探究民间木工用具中的数学文化()

PAGEPAGE14目录摘要： 3关键词： 31引言 42犁中的数学知识 42.1犁的介绍 42.2犁的制作技艺 52.3犁挖开土层的厚度测量 62.4犁铧片的面积计算及意义 62.5犁的力学原理 82.6犁铧的力学分析 83坐凳的数学文化 93.1板凳叉墨的尺度确定 103.2梯形支架的稳定性设计 123.3板凳腿对地面的受力分析 134结束语 14参考文献 15探讨民间木工用具的数学文化摘要：中国数学文化历史悠久，并且被人们一直运用和传承。有历史记载的不计其数，其中最为著名的著作就有《九章算术》、《齐民要术》等。在这些著作里面中包含了各个领域的数学，有测量、几何、代数等方面的知识，木工用具中的数学文化也是其中的一部分。而本文所介绍的是民间常用的一些木工用具，在这些木工用具中特别选择了几种进行详细介绍，并探究了它们在制作和使用过程中用到的数学文化。这些知识中有些是我们想不到的，有些则是我们想到但不知道怎么用的，而它们一直存在在我们的身边，等着我们去发现和挖掘。对这些木工用具的探讨可以让我们了解以前的数学文化，了解他们对古代数学的认识、测量和计算等。这些数学知识看似简单，却意义深远。我们的教材中有这些知识，但我们却不知道怎么把它们运用到实际生活中，它们是先辈们无数汗水的结晶，我们应当传承和发扬。关键词：数学文化木工用具认识测量计算Abstract:mathematicalculturehasalonghistory,andhasbeenappliedandheritage.Countlesshistoricalrecords,includingthemostfamouswritingshave"LiuHui","QiMinYaoShu".LiuHui"invariousareasofmathematics,mathematicalknowledgeofmeasurement,geometry,algebra,woodworkingappliancescultureispartofthat.Describedinthisarticlearesomeofthecommonfolkwoodworkingappliances,thesethecarpentryappliancesinparticular,selectedseveraldetaileddescriptionandtoexploretheculturetheyareusedintheprocessofmakingandusingmathematical.Someofthisknowledgeisthatwecannotthinkoftheotherswethinkbutdonotknowhowtouse,buttheyhadbeeninexistencearoundus,waitingforustodiscoverandmining.Ofthesewoodworkingequipmentallowsustounderstandthemathematicalculture,understandingtheirancientmathematics,measurementandcalculation.Thesemathematicalknowledgemayseemsimple,butprofound.Thisknowledgeinourtextbooks,butwedonotknowhowtoapplythemtoreallife,theyarethecrystallizationofnumeroussweatofourancestors,weshouldinheritandcarryforward.

