《原子物理与量子力学》-第九章习题课课件

一力学量算符1证明下列等式（1）（2）HUST1APPLIEDPHYSICS提示2证明（练习）3求HUST2APPLIEDPHYSICS(1)HUST3APPLIEDPHYSICS5.1证明证明用数学归纳法5HUST5APPLIEDPHYSICS5.2证明(练习)5.3定义：算符导数对某一参数定义：HUST6APPLIEDPHYSICS5.4求算符导数已知求利用HUST7APPLIEDPHYSICS5.5证明Clauber定理证明令：则有：求导HUST8APPLIEDPHYSICS推出：得：HUST10APPLIEDPHYSICS证明一以一维为例束缚态波函数可归一化到1，且可取实函数。因此，波函数在坐标趋于无穷时趋于零。二力学量平均值1.证明在束缚态下动量的平均值为零HUST12APPLIEDPHYSICS2.证明Feynman-Hellmann（F-H）定理设体系的Hamilton量中含有某参量λ，En是的本征值，是归一的束缚态本征函数（n为一组量子数），则证对En求导数有：HUST14APPLIEDPHYSICS2.1求在一维谐振子本征态上势能的平均值[证毕]HUST15APPLIEDPHYSICS3.函数性质1.2.3.4.5.6.HUST16APPLIEDPHYSICS4.已知在对称有限深方势阱中某一本征态为其中求粒子对阱壁的平均力，在无限深势阱中结果如何？可将势阱表示为：HUST17APPLIEDPHYSICS此题还可用虚功原理求得对一侧阱壁的力HUST18APPLIEDPHYSICS1.粒子在势阱中运动，求偶宇称态以及其本征能量S方程为由于出现函数，波函数连续性条件被弱化对上式积分有：衔接公式为：HUST20APPLIEDPHYSICS令在x0处在x

处,0,束缚态波函数解为因此偶宇称态解为:代入衔接条件得到：HUST21APPLIEDPHYSICS2.粒子处在如下态上，求动量的取值及其几率其中(1)显然没有归一化，先进行展开（A为归一化系数）：即：HUST23APPLIEDPHYSICS可知归一化后为：再利用归一化公式：HUST24APPLIEDPHYSICS(3)动量取所有值的几率相同，此时取值几率的大小已经没有意义，仅需考虑相对几率。HUST26APPLIEDPHYSICS量子力学阶段性总结量子力学中的力学量由算符来表示。力学量算符应为线性厄密算符。1.力学量算符厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。当体系处于Ô的本征态Ψ时，力学量Ô取确定值，该值就是算符Ô在本征态Ψ中的本征值。所有本征值构成本征值谱，本征值谱为该力学量的所有可能测量值。Ô的本征值方程为HUST27APPLIEDPHYSICS定态S方程为:属于力学量算符Ĥ

的本征方程（特殊情况）一维无限深势阱一维谐振子三维氢原子HUST28APPLIEDPHYSICS2.展开假定与取值几率某力学量的本征态φn或φλ

组成完全系，所以体系任一状态可向其展开：若完全系为连续谱的本征态则：特别，若在Ĥ的本征态上展开有：HUST30APPLIEDPHYSICS|cn|2是在态中测得力学量为λn的几率，|cλ|2dλ是在态中测得力学量在λ→λ+dλ范围内的几率。归一化公式的等价性：若能归一化到１（束缚态）：若完全系为混合谱的本征态则（略去时间t）：HUST31APPLIEDPHYSICS若不能归一化到１（对特定的混合态）：归一化公式可写为：根据函数性质：HUST32APPLIEDPHYSICS对一般的混合态可采用如下归一化方法：平均值公式：也可使用公式：HUST33APPLIEDPHYSICS3.算符对易对易关系满足如下公式：

1)[Ô,Ô]=02)[Ô,C]=0

（这里C为常数）

3)[Ô,Û]=-[Û,Ô]4)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]

5)[Ô,ÛÊ]=Û[Ô,Ê]+[Ô,Û]Ê;[ÛÊ,Ô]=Û[Ê,Ô]+[Û,Ô]Ê6)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0升降算符HUST34APPLIEDPHYSICS定理：一组力学量算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。而在共同本