刚体转动及角动量守恒

刚体转动及角动量守恒LwIw刚体的刚体的定轴转动定轴转动角动量守恒定律角动量守恒定律rigidbodyrotationaboutafixedaxislawofconservationofangularmomentum刚体运动的分类

刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）刚体运动的分类平动刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的相同，可当作质点处理。rrva定轴转动刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面运动

刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点运动

刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。一般运动

复杂的运动与平动的混合。定轴转动参量刚体转轴1.角位置q转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)pp(t+△t)qrqrqqrp参考方向Xpp刚体中任一点p刚体定轴转动的运动方程qq()t2.角位移qrrt0rqdq3.角速度wwtdqwdw0w常量静止匀角速()tww变角速4.角加速度btddwb变角加速b()tb常量b匀角加速b0匀角速,wdq转动方向用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量转动方程求导例题单位：qrqdqrad,w-1rads,b-2rads例已知求()tqp+05t21p+pt2w()tb()trad)(

50p

51p

52p

53pw1rads0213tsqrad100p150p03st

50p

p12b2rads0213tsp解法提要tdqwd05p+ptw()ttddwb-1rads()b()tp-2rads(),,匀变角速定轴转动积分求转动方程例已知求w()t()tq任意时刻的b()tkk0恒量且

t

=0

时w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程线量与角量的关系例bw定轴转动刚体在某时刻t

的瞬时角速度为，瞬时角加速度为，已知求刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P

的大小rPPrOOw

瞬时线速度v瞬时切向加速度atna瞬时法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2这是定轴转动中线量与角量的基本关系qdqddsds解法提要dsqdr公式对比质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt匀速直线运动ssvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt刚体转动定律引言刚体的转动定律刚体的转动定律质点的运动定律或刚体平动F

=

m

a惯性质量合外力合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量合外力矩外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M

=

r

×

F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩与合外力矩方向转动定律某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、刚体的转动定律转动惯量某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、刚体的转动定律Mbrrmirmii∑2()=与刚体性质及质量分布有关的物理量，用表示称为转动惯量IbIM刚体的转动定律即bMIMI刚体所获得的角加速度

的大小与刚体受到的

b合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动惯量的计算二、转动惯量及其计算Mb=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量是刚体转动惯性的量度II∑rmiriri2

与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求Ir为体积元

dV处的密度rVdVrmdIr2m2I的单位为m2kg分立质点的算例转动惯量的计算举例可视为分立质点结构的刚体m12m转轴Or1r2

若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则Irmiriri2∑m1r12+2mr22转轴O2mm1601l2lIrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2匀直细杆对端垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO质心新轴质心轴r,L平行移轴定理对新轴的转动惯量IO对质心轴的转动惯量ICr新轴对心轴的平移量例如：rL2时代入可得I端31mL2圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的I取半径为微宽为的窄环带的质量为质元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m球体算例匀质实心球对心轴的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量的迭加Id距为、半径为、微厚为Oyydr的薄圆盘的转动惯量为dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=m

R123I=m

L1转轴通过端点与棒垂直其它典型RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I

=

m

R

2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I

=2m

R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I

=(R1

+

R2

)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI

=

R

+

22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I

=2m

R3转动定律例题一三、转动定律应用选例bIM合外力矩应由各分力矩进行合成。合外力矩与合角加速度方向一致。bM在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。MMb与时刻对应，何时何时b则何时，M00b则何时M恒定恒定。例

匀直细杆一端为轴水平静止释放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0转动定律例题二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Ib

a=RbI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考虑有转动摩擦力矩

Mr

,则转动式为(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再联立求解。转动定律例题三例Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度b细绳线加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g转动定律例题四Rm1m2m例已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要对m1m2m分别应用和质点运动和刚体转动定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及

a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+m2+m2)222

(rad)gt求()tqq物体从静止开始运动时，滑轮的转动方程转动定律例题五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq从等倾角处静止释放两匀直细杆地面求两者瞬时角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根据1L1LLL2短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关转动动能刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系wOviviririrmirmi∑刚体中任一质元的速率rmirmiviviririw该质元的动能Erik21rmivi221rmiririw22对所有质元的动能求和EkErik21rmiriri2w2()∑转动惯量

IEk21Iw2得刚体转动动能公式一、转动动能力矩的功二、力矩的功和功率OqdjPrrdtF力

的元功FdAFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqddAMqd力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩的作用下，刚体由转到，q12qMM作的总功为dAAq12qMqd力矩的瞬时功率NAddtwMqddtM力矩的功算例求拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd2p()解法提要总摩擦力矩是Mrr各微环带摩擦元力矩的积分Mrd环带面积dsdr环带质量dmpr2dmdsd环带受摩擦力gmmdmfdr环带受摩擦力矩Mrdfdrr2mmgR2r2dr圆盘受总摩擦力矩MrMrd转一周摩擦力矩的总功A0p2Mrdq0R2mmgR2r2drA0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得例已知粗糙水平面mmmRO转轴d平放一圆盘刚体的动能定理三、刚体转动的动能定理回忆质点的动能定理mA21v21mv202刚体转动的动能定理？由