Keywords:mathematicalculturecarpentryutensilsunderstandingofmeasurementandcalculation1引言中国数学文化历史悠久，民间数学文化[1-5]更是源远流长，从人类文明历史开始就一直存在着，并且被人们一直运用和传承。有历史记载的不计其数，其中最为著名的著作就有《九章算术》[6]、《齐民要术》[7]。在《九章算术》中包含了各个领域的数学文化，包括几何学、代数学等。但记载木工方面的数学知识少之又少，流传下来的木工技术都是木工师傅们一代一代传下来的，基本没有书本记载。对此作者翻阅了一些书籍和找了一些木工师傅进行现场考究，下面的许多知识都是木工师傅们口头传授的（做了一些加工）。在民间至今还保存着许许多多古老的木工用具，如香粑车，牢盆，木工机床，耒耜，犁，板凳，风保，辗米机等都是经常使用到的木工用具，有些至今还在使用着，有些已经不再被使用了。不管它们对如今高科技发展迅速的社会是否有用，但在几十年以前，它们一直影响着人们的生活，并且在人们日常的生产生活中扮演着重要的角色。即使它们退出了历史舞台，但它们曾经伟大过。因为它们是先辈们通过无数次的实践和汗水才制作出来的，是他们智慧的结晶。它们都蕴含了许多数学和物理学等各方面的知识，对后辈的启发是深远的。木工对尺寸的要求特别高，错之毫厘差之千里在他们手里体现的淋漓尽致。如犁的犁渊和犁板镶嵌时，所开的口子必须完全吻合，否则难以镶嵌上，这充分体现出数学的严谨性。每一种木工用具都蕴含着丰富的数学知识，由于时间关系，本文特别对犁和凳子作了详细的研究。下面是对犁和凳子的研究。2犁中的数学知识2.1犁的介绍中国的犁是由耒耜发展演变而成。最初可能仍名“耒耜”，用牛牵引耒耜以后，才渐渐使犁与耒耜分开，从而有了“犁”的专名。犁大约出现于商朝，见于甲骨文的记载。早期的犁，形状简陋。在西周晚期至春秋时期出现铁犁，并开始用牛拉犁耕田。西汉出现了直辕犁，直辕犁只有犁头和扶手。而缺少耕牛的地区，则普遍使用“踏犁”。在四川、贵州等省的少数民族地区至今还存有踏犁的实物。踏犁也称“镵”、“脚犁”。使用时以足踏之，从而达到翻土的效果。汉代与魏晋南北朝的犁头都是由犁壁、犁铧、犁铧组成,犁壁的四种形状也基本相似。犁分为大、中、小三种类型:长、宽在30厘米左右以上为大型;长、宽20厘米左右以上为中型;长、宽在20厘米以下十几厘米以上的为小型。[8]图2-1唐代曲辕犁图2-2水田犁犁是一种耕地的农具,和架在牲畜上的套绳（在民间通常称作加担）连在一起使用的，通常系在一组牵引它的牲畜上（比如牛），有些地方也有用人力来驱动的，用来破碎和翻开较硬的土块并耕出槽沟，从而为播种做好准备。现存于民间的犁，如云贵地区农民所使用的犁，由犁渊，犁板，犁铧和套在牲畜上的加担组成，通常都是木制的，少数使用铁制的，但结构和耕作的方式都是一样的。下图中的这种犁是用来耕作旱地的，耕作田地的犁的结构又和他们不同（如上图中左边的图）。铁犁木犁加担图2-3犁和加担2.2犁的制作技艺犁是由犁渊，犁板，犁铧和套在牲畜上的加担组成，在制作过程中，对犁的制作有许多定量和定性的要求。制作时，犁渊的长度一定大于犁板的长度，木工师傅们通常所制作的犁渊比犁板大约长5寸，通常农村所使用的木制犁大都相似，犁渊长约1.45米，而犁板为1.30米。犁渊一般有倒座，斜座和正座三种，如图4：倒座斜座正座图2-4犁渊的结构犁渊与犁铧根部的距离选取：在制作木犁时，先确定犁渊和犁板的长度，选取时犁板尽量长些。因为犁渊于犁铧根部的距离要根据犁的深度来调整。犁的深度是指犁铧进入土层的深度（下图中），即犁翻开土的厚度。所以不同地区的土层所选取的深度不同，对犁铧质量和规格的要求也不同。图2-5犁深度测量的方法2.3犁挖开土层的厚度测量在测量时，用一根细线从犁铧的根部（图中的点C）拉到铧尖，得到铧长（CA），并在细线上做一个标记。