)如果扰动项序列ut表现为：(5.1.3)即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性(serialcorrelation)。5§5.1.1序列相关及其产生的后果对于线性回由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方差的正态分布，则序列相关性也可以表示为：(5.1.4)特别的，如果仅存在

(5.1.5)称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问题。

6由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方差

如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低估。因此，检验参数显著性水平的t统计量将不再可信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为：②使用OLS公式计算出的标准差不正确，相应的显著性水平的检验不再可信；

③回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不再可信。

①在线性估计中OLS估计量不再是有效的；7如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用最小二乘法

EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显著的变量引入到解释变量中。§5.1.2

序列相关的检验方法

8EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但

EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。

1．D_W统计量检验

Durbin-Watson统计量（简称D_W统计量）用于检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程：

(5.1.6)D_W统计量检验的原假设：=0，备选假设是

0。

9EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。9

如果序列不相关，D.W.值在2附近。如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情况，说明残差序列存在强的正一阶序列相关。10如果序列不相关，D.W.值在2附近。10

Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足：1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再有效。3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。其他两种检验序列相关方法：相关图和Q-统计量、Breush-GodfreyLM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。

11Dubin-Waston统计量检验序列相2.相关图和Q-统计量

1.自相关系数

我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列ut滞后k阶的自相关系数由下式估计（5.2.26）其中是序列的样本均值，这是相距k期值的相关系数。称rk为时间序列ut的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列ut的邻近数据之间存在多大程度的相关性。122.相关图和Q-统计量

2．偏自相关系数偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的条件下，ut与ut-k之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数k,k度量。在k阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下（5.2.27）其中：rk是在k阶滞后时的自相关系数估计值。（5.2.28）这是偏自相关系数的一致估计。132．偏自相关系数13要得到k,k的更确切的估计，需要进行回归

t

=

1,2,,T（5.2.29）因此，滞后k阶的偏自相关系数是当ut

对ut-1，…，ut-k作回归时ut-k的系数。称之为偏相关是因为它度量了k期间距的相关而不考虑k-1期的相关。

14要得到k,k的更确切的估计，需要进行回归

我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数，以及Ljung-BoxQ-统计量来检验序列相关。Q-统计量的表达式为：

(5.1.7)其中：rj是残差序列的

j阶自相关系数，T是观测值的个数，p是设定的滞后阶数。15我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和

p阶滞后的Q-统计量的原假设是：序列不存在p阶自相关；备选假设为：序列存在p阶自相关。如果Q-统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中，通常会计算出不同滞后阶数的Q-统计量、自相关系数和偏自相关系数。如果，各阶Q-统计量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0。16p阶滞后的Q-统计量的原假设是：序列不存在

反之，如果，在某一滞后阶数p，Q-统计量超过设定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存在p阶自相关。由于Q-统计量的P值要根据自由度p来估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有效的重要因素。

在EViews软件中的操作方法：

在方程工具栏选择View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung-BoxQ统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。17反之，如果，在某一滞后阶数p，Q-统计量超过例5.1:利用相关图检验残差序列的相关性

考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总投资INV是单位为10亿美元的名义值，价格指数P为GNP的平减指数（1972=100），利息率R为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值r则是通过贴现率R减去价格指数变化率p得到的。样本区间：1963年～1984年，建立如下线性回归方程：t

=

1,2,,T

18例5.1:利用相关图检验残差序列的相关性考应用最小二乘法得到的估计方程如下：

t=（-1.32）（154.25）R2=0.80

D.W.=0.9419应用最小二乘法得到的估计方程如下：19

虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1阶序列相关。1阶滞后的Q-统计量的P值很小，拒绝原假设，残差序列存在一阶序列相关。

选择View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：

20虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。3.序列相关的LM检验

与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，Breush-GodfreyLM检验（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况下，LM检验仍然有效。

LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关，p为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。213.序列相关的LM检验与D.W.统计量仅检验扰

（1）估计回归方程，并求出残差et(5.1.8)

（2）检验统计量可以基于如下回归得到(5.1.9)

这是对原始回归因子Xt和直到p阶的滞后残差的回归。LM检验通常给出两个统计量：F统计量和T×R2统计量。F统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数T乘以回归方程（5.1.9）的R2。一般情况下，T×R2统计量服从渐进的2(p)分布。22（1）估计回归方程，并求出残差et22

