画法几何制图-平面的投影及相对位置

小结一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线)⒉投影面平行线（一斜两平行）水平线、正平线、侧平线在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。⒊投影面垂直线（一点两垂直）铅垂线、正垂线、侧垂线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。●aba(b)abbaaabbβγbaabba

⒈一般位置直线（三斜无实长）三个投影与各投影轴都倾斜。整理ppt二、直线上的点⒈从属性：点的投影在直线的同名投影上。⒉定比性：点分线段之比在投影中不变。AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”baabccaccbabcabc整理ppt三、两直线的相对位置⒈平行⒉相交⒊交叉

同面投影互相平行(注意投影面平行线)。

同面投影相交，交点是两直线的共有点，且符合点的投影特性。

同面投影可能相交，但“交点”不符合点的投影特性。所谓“交点”是两直线上一对重影点的投影。babcdcadabcdbacdkkbbcddcXaa3(4)34121(2)整理ppt四、相互垂直的两直线的投影特性⒈两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒉两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒊两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。直角投影定理acbabc.即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线。整理ppt1.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点●●●●●●abcabcabcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线*●●●●●●abcabc平面图形1、用几何元素表示平面直线及线外一点整理ppt2.迹线表示法

空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。平面P与H面的交线为水平迹线PH，与V面的交线为正面迹线PV，与W面的交线为侧面迹线PW。整理ppta.一般位置平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHb.特殊位置平面的迹线表示法QVPVPHVHPHQV整理ppt平行垂直倾斜实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影平面//投影面投影反映实形面平面⊥投影面投影积聚成直线平面∠投影面投影类似原平面整理ppt⒉各种位置平面的投影(三类七种情况)投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜铅垂面(⊥H)正垂面(⊥V)侧垂面(⊥W)水平面(//H)正平面(//V)侧平面(//W)整理pptVWHPPH

铅垂面投影特性：1.abc积聚为一条线，与OX、OYH的夹角反映、角；

2.abc、abc为ABC的类似形；ABCacbababbaccc1）投影面垂直面的投影整理pptVWHQQV

正垂面投影特性：1.abc积聚为一条线，与OX、OZ的夹角反映α、角；

2.abc、abc为ABC的类似形。αababbacccAcCabB整理pptVWHSWS

侧垂面投影特性：1、abc积聚为一条线，与OYW、OZ的夹角反映α、β角；2、abc、abc为

ABC的类似形。CabABcabbbaaαβccc整理pptabcacbcba类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2.另两个投影面上的投影有类似性。γβ是什么位置的平面？投影特征：一斜两类似整理pptVWH水平面投影特性：1.abc//OX、abc//OYW，分别积聚为直线;2.水平投影abc反映

ABC实形。CABabcbacabccabbbaacc2）投影面平行面的投影整理ppt正平面VWH投影特性：1.abc//OX、abc//OZ，分别积聚为直线；2.正面投影abc反映

ABC实形。

cabbacbcabacabcbcaCBA整理ppt投影特性：1.abc//OYY、abc//OZ，分别积聚为直线；2.侧平面投影abc反映

ABC实形。

侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa整理pptabcabcabc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影特征：两线一实形整理ppt一般位置平面投影特性

1.abc、abc、abc均为ABC的类似形；2.不反映、、

的真实角度。

abcbacababbaccbacCAB3）一般位置平面的投影（三类似）整理pptQHRV例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的正垂面P；过点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。a’b’abPVPH整理pptbac水平正垂侧垂投影面平行面:两线一实形投影面垂直面:一斜两类似整理ppt在平面内取直线的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈平面上取任意直线三、平面上的直线和点整理pptabcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有无数解。整理ppt例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。nmnm10cabcab唯一解！整理ppt⒉平面上取点若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。即：点在线上，则点在面上。整理ppt

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abca’bkcdk●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线(细实线)求解整理ppt例2已知ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。ddabcabcee点D不属于平面ABCddabcabcee点D属于平面ABC整理ppt例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。de求线先找两已知点，求点先找已知线。a’ab’c’cbfe’f’d’1’2’12整理pptbckadadbcadadbckbc例4：AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二找点B先求线DB，求线DB先找点K。利用平行四边形对边平行整理ppt例5：判断点K是否在平面上（另判断四点是否在同一平面*）点在面上点不在面上(*)点不在面上整理ppt例6：已知平面ABCD的边BC//H面，完成其正面投影。

b’c’11’a’d’abcdBC为水平线b’c’//OX分析：根据a’d’想办法求b’c’整理pptabcbac例7已知ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。mnnm正平线上的点Y坐标相同，水平线上的点Z坐标相同，交点K是既满足Y坐标又满足Z坐标的点。kk整理pptk’121’k例8：在△ABC内确定K点，使K点距H面为18mm，距V面为15mm.