固定C点不动，将细线拉到犁渊的顶部（图中的B点）得CB。木工师傅们把称作为犁的深度。深度的确定是决定犁是否好用的关键，它是根据牛的大小和种类来确定的，总的来说就是根据这条牛能承受多大的力，如果牛的力大一点，犁就做深点，这样翻开的土就要厚点，就更合适庄稼的播种。而犁渊与犁板镶嵌的部分（这里称为座子）也是根据犁的深度确定的。先确定做多深的犁以后，在根据深度调整犁渊的斜度，然后画出座子的范围。这样一个符合要求的犁就被做成了。一般旱地所使用的牛都是黄牛，根据黄牛所能承受的犁，在制作犁的时候木工师傅所选的深度一般为6.5寸（约为21.45厘米），而所使用的铧为1.2尺（约39.6厘米）。犁的制作和使用过程中所使用到的数学文化：倾角的计算代入上面的数据得=31.43度翻开的土层厚度对庄稼影响很大，是决定来年收成的关键因素，所以农民朋友在购买犁是对犁的深度都有一定的要求。看了深度合适了后还必须看铧舌子是否合称，因为铧舌子制作的不好就容易使犁铧脱落或镶嵌不上，而所有犁铧的尺寸都是一样的，下面对犁铧作了一些介绍和研究。2.4犁铧片的面积计算及意义为何要把犁铧的正面制作成弧面形而非直面形呢？这里已经无从考证了。对此作者从数学和力学两方面进行了研究。这里首先要提出一个问题，为何所有的犁铧都是弧形的而不是平滑的？弧面和直面相比，弧面可以减少犁铧的入土面积。对铧横截面的计算：设弧的半径分别为，AB=m图2-6图2-7如图2-6为犁铧的补全模型的横截面（铧最厚部分的横截面）而图2-7是将弧线a1换成直线AB,显然它们的面积。面积计算图2-8犁铧的面积计算则：*外面一个扇形的面积图中粗线部分的面积，先计算出此弧的半径，这里运用了垂径定理即：同理计算出圆心角，继而得到里面扇形的面积。两弧所形成的弯月形面积为：2.5犁的力学原理牛拉动犁时，作用在B点，方向为图中力F的方向。把犁F分解到水平方向(F1)和垂直方向(F2)。图中BM为添加的铺助线，且BM//CA。由先前所计算得到的=31.43度，则β=31.45-α。把犁看为一个整体，水平方向的力F1不变，把力分解到犁的各个位置上。图2-9对犁的受力分析有：牛所做的有用功W只与力有关。2.6犁铧的力学分析图2-10从左至右分别为犁铧的正面、侧面和背面（铧背）[8]图2-10为魏晋南北朝时犁铧的三视图，如今的犁铧的侧面大体成半月形状，又仅有半月的一半，犁铧的正面呈弧形状。铧背的中间厚两边薄，两边十分锋利，为何采用半月结构而不使用直线型结构。特以此点进行了力学分析。弧形犁铧（半月型犁铧）减少了进入土层中的犁铧体积（在2.4中已经对弧形犁铧的面积和直面犁铧的面积作了对比，体积的计算也和此相似）。这可以较大程度地省去了作用在犁上的牵引力，这里从加速度和阻力两方面对弧形犁铧和直面犁铧进行受力分析。图2-11犁铧的铧面为弧面（直面）时的侧面图图2-12犁铧的铧面为弧面（直面）时的侧面的模拟受力分析图如图2-12把耕地时的犁铧和土层模拟成小球和鞋面的模型（作一个逆向推理），某一时刻小球静止在鞋面的顶端，慢慢把手松开，小球自由滑落（两斜面的光滑程度一样）。（1）加速度（）[9]①当铧面为弧面时（为加速度方向与水平方向的夹角），利用作用力与反作用力，随着铧进入土层的体积增大，也不断增大，加速度也随着增大。这增加了耕地时的速度。②当铧面为直面时，始终保持不变，加速度也保持不变。（2）阻力（）[9]两种铧面的阻力均随犁铧进入土层的厚度的增加而程直线型增加的，而弧形铧面的阻力是随着犁铧厚度的增加而缓慢增加的，虽然两者都在增加，但弧面型犁铧的阻力的方向是一直在改变的；而直面时是一直按某一速度增加。前者有效控制了土层对犁的持久冲击力，更好地维持了犁的使用寿命，且耕地效果更好。