在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。

在EView软件中的操作方法：

选择View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行Breush-GodfreyLM。在滞后定义对话框，输入要检验序列的最高阶数。23在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设定显著性

LM统计量显示，在5%的显著性水平拒绝原假设，回归方程的残差序列存在序列相关性。因此，回归方程的估计结果不再有效，必须采取相应的方式修正残差的自相关性。

例5.1(续)

序列相关LM检验24LM统计量显示，在5%的显著性水平拒绝原假设，回归方例5.2:含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验考虑美国消费CS

和GDP及前期消费之间的关系，数据期间：1947年第1季度～1995年第1季度，数据中已消除了季节要素，建立如下线性回归方程：

t

=

1,2,,T

应用最小二乘法得到的估计方程如下：

t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999

D.W.=1.605

25例5.2:含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看，这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么D.W.值就不能作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优度和F统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。这里采用LM统计量进行检验(p=2)，得到结果如下：LM统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的序列相关性。26如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来

下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：

本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于1%，说明在1%的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。27下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下§5.1.3扰动项存在序列相关的线性回归方程的修正与估计

线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的不利影响。通常可以用AR(p)模型来描述一个平稳序列的自相关的结构，定义如下：(5.1.10)(5.1.11)28§5.1.3扰动项存在序列相关的其中：ut是无条件扰动项，它是回归方程（5.1.10）的扰动项，参数0，1，

2，，k是回归模型的系数。式（5.1.11）是扰动项ut的

p阶自回归模型，参数1，2，，p是p阶自回归模型的系数，t是无条件扰动项ut自回归模型的误差项，并且是均值为0，方差为常数的白噪声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误差为基础的预测值之差。下面将讨论如何利用AR(p)模型修正扰动项的序列相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知参数。29其中：ut是无条件扰动项，它是回归方程（5

1．修正一阶序列相关

最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一阶序列相关的情形，即p=1的情形：(5.1.12)(5.1.13)把式（5.1.13）带入式（5.1.12）中得到(5.1.14)301．修正一阶序列相关把式（5.1.13）然而，由式（5.1.12）可得(5.1.15)再把式（5.1.15）代入式（5.1.14）中，并整理(5.1.16)令，代入式（5.1.16）中有(5.1.17)如果已知

的具体值，可以直接使用OLS方法进行估计。如果

的值未知，通常可以采用Gauss—Newton迭代法求解，同时得到

，

0，

1的估计量。

31然而，由式（5.1.12）可得31

2．修正高阶序列相关

通常如果残差序列存在p阶序列相关，误差形式可以由AR(p)过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与一阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。

例如，仍讨论一元线性回归模型，并且扰动项序列具有3阶序列相关的情形，即p=3的情形：322．修正高阶序列相关32(5.1.18)(5.1.19)

按照上面处理AR(1)的方法，把扰动项的滞后项代入原方程中去，得到如下表达式：

(5.1.20)

通过一系列的化简后，仍然可以得到参数为非线性，误差项t为白噪声序列的回归方程。运用非线性最小二乘法，可以估计出回归方程的未知参数

0,

1,

1,

2,

3。33(5.1.18)(5.1.19)按照上面处理A我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线性形式为f(xt,)的非线性模型，xt={1,x1t,x2t,…,xkt}，={0

,1

,…,k}，若扰动项序列存在p阶序列相关，(5.1.21)(5.1.22)也可用类似方法转换成误差项t为白噪声序列的非线性回归方程，以p=1为例，(5.1.23)使用Gauss-Newton算法来估计参数。34我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线

3.在Eviews中的操作：打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入ar(1)ar(2)ar(3)。针对例5.2定义方程为：353.在Eviews中的操作：35

需要注意的是，输入的ar(1)ar(2)ar(3)分别代表3个滞后项的系数，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后2阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即则估计时应输入：cscgdpcs(-1)ar(2)ar(4)EViews在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入：cscgdpcs(-1)ar(4)。36需要注意的是，输入的ar(1)ar(2)例5.3用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关（1）例5.1中检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方程的自相关性：

t

=

1,2,,T

回归估计的结果如下：

t=(1.79)（55.36）

t=(4.45)

R2=0.86D.W.=1.47

37例5.3用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自再对新的残差序列进行LM检验(p=2)，最终得到的检验结果如下：检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。38再对新的残差序列进行LM检验(p=2)，最终例5.4用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关

