高三数学一轮复习 93 新人教B

..重点难点重点：①平面的概念与基本性质②空间直线、平面之间的各种位置关系难点：①证明点共线、线共点、点线共面等②异面直线的判定.知识归纳1．平面的基本性质(1)连接两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线．(2)基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面．基本性质3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有经过这个公共点的一条直线．.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．.2．空间两条直线(1)平行直线①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．②基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．③等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等．(2)异面直线既不相交，又不平行的两条直线叫做异面直线．.(3)垂直直线空间中如果两条直线相交于一点，或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．.3．直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点直线与平面相交和平行统称直线在平面外．4．平面与平面的位置关系(1)平行——没有公共点；(2)相交——有一条公共直线．.误区警示1．等角定理是求空间中两条直线所成角的基础，运用定理时，应注意“方向相同”时相等．2．同一平面内两条直线不平行则必相交，但在空间中则不然，平面几何中的一些结论在空间中未必成立．..一、共线与共面问题证明共线时，所共的线一般定位为两个平面的交线；证明共面问题时，一般先由已知条件确定一个平面，有平行直线的先用平行直线确定平面，再证共它元素在该平面内．二、反证法立体几何中的一些证明问题，常采用反证法证明．如异面直线、点共线、线共点、点线共面、线面平行、相交等．.[例1]已知三个平面两两相交，得三条交线，若其中有两条相交，则第三条也过它们的交点．分析：设α∩β＝c，α∩γ＝b，β∩γ＝a，b∩c＝P，只须证明P∈a，即证明P是β与γ的公共点．.证明：∵α∩β＝c，α∩γ＝b，β∩γ＝a，不妨设b与c相交于一点P，则∵P∈b，b⊂平面γ

∴点P∈平面γ又P∈c，c⊂平面β

∴点P∈平面β∴点P∈平面β∩平面γ又β∩γ＝a

∴点P∈直线a故a、b、c三条交线相交于一点P..(2010·海南三亚)对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两既不相交，也不平行；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A.[例2]如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEB＝CFFB＝21，CGGD＝31，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.(1)求AHHD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．.∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．设EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，.∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证M、N、K三点共线．.解析：∵PQ∩CB＝M，∴M∈PQ，M∈CB，∵PQ⊂平面PQR，CB⊂平面BCD，∴M∈平面PQR，M∈平面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的公共点，同理由PQ∩DB＝N，及RP∩DC＝K知，N，K也是平面PQR与平面BCD的公共点，∵平面PQR与平面BCD不重合，∴M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线．点评：证明共线问题：(1)可由两点连一条直线，再验证其它各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在两个平面的交线上..[例3]若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面分析：P与两条异面直线的位置关系不同，会引起过P所作直线与两异面直线l、m平行、垂直、相交、异面结果的变化，因此应区别不同位置情况加以讨论．.解析：若存在过P的直线a，a∥l，a∥m，则l∥m矛盾，∴A错；若点P与m确定的平面α∥l，则过P与l、m都相交的直线不存在，故C错；若过P点的平面α∥l，α∥m时，在α内存在无数条过P点的直线与l、m都异面，故D错．设a是与l、m都垂直相交的直线，P不在a上时，则过P点与a平行的直线有且仅有一条，P在a上时，仅有一条．答案：B.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l()A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交解析：若m、n都不与l相交，∵m⊂α，n⊂β，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、n中至少一条相交．答案：B..解析：如图，m是α的斜线，PA⊥α，l⊂α，l⊥AB，则l⊥m，α内所有与l平行的直线都垂直于m，故A错；即可知过m有且仅有一个平面PAB与α垂直，假设有两个平面都与α垂直，则这两个平面的交线m应与α垂直，与条件矛盾，∴B正确；.又l′⊄α，l′∥l，∴l′∥α，∵l⊥m，∴l′⊥m，∴C错；又在平面α内取不在直线AB上的一点D，过D可作平面与平面PAB平行，∴m∥β，∵平面PAB⊥α，∴平面β⊥α.答案：B点评：这种判定线面位置关系的问题，一般是结合条件作图分析，构造出符合条件的图形或反例来判断．.(2010·江西文，11)如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是().A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③解析：∵点M不在B1C1上，∴由B1C1与点M可确定唯一平面B1C1M，设此平面与AA1交点为N，则N为AA1中点，在平面ABB1A1内，B1N与BA必相交，设交点为Q，则QM与B1C1一定不平行，∴QM与AB、B1C1都相交，由作法知，这样的直线QM有且仅有一条，∴①真；∵AB∥A1B1，A1B1与B1C1相交确定一个平面A1B1C1D1，∵过点M作平面A1B1C1D1的垂线唯一，∴过M与AB、B1C1都垂直的直线唯一，∴②真；.过M作ME∥DC，交CC1于E，∵DC∥AB，∴ME∥AB；过M作MF∥A1D1，交AA1于F，∵A1D1∥B1C1，∴MF∥B1C1，∴AB与B1C1都与平面MEF平行，由作法知，这样的平面MEF有且仅有一个，故选C.答案：C..A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[答案]C.[解析]

∵MN∥PQ，∴MN∥平面ABC，∴MN∥AC.同理BD∥QM，∵MN⊥QM，∴AC⊥BD，∴A正确；∵AC∥MN，∴AC∥面PQMN，故B对；∵BD∥QM，∴PM与BD所成角即为∠PMQ，∴PM与BD成45°角，故D对．选C..2．(文)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，下列命题中正确的是()A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交C．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交[答案]C.[解析]如图(1)，正方体ABCD－A1B1C1D1中，a、b、c是三条棱所在直线满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错；同样在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错．.(理)如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A，B到l的距离分别是a和b.AB与α，β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影分别是m和n.若a>b，则()A．θ>φ，m>nB．θ>φ，m<nC．θ<φ，m<nD．θ<φ，m>n[答案]D.[解析]

∵α⊥β，AC⊥β，垂足为C，BD⊥α，垂足为D，由题设条件AC＝a，BD＝b，AB与平面α所成的角∠BAD＝θ，AB与平面β所成的角∠ABC＝φ，AB在α、β内的射影分别为AD＝m，BC＝n，∵a>b，∴φ>θ，m>n..[点评]在有公共斜边AB的两个直角三角形△ABC与△ABD中，其余两条直角边，若BC>BD，则一定有AC<AD，若BC<BD，则一定有AC>AD，其对的角也有相同的大小关系．.3．(2010·广东柳州铁一中高考冲刺)三棱柱ABC－A1B1C