分别画出：1.距H面18mm的水平线（Z相同=18）。2.距V面15mm的正平线（Y相同=15）。3.两条线的交点满足K点的条件。2’1815整理ppt例9：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm（△Z）、在点A之前20mm处（△Y）。（思考题）K在点A之下15mm的水平线上K在点A之前20mm的正平线上整理ppt四、圆的投影圆的投影特性：1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；(实形性)2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径φ；(积聚性)3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径AB的投影（ab）；短轴是与上述直径垂直的直径DE的投影(de)。(类似性)本节到此整理ppt椭圆的近似画法(四心法)：ABCDEF1234椭圆的画法

一节到此1.CF=CE=OA-OCO2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点，取对称点3.4。3.分别以1.2.3.4点为圆心，1A.3B.2C.4D为半径作弧，拼成近似椭圆。整理ppt四、相互垂直的两直线的投影特性⒈两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒉两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒊两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影不一定反映直角。直角投影定理acbabc.即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线。小结整理ppt一、各种位置平面的投影特性⒈一般位置平面（三类似）⒉投影面垂直面（一斜两类似）⒊投影面平行面（两线一实形）三个投影为边数相等的类似多边形。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。另外两个投影为类似多边形。

在其平行的投影面上的投影反映实形。另外两个投影积聚为直线。ababbacccabbbaacccbbaaccbac整理ppt二、平面上的点与直线(P27-30)⒈平面上的点一定位于平面内的某条直线上.⒉平面上的直线（求线先找已知点）

⑴过平面上的两个点。

⑵过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。ddabcabcee整理ppt1.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交（垂直）。一、平行问题直线与平面平行

平面与平面平行⒈直线与平面平行定理:

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必平行。即：将线面//，转化为线线//整理ppt⒈直线与平面平行

1.

当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影，如图。g’g//2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面的积聚性投影在同面投影上。特殊情况：整理ppt例1：过A点作平面平行于线段BC。b’bc’ca’aXOdd’作图：ad//bc，a′d′//b′c′故，BC//平面DAF分析：线线//，则线面//；过A点做直线AD//BC。f’f可过A点任意作直线AF整理pptn●●acbmabcmn有无数解分析:过M点作一条//平面内的任意直线的直线,即得.例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。

整理ppt正平线c●●bamabcmn唯一解n分析:在平面ABC内作一条正平线,MN//此正平线,即得.例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。

整理ppt①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef2.两平面平行//整理ppt平行举例例判断下列两平面是否平行不平行整理ppt直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交(实物)

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点，且交点是直线与平面可见与不可见的分界点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●判别两者之间的相互遮挡的可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个元素处于特殊位置的情况（直线特殊或者平面特殊）。二、相交问题(重点与难点)整理ppt（1）.直线与平面相交（平面为特殊位置）

VHPHPABCacbkNKM整理pptabcmncnbam1.空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。

①求交点

②判别可见性（V面）

由水平投影可知，KN段在平面ABC前，故正面投影上kn为可见。再根据:交点是可见与不可见的分界点，求得km上一段不可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)2.作图k●●2●1●抓住交点是共有点的特点例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性整理ppt（2）直线为特殊位置

整理pptkm(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置1.空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性（V面）用重影点判断

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●2.作图用面上取点法整理ppt⒉两平面相交(实物)

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点，交线是两平面可见与不可见的分界线。要讨论的问题：①

求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况（即两种情况：一个平面处于特殊，两个平面都处于特殊）。②判别两平面之间的相互遮挡的可见性。整理ppt（1）两平面都为特殊平面(书)整理ppt可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)1.空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线。①求交线②判别可见性（H面）2.作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●例1：求两平面的交线MN，并判别可见性。⑴整理pptVH（2）.其中一平面为特殊平面

FBACEHabcMNmnP整理pptbcfhaeabcefh1.空间及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与efh’的交点m、bc与e’fh的交点n,即为两平面的两个共有点的正面投影，故mn是MN的正面投影。①求交线②判别可见性(H面)

mnb’在e’f’h’上面，故水平投影mnb可见，其他可见性可根据投影特点得出。2.作图m●n●n●m●（2）.其中一平面为特殊平面（求交线MN）整理pptcdefababcdef⑶投影分析

N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n●m●k●m●k●互交KN后面的蓝色平面的投影整理ppt三、垂直问题1.直线与平面

与铅垂面垂直的直线为水平线,H面;与正垂面垂直的直线是正平线,V面.与铅垂线垂直的平面是水平面,V;与正垂线垂直的平面是正平面,H.1）平面特殊

⊥投影面垂直面的直线是投影面平行线，并在平面积聚性投影上反映直角；即2）直线特殊

⊥投影面垂直线的平面是投影面平行面，并在平面积聚性投影上反映直角；即作点A到平面CDEF的距离？（EFD呢？）整理ppt2.平面与平面垂直只介绍两个投影面垂直面相垂直：它们的交线为投影面的垂直线，且在积聚性的投影反映直角;pqq’P’下面举例整理ppt垂直

垂直不垂直

ed(e’)整理ppt1″k″1举例此点是AB和MN的重影点k′例求直线与平面的交点,并判别可见性.VW整理ppt1′(2′)123′(4′)34本节到此整理ppt小结：直线与平面及两平面的相对位置⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影。⒉两平面平行若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcde一、平行问题（P38）整理ppt二、相交问题⒈求直线与平面⑴平面特殊，利用交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可投在直线的另一个投影上；可见性直接判断。(P47)⑵直线特殊，利用交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用平面上取点的方法求解；可见性用重影点判断。(P49)km(n)b●ncbaac1(2)k●2●1●●abcmncnbamk●k●整理ppt⒉两平面相交⑵一平面特殊，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线；可见性可直接判断。(P54)⑴两平面特殊，交线为投影面的垂直线，可见性可直接判断(P52)。acdefcfdbeam(n)n●m●●bbacnlmcmalnfkfk整理ppt三、垂直问题1）.直线与投影面垂直面：与铅垂面相垂直的直线是水平线，与正垂面相垂直的是正平线，并在平面积聚的投影面上反映直角。1.直线与平面垂直2）.投影面垂直线与平面：与铅垂线垂直的是水平面，与正垂线垂直的是正平面，并在平面积聚的投影面上反映直角。垂直不垂直整理ppt2.两平面垂直

1）两个投影面垂直面相垂直：它们的交线为投影面的垂直线，