例5.2中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到，可以采用AR(3)模型来修正回归方程的自相关性。

回归估计的结果如下：

39例5.4用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关模型建立如下：t=(-3.9)(7.29)（13.54）

t=(4.85)(3.07)（3.03）R2=0.999D.W=1.94

40模型建立如下：40

再对新的残差序列进行LM检验，最终得到的检验结果如下：

给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。

41再对新的残差序列进行LM检验，最终得含有AR项模型的估计输出

当估计某个含有AR项的模型时，在解释结果时一定要小心。在用通常的方法解释估计系数、系数标准误差和t-统计量时，涉及残差的结果会不同于OLS的估计结果。要理解这些差别，记住一个含有AR项的模型有两种残差：第一种是无条件残差

通过原始变量以及估计参数算出。在用同期信息对yt值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但要忽略滞后残差中包含的信息。

42含有AR项模型的估计输出当估计某个含有AR项的模型

第二种残差是估计的一期向前预测误差。如名所示，这种残差代表预测误差。对于含有AR项的模型，基于残差的回归统计量，如R2(回归标准误差)和D-W值都是以一期向前预测误差为基础的。含有AR项的模型独有的统计量是估计的AR系数。43第二种残差是估计的一期向前预测误差。如名所示

对于简单AR(1)模型，是无条件残差ût的序列相关系数。对于平稳AR(1)模型，1在-1（极端负序列相关）和+1（极端正序列相关）之间。一般AR(p)平稳条件是：滞后算子的特征多项式的根全部落在单位圆之外，即根的倒数在单位圆内。EViews在回归输出的底部给出这些根：InvertedARRoots。如果存在虚根，根的模应该小于1。

44对于简单AR(1)模型，是无条件残差û

另外：EViews可以估计带有AR误差项的非线性回归模型。

例如：将例5.4中的模型变为如下的非线性模型，估计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程：

用公式法输入：

cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)]45另外：EViews可以估计带有AR误差项的非

输出结果显示为：46输出结果显示为：46§5.2平稳时间序列建模

本节将不再仅仅以一个回归方程的扰动项序列为研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问题。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及汇率变化等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变换可以化成一个平稳序列。本节中介绍的ARMA模型(autoregressivemovingaveragemodels)可以用来研究这些经济变量的变化规律，这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范畴。47§5.2平稳时间序列建模本节将不

经济时间序列不同于横截面数据存在重复抽样的情况，它是一个随机事件的惟一记录，如中国1980年～2004年的进出口总额是惟一的实际发生的历史记录。从经济的角度看，这个过程是不可重复的。横截面数据中的随机变量可以非常方便地通过其均值、方差或生成数据的概率分布加以描述，但是在时间序列中这种描述很不清楚。因此，经济时间序列需要对均值和方差给出明晰的定义。为了叙述方便，本节中的{ut}代表平稳时间序列，而不是残差序列。§5.2.1平稳时间序列的概念48经济时间序列不同于横截面数据存在重复抽样的情况，它是

如果随机过程的均值和方差、自协方差都不取决于t，则称{ut}是协方差平稳的或弱平稳的：注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则ut与ut-s之间的协方差仅取决于s，即仅与观测值之间的间隔长度s有关，而与时期t无关。一般所说的“平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。

对所有的

t

对所有的

t

对所有的

t和

s

(5.2.1)(5.2.2)(5.2.3)49注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则ut§5.2.2ARMA模型

1.自回归模型AR(p)

p阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：(5.2.4)其中：参数c为常数；1,

2,…,p是自回归模型系数；p为自回归模型阶数；t是均值为0，方差为

2的白噪声序列。50§5.2.2ARMA模型1.自回

2.移动平均模型MA(q)

q阶移动平均模型记作MA(q)，满足下面的方程：(5.2.5)其中：参数为常数；参数1,2,…,q是q阶移动平均模型的系数；t是均值为0，方差为

2的白噪声序列。512.移动平均模型MA(q)51

3.ARMA(p,q)模型

(5.2.6)显然此模型是模型(5.2.4)与(5.2.5)的组合形式，称为混合模型，常记作ARMA(p,q)。当p=0时，ARMA(0,q)=MA(q)当q=0时，ARMA(p,0)=AR(p)523.ARMA(p,q)模型52§5.2.3ARMA模型的平稳性

1.AR(p)模型的平稳性条件

为了理解AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)模型的理论结构，简单的算子理论是必不可少的。对于AR(p)模型(5.2.7)