犁铧的铧背呈拱形状，可以起到支撑作用，能减轻人控制犁时所使用的力，减少无用功。不管是古代的犁还是现代的犁，它们几乎都使用了相同的原理，制作原理基本没变。这小小的犁铧凝聚了无数华夏人民的智慧，它是他们智慧的外在表述形式，是他们智慧的结晶。小小的犁铧即用到的变化无穷的几何知识又用到了深邃的物理精髓。这些知识都是在长期实践中总结出来的，它即简洁又实用，让我们有事半功倍的效果，充分体现了实践是检验真理的唯一标准这一要义。下面让我们看一下另一种木工用具中的数学文化和其他方面的知识。3坐凳的数学文化在民间，坐凳分为很多种，有靠背的和没有靠背的。这里我介绍一下没有靠背的，这种坐凳我们又把它叫做板凳，即由一块木板、四根腿脚和四根锁脚镶嵌而成。板凳的来源可谓是历史悠久，在中国古代就一直存在着，从各位导演所制作的古装片中，不难看出每一个客栈所使用的坐凳大多是这种没有靠背的板凳。通常板凳是和八仙桌配套使用的，一般一张八仙桌配四张板凳。现在社会的民间摆酒席也是使用这种板凳和八仙桌配套使用，一般一张桌子坐八个人。可以说中国的民间社会中每家每户都有这种板凳，他已经成了人们赖以生存的工具。那么它是怎样制作的呢？让我们抗议下木工师傅们是怎样制作出一条板凳的。首先是叉墨的确定。图3-1板凳[10]3.1板凳叉墨的尺度确定木工师傅在制作板凳的时候是很讲究的，当你要求要做多宽的板凳时，他就按你所选定的宽度计算出“叉墨”，又通过叉墨计算出“锁脚”的长。板凳的高一般为一尺五高约为50公分（1公分=1厘米）。图3-2板凳的正面和侧面叉墨分为上叉墨()和下叉墨(AB),锁脚有两根它们分别是上图中的CD和EF.图3-3图3-4叉墨在确定叉墨的时候木工师傅们是这样做的，他们用木工铅笔画出板凳宽的中墨（中线），即图3-3中的虚线。然后以中线为基准向两边移动，然而所移动的长度是多少？木工师傅们在长期的经验积累中得到出这样一个结论。如果顾客要定制像下面两种规格的板凳：①订制4寸宽的板凳，那么就向中墨的两边各取6分。②订制5寸宽的板凳，那么就向中墨的两边各取8分。这样板凳的宽每增加1寸就向中墨的两边分别多取2分。向中墨两边所取的距离时随着宽度的增加而随着增加的，它们成线性关系。假设订制宽度为的板凳，则叉墨口的确定就向中线的两边各取。则可用下列函数式表示板凳的宽与向中线两边所取的长度之间的关系：将上面两种木工师傅们常用的两种尺寸代入函数得：（1寸=3.3厘米，1分=0.33厘米；这里已经把寸和分换成了厘米进行计算）解得函数式为：这样根据板凳的宽就很容易计算出叉墨上口的位置，而叉墨下口因为板凳腿部是垂直于地面而是倾斜于地面的，所以上口和下口又有一定差距。而下口的确定和锁脚长度的确定有着至关重要的联系，要计算锁脚的长就必需先计算出叉墨下口的长度。而叉墨下口的长度与板面的厚度相关。木工师傅所制作的板凳的板面厚度大都一致（约1.1寸），在长期的制作过程中，它们总结出下叉墨的长比上叉墨多4分。这是在板面厚度一定的情况下（即板凳厚为1.1寸时）。当板凳的厚不为1.1寸时，假设选厚为b的木板来制作板凳，即MN=，图3-5板凳上叉墨与下叉墨的简易图下叉墨:则：要确定就得先确定α的大小，而α就为板凳腿与地面的倾斜角。接着是对板凳脚的力学方面的介绍。3.2梯形支架的稳定性设计梯形支架的稳定性与永乐大钟梯形木架稳定性相同，中国古建筑[11-15]木架结构的“收分”形状设计对增大木架稳定性有很大作用,倾角α越小,稳定性越好。（在张双寅的永乐大钟梯形木架稳定性初探[16]已说明，如果读者感兴趣可以自行查阅）。但如果倾角α太小时会使得板凳腿向外的张力变得很大，当在上面施加压力时，就使得板凳腿与板凳面镶嵌的部分受到的张力过大，从而缩短板凳的使用寿命。现在探究为什么倾角α变小时，板凳腿向外的张力会变大。如图：

