2022-2023学年江苏省常州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年江苏省常州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

4.A.A.x2+cosy

B.x2-cosy

C.x2+cosy+1

D.x2-cosy+1

5.

6.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

7.

8.下列命题中正确的有（）．A.A.

B.

C.

D.

9.平面的位置关系为()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合

10.()A.A.

B.

C.

D.

11.A.f(1)－f(0)

B.2[f(1)－f(0)]

C.2[f(2)－f(0)]

D.

12.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

13.设函数在x=0处连续，则等于()。A.2B.1/2C.1D.-2

14.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

15.当x→0时，2x+x2是x的A.A.等价无穷小B.较低阶无穷小C.较高阶无穷小D.同阶但不等价的无穷小

16.

17.A.A.

B.

C.

D.

18.

19.

20.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

二、填空题(20题)21.微分方程y'=0的通解为__________。

22.

23.

24.微分方程y''+6y'+13y=0的通解为______.25.26.27.28.

29.30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=________。38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．42.

43.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．45.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

46.

47.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

48.

49.

50.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

52.

53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则55.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．56.证明：57.58.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．59.求微分方程的通解．60.四、解答题(10题)61.62.将f(x)=1/3-x展开为(x+2)的幂级数，并指出其收敛区间。

63.

64.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。65.66.将展开为x的幂级数．

67.

68.

69.70.五、高等数学(0题)71.已知

则

=()。

A.

B.

C.

D.

六、解答题(0题)72.判定y=x-sinx在[0，2π]上的单调性。

参考答案

1.D

2.A解析：

3.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

4.A

5.A

6.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

7.B解析：

8.B本题考查的知识点为级数的性质．

可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．

9.A本题考查的知识点为两平面的关系。两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；

当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A。

10.A

11.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛顿－莱布尼茨公式．

可知应选D．

12.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

13.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。由于f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C。

14.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

15.D

16.A

17.B本题考查的知识点为级数收敛性的定义．

18.A

19.C

20.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此为常系数一阶线性齐次方程，其特征根为r=2，所以其通解为y=Ce2x，又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

21.y=C

22.

23.

解析：24.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程为r2+6r+13=0，特征根为所以微分方程的通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).

25.

26.

27.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

28.1/2

本题考查的知识点为计算二重积分．

其积分区域如图1—1阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿Y轴正向看，人口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知

29.

30.2本题考查了定积分的知识点。

31.2

32.1/e1/e解析：

33.

34.

35.3

36.5/237.本题考查的知识点为原函数的概念。

由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)=cosx。38.解析：

39.

40.2/32/3解析：

41.

列表：

说明

42.

43.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

44.

45.

46.由一阶线性微分方程通解公式有

47.

48.

49.

50.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

51.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

52.

则

53.由二重积分物理意义知

54.由等价无穷小量的定义可知55.函数的定义域为

注意

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.本题考查的知识点为将函数展开为x的幂级数．将函数展开为x的幂级数