设L为滞后算子，则有Lutut-1,Lputut-p，特别地，

L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：

(5.2.8)53§5.2.3ARMA模型的平稳性1.若设(L)1-

1L-

2L2-

…-

p

Lp

，令(5.2.9)则(z)是一个关于z的p次多项式，AR(p)模型平稳的充要条件是(z)的根全部落在单位圆之外。式(5.2.7)可以改写为滞后算子多项式的形式

可以证明如果AR(p)模型满足平稳性条件，则式(5.2.10)可以表示为MA()的形式，从而可以推导出来任何一个AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。

(5.2.10)54若设(L)1-1L-2L2-…-

2．MA(q)模型的可逆性

考察MA(q)模型若的根全部落在单位圆之外，则式(5.2.16)的MA算子称为可逆的。尽管不可逆时也可以表征任何给定的数据，但是一些参数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。(5.2.16)552．MA(q)模型的可逆性(5.2.16

3．ARMA(p,q)模型的平稳性条件

ARMA(p,q)模型包括了一个自回归模型AR(p)和一个移动平均模型MA(q)或者以滞后算子多项式的形式表示

(5.2.19)(5.2.20)563．ARMA(p,q)模型的平稳性条件(若令则ARMA(p,q)模型(5.2.19)平稳的充要条件是(z)的根全部落在单位圆之外。(5.2.21)

ARMA模型构造了一种更为复杂的白噪声序列的线性组合，近似逼近一个平稳序列。可以看出ARMA模型的平稳性完全取决于自回归模型的参数(1,

2,…,p

)，而与移动平均模型参数(1,2,…,q

)无关。

57若令(5.2.21)ARMA模型构造了一种

ARMA(p,q)模型中AR和MA部分应使用关键词ar和ma定义。在上面AR定义中，我们已见过这种方法的例子，这对MA也同样适用。

例如，估计因变量为LS的一个2阶自回归和1阶动平均过程ARMA(2,1)，应将AR(1),MA(1),AR(2)包含在回归因子列表中：

LScar(1)ar(2)ma(1)如果采用公式法输入方程，要将AR项系数明确列出，形式为：

LS=c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)]。

含有MA项只能用列表法。

§5.5.3ARMA(p,q)模型的估计

1.ARMA(p,q)模型的输入形式

58ARMA(p,q)模型中AR和MA部分应使用关键词例5.5利用AR(1)模型描述上证指数的变化规律

本例取我国上证收盘指数（时间期间：1991年1月～2007年8月）的月度时间序列S作为研究对象，用AR(1)模型描述其变化规律。首先对其做变化率，srt=100×(St-St-1)/St-1（t

=

1,2,,T）这样便得到了变化率序列。一般来讲，股价指数序列并不是一个平稳的序列，而通过变换后的变化率数据，是一个平稳序列，可以作为我们研究、建模的对象。记上证股价指数变化率序列为sr。59例5.5利用AR(1)模型描述上证指数的变化规律建立如下模型：

t

=

1,2,,T

估计输出结果显示为：

60建立如下模型：60如果建立如下模型：t

=

1,2,,T

估计输出结果显示为：

注意到两种方法计算的常数项不同，差在上。61如果建立如下模型：注意到两种方法计算的常数项不图5.2蓝线是上证股价指数变化率序列sr，红线是AR(1)模型的拟合值

从图5.2可以看出我国上证股价指数变化率序列在1991年～1994年之间变化很大，而后逐渐变小，基本在3%上下波动。近年来波动平缓，并且大多在3%下面波动。拟合曲线基本代表了这一时期的均值。62图5.2蓝线是上证股价指数变化率序列sr，红线是AR(1)对例5.5中我国上证收盘指数（时间期间：1991年1月～2007年8月）的月度时间序列S的对数差分变换LS=dlog(S)，即股票收益率用ARMA(1,1)模型来估计，来说明EViews是如何估计一个ARMA(p，q)模型的。

建立方程，输入LScar(1)ma(1)63对例5.5中我国上证收盘指数（时间期间：199估计输出显示：64估计输出显示：64估计方程可写为：t=(1.87)t=(-0.43)（0.35）R2=0.00476D.W.=1.98也可写为：65估计方程可写为：652.ARMA(p,q)模型的输出形式