力矩的元功dAqdM转动定律bIMdAbIqdIwdtdqdIqdtdwdIwwd则AdAqdMq0qw0wIwwd2121202IwIw合外力矩的功转动动能的增量刚体转动的动能定理称为动能定理例题一例R1mqO2m匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴求圆盘下摆时质点的03q2m角速度wat、切向、法向加速度na的大小解法提要对1m2m系统外力矩的功系统转动动能增量w2I21m1其中I212R+m22RR2msing03得w2m2g()+m12m2R由转动定律得bIMcosR2mg03I32mg()+m12m2R则atbR32mg+m12m2,Rnaw22m2g+m12m2动能定理例题二解法提要外力矩作的总功gmA02pL2qdcosq从水平摆至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgmL2LmI231本题gL3利用vrw的关系还可算出此时杆上各点的线速度已知例水平位置静止释放求摆至垂直位置时杆的wGqw00wgmO？Lm,()匀直细杆一端为轴动能定理例题三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qdcos02paqa段，外力矩作负功b2Aqdcos02pqLgm132bb41A∑AiLgm合外力矩的功aGbG从水平摆至垂直由Aw212I0w212I得w2AI转轴对质心轴的位移

L4rIIc+mr2Lm2487代入得w247gL已知例求摆至垂直位置时杆的wabL1434LbGaGqw00w14gm34gmO水平位置静止释放含平动的转动问题四、含的功能原理质点平动刚体定轴转动+rE机械A外力A非保守内力矩力力矩(E动+)E势(E动+)E势00()E平动+E转动()E+E00平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例忽略摩擦A外力力矩0,A非保守内力矩力0E平动E转动E势,,,E0平动E0转动E势0,,I++m1v212ghm121w200gm1h0可求a,v,b,w或()hh0此外RmI212,av22()hh0,vwRabR,00势ghhv00vawbOm1m1mR质点的角动量质点的动量pmv质点对参考点O的角动量Lrmv大小Lmvrsinqr位矢O惯性系中某给定参考点qLvrqq取小于p的转向()质点对某参考点的角动量的定义Orsinqmv方向垂直于vr所决定的平面，指向r右螺旋叉乘mv的旋进方向。角动量

又称

动量矩质点的角动量质点的角动量引例角动量Lvrmsin大小Lmvrq质点对参考点的mO地球上的单摆OmqvrLmvr大小会变L变太阳系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必会变。靠什么判断？L变变变质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理导致角动量随时间变化的根本原因是什么？LddtL思路：分析与什么有关？+()由Lvrm则ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(两平行矢量的叉乘积为零)mdvdtmaF得ddtLrF角动量的时间变化率质点对参考点的mO位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘续4ddtLrF是力矩的矢量表达：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所决定的平面，由右螺旋法则定指向。Fdqq得质点对给定参考点的mOddtLrFM角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点的角动量定理

的微分形式

如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。例题ddtLrFMddtL大小MFrsinqOrmF

若忽略其它天体的作用力，太阳系中某一行星所受的合外力总是指向太阳。若以太阳为参考点，则合外力矩大小M0角动量的大小不随时间变化OmrGTq张力T通过点O力矩为零q重力的力矩G大小为Mmgrsinq等于合外力矩rsinq除了在通过平衡位置（）的一瞬间，角动量的时间变化率为零外，其它位置均不为零。q0定理的积分形式ddtLM由质点的角动量定理也可用积分形式表达,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0称为冲量矩角动量的增量这就是质点的角动量定理

的积分形式例如，单摆的角动量大小为L=

mvr,v为变量。

在t=0时从水平位置静止释放，初角动量大小为L0=mv0r=0；时刻t

下摆至铅垂位置，

角动量大小为L⊥

=

mv⊥r。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于

L-L0=mv⊥r=

mr2gr。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律ddtLM根据质点的角动量定理

rFM()若MrF0则ddtL0即L常矢量当质点所受的合外力对某参考点的力矩OmM为零时，质点对该点的角动量的时间变化率为ddtLL零，即质点对该点的角动量守恒。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律称为若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。质点系的角动量质点系的角动量定理与角动量守恒定律质点系的角动量定理与角动量守恒定律一、质点系的角动量m12m3mr13r2r3v2vv1质点系的角动量LSiLirSiimivi各质点对给定参考点的角动量的矢量和O惯性系中某给定参考点质点系的角动量定理二、质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式续12二、质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理的微分形式质点系所受的0tdtMtdLLL0LL0质点系的冲量矩角动量增量质点系的角动量定理的积分形式

若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。质点系的角动量守恒定律三、质点系的角动量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0则LL0或L恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系m12m,若m12m系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量m1v1R2m2vR0得2vv1不论体力强弱，两人等速上升。若m12m系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加

所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量mri其角动量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部质元的总角动量L∑Liw∑2mriri()wI对质量连续分布的刚体L∑LiwwIm2r()dLwI定轴转动刚体的角动量大小方向L与同绕向wLw或与沿轴同指向角动量刚体的角动量定理wbML1.刚体的角动量定理IItdd()dtdtddIw合外力矩角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）L112d2121dt2ttMLLLLIwIw冲量矩角动量的增量刚体的角动量定理刚体的角动量定理回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM刚体系统的角动量定理2.刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩∑MiLtdd∑i系统的总角动量的变化率1dt2ttM系统的总冲量矩系统的总角动量增量∑()1LLii2系统：轻绳mm1（忽略质量）总合外力矩对O的角动量mm1对O的角动量gm1RLmLm1Iw21mR2wm1vRmR2w∑Mi∑MiLtdd∑i由得gm1Rtdd同向(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtddwtddb而解得bgm121m(m1+)R例如wOvm1gm1mRR静止释放b求角加速度主要公式归纳刚体MLtdd（微分形式）（积分形式）刚体系统角动量定理∑MiLtdd∑i1dt2ttM∑()1LLii21dt2ttM1LL2刚体的归纳：IwL角动量关键式：IwLMLtdd是矢量式IwLMLtdd与质点平动对比mvpFtddp刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量定理由MLtdd刚体所受合外力矩M0