图3-6对板凳腿的受力分析将板凳腿受到的力F分解到竖直方向和水平方向,有：因为在0～1/2是一个单调递减函数，随着α的减小逐渐增大，当F一定时就逐渐变大，即张力就逐渐变大。所以为防止板凳损坏，α的值不易太小。而兼顾板凳的稳定性，板凳腿的制作又不能与板凳面垂直。经过长时间的生活实践和探究木工师傅们在制作板凳时所选的角一般在75度～85度之间。3.3板凳腿对地面的受力分析如果把板凳腿制作成与地面垂直时，板凳腿与地面的接触面就相当与一个点，所有的力都会集中在一个点上，而当我们把板凳腿制作成与地面倾斜时，板凳腿与地面的接触面就相当与一条线段，所有的力就会分解到这条线段上。由固体压强公式：倾斜时板凳腿对地面的压强小于垂直时板凳腿对地面的压强，从而减轻了地面的承受力。锁脚的位置大概在板凳腿离板面15～20公分（厘米）的位置，而锁脚的长的确定在木工师傅们经过长期的经验积累得到了这样的一个数学公式：①这样当AB和D点确定了以后锁脚CD也就被确定了，这里假设BD=。0.4的由来，这里为何木工师傅们会选用0.4这个数值来计算锁脚的长度。这里利用等腰梯形和等腰三角形的一些性质来分析，如图图3-7腿脚叉墨到锁脚的平面图由①可以推出：由图5可得：即：=0.4，=0.2=78.46（这里保留两位小数）而0.4的选取是木工师傅们在长期的制作过程中所总结出来的，然后由师傅传徒弟的模式一代代传下来。而这个值所算出的度数刚好在之前的75～85度之中。使得板凳向外的张力不是很大且兼顾了梯形的稳定性高于长方形的原理，达到了使用的最佳效果。在三角函数还没诞生的古代，智慧的中国人民用辛勤的劳动和思考，在长期的生活中总结出了无数科学的制作方法。直到今天也一直延续着他们智慧的结晶，造福着他们的子子孙孙。所有凳子的制作都如上述一般，确定好叉墨再确定锁脚，最后制作出整条板凳。其中所运用到的数学知识有：尺寸的测量，板凳的板面宽与叉墨的关系，锁脚的计算等。4结束语中国民间所展现的文化可谓是百家齐放，尤其是民间工艺，它在制作上不仅精湛，而且适用，外观上更是端庄得体，从苗族服饰和银饰上就可以得到体现。中国民间劳动人民的发明创造[17-18]更被人们津津乐道，每一件发明的诞生都源于实践，是在长期的实践过程中一点一滴地积累起来的，其实用性显而易见。如本文所介绍的犁和凳子，它们的实用性和观赏性都是很有价值的。除此之外如水车，风车，辗面机（古时把玉米辗碎的用具）等民间用具都是造福了无数中华儿女的发明，它们都蕴含了无数数学知识和数学原理。其中少数民族的民间文化[19]保存的最为完整，如侗族鼓楼、苗族服饰、银饰等都有各自的文化背景，是中国民间文化中不可缺少的一部分。它们蕴含的数学文化更是博大精深，建造侗族鼓楼的师傅们建造鼓楼时没有用到一颗钉子来固定木架，而建成了十几米甚至几十米高的鼓楼，且在几百年的风吹雨打中都没有倒塌。也许这里面的数学原理和物理原理，我们一辈子也研究不完，还要无数代的同行们一起研究探讨。而简单的木工用具[20]也蕴藏着丰富的知识，民间所使用的劳动工具大都看起来十分简洁，除去有用的构件就不会多添任何修饰的东西。但他们都是最轻巧最省力和最实用的，这些东西看起不是很美观，不过他们都以最实在的价值服务着劳动人民，给予他们最直接的帮助。对民间数学文化的探究能让我们感受到劳动人民的智慧和他们改造自然和创造奇迹的无限魅力，但有些文化正在慢慢地消失，也许再过几十年我们所熟知的很多文化已经不再出现在我们的后代的记忆中了。那些看似简单却很伟大的创造在科学的前进道路上慢慢地隐退，请让这些还出现在我们童年记忆中的文化继续发扬，让我们的后辈们去津津乐道他们先祖们留下来的宝贵文化。努力去探寻那些目前尚存或已经不在了，却时常出现在我们记忆中的文化，去挖掘他们的数学知识和物理原理，让它们更多地出现在我们的课本里[21]。作为一个数学学习者，