一个含有AR项的模型有两种残差：第一种是无条件残差，第二种残差是估计的一期向前预测误差。如名所示，这种残差代表预测误差。实际上，通过利用滞后残差的预测能力，改善了无条件预测和残差。对于含有ARMA项的模型，基于残差的回归统计量，如R2和D.W.值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含有AR项的模型独有的统计量是估计的AR系数。对于简单AR(1)模型，1是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出表中1用AR(1)表示，MA(1)模型的系数1用MA(1)表示。对于平稳AR(1)模型，1在-1和+1之间。一般AR(p)模型平稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。

662.ARMA(p,q)模型的输出形式含有AR或MA项的模型的估计输出和OLS模型一样，只是在回归输出的底部增加了一个AR，MA多项式的根的倒数（invertedARroots或invertedMAroots）。我们利用滞后算子多项式写一般的ARMA模型：如果AR模型滞后多项式有实根或一对复根的倒数在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动平均。

67含有AR或MA项的模型的估计输出和OLS模型4.ARMA(p,q)模型的估计选择

EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模型采取回推技术(BoxandJenkins,1976)。这种方法的优点在于：易被理解，应用广泛，易被扩展为非线性定义的模型。注意：非线性最小二乘估计渐进等于极大似然估计且渐进有效。非线性估计方法对所有系数估计都要求初值。EViews自行确定初值。有时当迭代达到最大值时，方程终止迭代，尽管还未达到收敛。从前一步初值重新开始，使方程从中止处开始而不是从开始处开始。也可以试试不同的初值来保证估计是全部而不是局部平方误差最小，可以通过提供初值加速估计过程。684.ARMA(p,q)模型的估计选择为控制ARMA估计初值，在方程定义对话框单击Options。在EViews提供的选项中，ARMAOptions有几项设置初值的选择。EViews缺省方法是OLS/TSLS，这种方法先进行没有ARMA项的预备估计，再从这些值开始非线性估计。另一选择是使用OLS或TSLS系数的一部分作为初值。可以选择0.3、0.5、0.8或者可以将所有初值设为零。用户确定初值选项是UserSupplied。在这个选项下，EViews使用系数向量C中的值。为设置初值，双击图标，打开系数向量C窗口，进行编辑。

69为控制ARMA估计初值，在方程定义对话框单击O为适当地设置初值，需对EViews如何为ARMA设置系数多些了解。系数向量C按下列规则为变量安排系数：（1）变量系数，以输入为序；（2）定义的AR项，以输入为序；（3）SAR，MA，SMA系数（按阶数）。这样，下面两种定义将有同样规格的系数：YcXma(2)ma(1)sma(4)ar(1)Ysma(4)car(1)ma(2)Xma(1)70为适当地设置初值，需对EViews如何为AR§5.2.4ARMA模型的识别

1．利用自相关系数和偏自相关系数识别ARMA(p,q)模型在实际研究中，通常的做法是根据经济指标时间序列数据的样本特征，来推断经济指标的总体（真实）特征。在实际研究中，所能获得的只是经济指标时间序列ut的数据，根据经济指标的样本特征，来推断其总体（真实）特征。下面介绍利用ut的自相关系数(AC)和偏自相关系数(PAC)这两个统计量去识别ARMA(p,q)模型。71§5.2.4ARMA模型的识别1．利用通常的，AR(p)模型的自相关系数是随着滞后阶数k的增加而呈现指数衰减或者震荡式的衰减，具体的衰减形式取决于AR(p)模型滞后项的系数。因此，可以通过自相关系数来获得一些有关AR(p)模型的信息，如低阶AR(p)模型系数符号的信息。如果r1

0，意味着序列ut是一阶自相关。如果rk随着滞后阶数k的增加而呈几何级数减小，表明序列

ut服从低阶自回归过程。如果rk在小的滞后阶数下趋于零，表明序列

ut服从低阶移动平均过程72通常的，AR(p)模型的自相关系数是随着如果这种自相关的形式可由滞后小于k阶的自相关表示，那么偏相关在k期滞后下的值趋于零。一个纯的p阶自回归过程AR(p)的偏相关系数在p阶截尾，而纯的动平均函数的偏相关过程渐进趋于零。因此，如果我们能求出关于k,k的估计值，并检验其显著性水平，就能够确定时间序列ut

的自相关的阶数。73如果这种自相关的形式可由滞后小于k阶的自相关其中：t是均值为0，方差为

2的白噪声序列，ut的均值为，则自协方差k计算可得(5.2.27)(5.2.28)

