广西北海市2023届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题

第5页/共5页2023届北海市高三第一次模拟考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则等于（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，若z为纯虚数，则（）A.-3 B. C.3 D.03.在等差数列中，，，则（）A.19 B.18 C.17 D.204.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）A12800 B.24800 C.25600 D.512005.如图所示几何体是底面直径为2，高为3圆柱的上底面挖去半个球，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.6.如图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为的等腰三角形．如果在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为，则（）A. B. C. D.7.已知角满足，则（）A. B. C. D.8.已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，在上单调递减．若，则的解集为（）A. B.C. D.9.已知，若，恒成立，则正数m的最小值是（）A B.1 C. D.e10.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前81项的和为（）A.1640 B.1660 C.1680 D.170012.已知抛物线的焦点为F，抛物线上的任意一点P到焦点F的距离比到直线的距离少，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，直线，与直线分别相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则直线的斜率为（）A.1或 B.1或2 C.或2 D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量是单位向量，向量，且，则与的夹角为_____________．14.的展开式中的系数为_____________．15.如图，已知双曲线的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是_____________．16.如图，在体积为的三棱锥中，，，底面，则三棱锥外接球体积的最小值为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分、17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，求周长的最大值．18.如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．19.某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，学生完成数学作业的时间的范围是．其统计数据分组区间为，，，，．（1）求直方图中x的值；（2）以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于、两点，直线与椭圆相交于、两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．21.已知函数．（1）当时，求过点且和曲线相切的直线方程；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为