2022-2023学年广东省肇庆市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2022-2023学年广东省肇庆市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.当x→0时，x2是x-ln(1+x)的()．

A.较高阶的无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.较低阶的无穷小

2.A.-e2x-y

B.e2x-y

C.-2e2x-y

D.2e2x-y

3.设函数Y=e-x，则Y'等于()．A.A.-ex

B.ex

C.-e-xQ258

D.e-x

4.

5.

A.

B.

C.

D.

6.A.A.

B.

C.

D.

7.下列关系正确的是()。A.

B.

C.

D.

8.函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x0处可导的A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件

9.设函数在x=0处连续，则a等于()．A.A.0B.1/2C.1D.2

10.A.2x

B.3+2x

C.3

D.x2

11.

12.A.0B.1C.2D.-1

13.=（）。A.

B.

C.

D.

14.设f(x)=x3+x，则等于()。A.0

B.8

C.

D.

15.A.0B.1C.∞D.不存在但不是∞

16.

17.

18.

19.如图所示，在乎板和受拉螺栓之间垫上一个垫圈，可以提高()。

A.螺栓的拉伸强度B.螺栓的剪切强度C.螺栓的挤压强度D.平板的挤压强度

20.A.A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/3

二、填空题(20题)21.

22.

23.微分方程y'=ex的通解是________。

24.

25.设函数y=x2+sinx，则dy______．

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.设y=lnx，则y'=_________。

33.

34.设曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为______．

35.

36.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]的最大值为2，最小值为-29，又知a＞0,则a，b的取值为______.

37.

38.函数f(x)=x3-12x的极小值点x=_______.

39.

40.

三、计算题(20题)41.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

42.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

44.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

46.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

47.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

48.

49.证明：

50.

51.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

52.

53.

54.

55.

56.求微分方程的通解．

57.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

58.

59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

60.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

四、解答题(10题)61.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a，a2)处作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12．试求：(1)切点A的坐标((a，a2)．(2)过切点A的切线方程．

62.

63.若y=y(x)由方程y=x2+y2，求dy。

64.设z=x2y+2y2，求dz。

65.设z=z(x，y)由ez-z+xy=3所确定，求dz。

66.求微分方程y'-(1/x)y=-1的通解。

67.

68.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解。

69.求垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程．

70.

五、高等数学(0题)71.

=________。

六、解答题(0题)72.

确定a，b使得f(x)在x=0可导。

参考答案

1.C解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

由于

可知当x→0时，x2与x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小．故应选C．

2.C本题考查了二元函数的高阶偏导数的知识点。

3.C本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

由复合函数的导数链式法则知

可知应选C．

4.C

5.C本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

由复合函数的导数链式法则知

可知应选C．

6.D

7.B由不定积分的性质可知，故选B．

8.B由可导与连续的关系：“可导必定连续，连续不一定可导”可知，应选B。

9.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

由函数连续性的定义可知，若f(x)在x=0处连续，则有，由题设f(0)=a，

可知应有a=1，故应选C．

10.A由导数的基本公式及四则运算法则，有故选A．

11.C解析：

12.C

13.D

14.A本题考查的知识点为定积分的对称性质。由于所给定积分的积分区间为对称区间，被积函数f(x)=x3+x为连续的奇函数。由定积分的对称性质可知

可知应选A。

15.D本题考查了函数的极限的知识点。

16.A

17.D

18.B解析：

19.D

20.A

21.

22.(12)

23.v=ex+C

24.1/z本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点。

25.(2x+cosx)dx；本题考查的知识点为微分运算．

解法1利用dy=y'dx．由于y'=(x2+sinx)'=2x+cosx，

可知dy=(2x+cosx)dx．

解法2利用微分运算法则dy=d(x2+sinx)=dx2+dsinx=(2x+cosx)dx．

26.3(x－1)－(y＋2)＋z＝0(或3x-y＋z＝5)．

本题考查的知识点为平面与直线的方程．

由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程．

所给直线z的方向向量s＝(3，－1，1)．若所求平面π垂直于直线1，则平面π的法向量n∥s，不妨取n＝s＝(3，－1，1)．则由平面的点法式方程可知

3(x－1)－[y－(－2)]＋(z－0)＝0，

即3(x－1)－(y＋2)＋z＝0

为所求平面方程．

或写为3x-y＋z－5＝0．

上述两个结果都正确，前者3(x－1)－(y＋2)＋z＝0称为平面的点法式方程，而后者3x-y＋z－5＝0

称为平面的－般式方程．

27.由不定积分的基本公式及运算法则，有

28.

29.y=xe+Cy=xe+C解析：

30.e-6

31.4π

32.1/x

33.0

34.y=f(1)本题考查的知识点有两个：一是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y=f(x)过该点的切线方程为

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)．

由题意可知x0=1，且在(1，f(1))处曲线y=f(x)的切线平行于x轴，因此应有f'(x0)=0，故所求切线方程为

y=f(1)=0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y-f(x0)=f'(x)(x-x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y-f(1)=f'(x)(x-1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，一些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y-1=0．

35.0

36.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因为a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0,故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.

37.

本题考查的知识点为定积分计算．

可以利用变量替换，令u=2x，则du=2dx，当x=0时，a=0；当x=1时，u=2．因此

或利用凑微分法

本题中考生常在最后由于粗心而出现错误．如

这里中丢掉第二项．

38.22本题考查了函数的极值的知识点。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),当x=2或x=-2时,f'(x)=0,当x＜-2时,f'(x)＞0；当-2＜x＜2时,f'(x)＜0;当x＞2时,f’(x)＞0,因此x=2是极小值点，

39.

40.

41.由等价无穷小量的定义可知

42.

43.

列表：

说明

44.

45.

46.

47.由二重积分物理意义知

48.

49.

50.由一阶线性微分方程通解公式有

51.函数的定义域为

注意

52.

53.

54.

则

55.

56.

57.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

58.

59.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

60.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

61.由于y=x2，则y'=2x，曲线y=x2上过点A(a，a2)的切线方程为y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，曲线y=x2，其过点A(a，a2)的切线及x轴围成的平面图形的面积

由题设S=1/12，可得a=1，因此A点的坐标为(1，1)．过A点的切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1．解析：本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程。本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧。

62.本题考查的知识点为不定积分的换元积分运算．

【解题指导】

本题中出现的主要问题是不定积分运算丢掉任意常数C．

63.

64.本题考查的知识点为计算二元函数全微分。

65.

66.

67.

68.

69.由于直线2x-6y+1=0的斜率k=1/3，与其垂直的直线的斜率k1=-1/k=-3．对于y=x3+3x25，y'=3x2+6x．由题意应有3x2+6x=-3，因此x2+2x+1=0，x=-1，此时y=(-1)3+3(-1)2-5=-3．即切点为(-1，-3)．切线方程为y+3=-3(x+1)，或写为3x+y+6=0．本题考查的知识点为求曲线的切线方程．

求曲线y=f(x，y)的切线方程，通常要找出切点及函数在切点处的导数值．所给问题没有给出切点，因此依已给条件找出切点是首要