2.MA模型的识别

MA(q)模型(5.2.26)74其中：t是均值为0，方差为2的白噪声序列，ut的均值为进而得到

(5.2.29)

上式表明对MA(q)模型，当k>q时，rk=0。ut与ut+k不相关，这种性质通常称为截尾。即MA(q)模型的自相关函数在q步以后是截尾的。75进而得到(5.2.29)上式表明对MA(q

MA(q)的偏自相关系数的具体形式随着q的增加变得越来越复杂，很难给出一个关于q的一般表达式，但是，一个MA(q)模型对应于一个AR(∞)模型。因此，MA(q)模型的偏自相关系数一定呈现出某种衰减的形式是拖尾的。故可以通过识别一个序列的偏自相关系数的拖尾形式，大致确定它应该服从一个MA(q)过程。76MA(q)的偏自相关系数的具体形式随着q3.AR模型的识别

可以不加证明的给出AR(p)过程的自相关系数

(5.2.34)其中1,2,…,p

是AR(p)模型的特征多项式(5.2.35)的p个特征根，g1,g2,…,gp为任意给定的p个常数。773.AR模型的识别(5.2.34)其中1,由此可知，AR(p)模型的自相关系数会由于g1,g2,…,gp及k取值的不同，呈现出不同的衰减形式，可能是指数式的衰减，也可能是符号交替的震荡式的衰减。例如，对于AR(1)模型，其自相关系数为rk1k，当1>0时，rk呈指数式的衰减；当1<0时，rk呈震荡式的衰减。

因此，可以通过自相关系数来获得一些有关AR(p)

模型的信息，如低阶AR(p)模型系数符号的信息。但是，对于自回归过程AR(p)，自相关系数并不能帮助我们确定AR(p)模型的阶数p。所以，可以考虑使用偏自相关系数k,k，以便更加全面的描述自相关过程AR(p)的统计特征。78由此可知，AR(p)模型的自相关系数会由于

这里我们通过简单的证明给出AR(p)模型的偏自相关系数。对于一个AR(p)模型，(5.2.36)将式（5.2.36）两边同时乘以ut-k(k=1,2,…,p)，再对方程两边取期望值并除以序列ut的方差得到如下关于系数1,2,…,p的线性方程组：(5.2.37)79这里我们通过简单的证明给出AR(p)模型的偏其中：r1,r2,…,rp分别为序列ut的1,2,…,p阶自相关系数。对于形如(5.2.37)的p(p=1,2,…,k,…)阶方程组求解，每个方程组的最后一个解就是相应的偏自相关系数1,1,2,2,…,k,k…

。且对于一个AR(p)模型，k,k的最高阶数为p，也即AR(p)模型的偏自相关系数是p阶截尾的。因此，可以通过识别AR(p)模型的偏自相关系数的个数，来确定AR(p)模型的阶数p，进而设定正确的模型形式，并通过具体的估计方法估计出AR(p)模型的参数。80其中：r1,r2,…,rp分别为序4.模型的识别与建立

我们引入了自相关系数和偏自相关系数这两个统计量来识别ARMA(p,q)模型的系数特点和模型的阶数。但是，在实际操作中，自相关系数和偏自相关系数是通过要识别序列的样本数据估计出来的，并且随着抽样的不同而不同，其估计值只能同理论上的大致趋势保持一致，并不能精确的相同。因此，在实际的模型识别中，自相关系数和偏自相关系数只能作为模型识别过程中的一个参考，并不能通过它们准确的识别模型的具体形式。具体的模型形式，还要通过自相关和偏自相关系数给出的信息，经过反复的试验及检验，最终挑选出各项统计指标均符合要求的模型形式。814.模型的识别与建立81

