2022-2023学年安徽省马鞍山市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年安徽省马鞍山市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.若，则()。A.-1B.0C.1D.不存在

2.

3.

4.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解5.设y=exsinx，则y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

6.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

7.

8.设y=sin2x，则y'等于()．A.A.-cos2xB.cos2xC.-2cos2xD.2cos2x

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.A.A.

B.

C.

D.

17.

18.

19.

20.

二、填空题(20题)21.22.

23.

24.

25.

26.

27.28.方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解为___________.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.微分方程xy'=1的通解是_________。36.

37.设Ф(x)=∫0xln(1+t)dt，则Ф"(x)=________。38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.42.证明：43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.

46.

47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

48.

49.求微分方程的通解．

50.

51.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．52.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

53.

54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则55.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．56.求曲线在点(1，3)处的切线方程．57.58.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．59.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．60.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.

66.将展开为x的幂级数．67.

68.

69.

70.求曲线y=e-x、x=1，y轴与x轴所围成图形的面积A及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx。

五、高等数学(0题)71.

________.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D不存在。

2.D

3.A

4.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

5.C由莱布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

6.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性。

7.A

8.D本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则．

Y=sin2x，

则y'=cos(2x)·(2x)'=2cos2x．

可知应选D．

9.D

10.A解析：

11.A

12.B

13.A

14.C

15.A

16.C本题考查的知识点为微分运算．

因此选C．

17.D

18.A解析：

19.D

20.C

21.1本题考查了一阶导数的知识点。22.0

23.

24.e-2

25.2x

26.

27.

28.sinx·siny=Csinx·siny=C本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点.

由cosxsinydx+sinxcosydy=0,知sinydsinx+sinxdsiny=-0,即d(sinx·siny)=0,两边积分得sinx·siny=C,这就是方程的通解.

29.yf''(xy)+f'(x+y)+yf''(x+y)

30.00解析：

31.-2

32.

33.

34.35.y=lnx+C36.由可变上限积分求导公式可知37.用变上限积分公式(∫0xf(t)dt)"=f(x)，则Ф"(x)=ln(1+x)，Ф"(x)=。

38.

39.2

40.

41.

42.

43.

44.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

45.

46.

47.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％48.由一阶线性微分方程通解公式有

49.

50.

51.

52.

53.

则

54.由等价无穷小量的定义可知55.由二重积分物理意义知

56.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

57.

58.函数的定义域为

注意

59.

60.

列表：

说明

61.

62.

63.

64.

65.

解法1利用等价无穷小量代换．

解法2利用洛必达法则．

66.本题考查的知识点为将函数展开为x的幂级数．将函数展开为x的幂级数通常利用间接法．先将f(x)与标准展开