例5.6利用消费价格指数研究模型识别和建模本例将用ARMA模型模拟我国1983年1月～2007年8月的居民消费价格指数CPI（上年同月=100）的变化规律。实际上用后面学到的单位根检验可知CPI序列是一个非平稳的序列，但是它的一阶差分序列CPI是平稳的。首先观察CPI序列的自相关系数和偏自相关系数的图形:图5.6CPI序列的相关图82例5.6利用消费价格指数研究模型从图5.6可以看出CPI序列的自相关系数是拖尾的，偏自相关系数在2阶截尾。由前面的知识可以判断CPI序列基本满足AR(2)过程。建模得到t=(7.25)(3.29)R2=0.286D.W.=2.03图5.7左边是CPI序列的实际值和拟合值，右边是残差序列83从图5.6可以看出CPI序列的自相关系数是由图5.7可以观察到AR(2)模型比较好的拟合了CPI序列，回归方程的残差序列基本上也是一个零均值的平稳序列。从图5.8的回归方程的残差序列的自相关系数和偏自相关系数可以看到不存在序列相关。因此，在实际建模中，可以借助ARMA(p,q)模型去拟合一些具有平稳性的经济变量的变化规律。图5.8CPI序列方程残差序列的相关图84由图5.7可以观察到AR(2)模型比较好的

前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三个模型只适用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。

§5.3非平稳时间序列建模

85前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q

然而，对于一个非平稳时间序列而言，时间序列的某些数字特征是随着时间的变化而变化的。

非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同的，难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的随机性。但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平稳的时间序列。8686图5.9中国1978年～2006年的生产法GDP序列87图5.9中国1978年～2006年的生产法GDP序列8

1.确定性时间趋势

描述类似图5.9形式的非平稳经济时间序列有两种方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势

(5.3.1)

其中ut是平稳序列；a+t是线性趋势函数。这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式(5.3.1)中减去a+t，结果是一个平稳过程。注意到像图5.9一类的经济时间序列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势。

§5.3.1非平稳序列和单整881.确定性时间趋势§5.3.1非平稳序列一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：

(5.3.2)

t=1,2,,T同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果yt能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平稳序列，称为退势平稳过程。89一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定2.差分平稳过程非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑下式

(5.3.3)也可写成(5.3.4)

其中a是常数，ut是平稳序列，若ut

～i.i.d.N(0,

2)，且ut是一个白噪声序列。若令a=0，y0=0，则由式(5.3.2)生成的序列yt，有var(yt)=t

2（t

=

1,2,,T），显然违背了时间序列平稳性的假设。而式(5.3.3)的差分序列是含位移a的随机游走，说明yt的差分序列yt是平稳序列。902.差分平稳过程其中

实际上，在5.1节中讨论的回归方程的序列自相关问题暗含着残差序列是一个平稳序列。这是因为，如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未来信息的。91实际上，在5.1节中讨论的回归方程的

残差序列是一个非平稳序列的回归被称为伪回归，这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非平稳序列，说明了这种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存在的均衡关系，而仅仅是一种数字上的巧合而已。伪回归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能需要增加解释变量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分，以使残差序列达到平稳。一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序列，根据5.2节中的方法建模，并利用变量之间的相关信息，描述经济时间序列的变化规律。92残差序列是一个非平稳序列的回归被

3.单整

像前述yt这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下：

定义：如果序列yt，通过d次差分成为一个平稳序列，而这个序列差分d–1次时却不平稳，那么称序列yt为d阶单整序列，记为yt～I(d)。特别地，如果序列yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为yt～I(0)。933.单整93

单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面的随机游走过程，有一个单位根，所以是I(1)，同样，平稳序列是I(0)。一般而言，表示存量的数据，如以不变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为2阶单整I(2)；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据经常表现为1阶单整I(1)；而像利率、收益率等变化率的数据则经常表现为0阶单整I(0)。94单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面的随机

§5.3.2

非平稳序列的单位根检验

检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单位根检验方法：ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、ADF检验。

ADF检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验序列是否存在单位根，应用起来较为方便。

95§5.3.2非平稳序列

其中a是常数，t是线性趋势函数，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF检验

为说明DF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型

96其中a是常数，t是线性趋势函数，ut～

(1)如果-1<

<1，则yt平稳（或趋势平稳）。(2)如果=1，yt序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：显然yt的差分序列是平稳的。(3)如果

的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列是非平稳的。97(1)如果-1<<1，则

因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验

是否严格小于1来实现。也就是说：

原假设H0：

=1，备选假设H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

从方程两边同时减去yt-1得，其中：

=

-1。98因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验是

其中：

=

-1，所以原假设和备选假设可以改写为

可以通过最小二乘法得到的估计值，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显著性的t统计量。但是，Dickey-Fuller研究了这个t统计量在原假设下已经不再服从t分布，它依赖于回归的形式(是否引进了常数项和趋势项)和样本长度T

。99其中：=-1，所以原假设和备选假设可以改写为99Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平