有限元及工程软件第六章

第六章材料非线性问题的有限元法1第一节引言线弹性力学基本方程的特点：几何方程的位移和应变的关系是线性的；物理方程的应力和应变的关系是线性的；建立于变形前的平衡方程也是线性的。结构的变形使体系的受力状态发生显著变化，以致于不能用变形前的平衡方程分析，且位移和应变的关系不是线性的。几何非线性问题状态变化（接触）与状态相关的非线性问题，系统的刚度在不同状态下发生改变。2材料非线性的问题：由于加载历史、环境状况及加载时间总量等因素影响使得材料的应力-应变关系不符合胡克定律。不依赖于时间的弹塑性问题：当载荷作用时，材料立即变形，并不随时间变化而变化。依赖于时间的黏（弹、塑）性问题：载荷作用以后，材料立即变形，并随时间变化而变化。在载荷不变的条件下，由于材料黏性而继续增长的变形称为蠕变。在变形保持不变的条件下，由于材料的黏性而使应力衰减称为松弛。3第二节非线性方程组的解法线性方程组其中K为常数矩阵，可以直接求解。非线性方程组其中依赖于不能直接求解。为变形后的平衡方程。求解方法包括：迭代法、增量法和混合法。4一、直接迭代法假设有初始的试探解其中：重复上述步骤当误差小于规定的范围即可。假设的初始的试探解可以由线性问题得到。每次迭代需要计算和形成新的系数矩阵并进行求逆计算，这表明K可以表示成的函数，因此迭代法只适用于与变形历史无关的非线性问题。5直接迭代法的收敛性分析单自由度问题曲线是凸的，收敛曲线是凹的，不收敛其他的迭代方法：Newton-Raphson方法（N-R方法）修正的Newton-Raphson方法（mN-R方法）6载荷分为若干步：位移分成若干步：每两步之间增长量为增量。二、增量法增量法增量解法的一般做法是：假设第m步的载荷和位移；让载荷增加，再求解。如果每一步的增量足够小，解的收敛性可以得到保证7其中：表示载荷变化的量。切线矩阵求解常微分方程组的问题，可以利用Euler方法。其中：8以上的分析方法计算得到的是近似积分的结果，因此计算得到的位移不能完全满足微分方程，导致解的漂移。改进方法：在每一增量步中引入迭代法（如N-R法或mN-R法），直到满足误差要求，进行下一增量步的分析。Euler法求解增量方程和解的漂移9N-R法解增量方程mN-R法解增量方程对于mR-N方法求解非线性方程组时，收敛速度较慢，特别是对于结构分析时载荷趋近极限载荷或突然变软的情况下，收敛速度会很慢。为了加速收敛，可以采用一些方法，比较常用和有效的是Aitken法。该方法每隔一次迭代进行一次加速。10第三节材料非线性的本构关系一、材料弹塑性行为的描述弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去后存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情况下，应力和应变之间不再存在一一对应的关系，这是区别于非线性弹性的基本属性。11单调加载对于大多数材料存在屈服应力，应力低于屈服应力时，材料为弹性，而当应力超出屈服应力时，材料进入弹塑性状态。当应力达到屈服应力后，应力不再增加，而材料变形可以继续增加—理想弹塑性材料。当应力达到屈服应力后，再增加变形，应力必须增加—应变硬化材料。此时，应力和应变的关系

应变硬化材料还可以这样理解：如果在某个大于屈服应力的应力值下卸载，然后再加载，材料重新进入塑性的应力值将高于初始的屈服应力。12理想弹塑性硬化塑性反向加载对于硬化材料，在一个方向加载进入塑性后，在时卸载，并反向加载进入新的塑性，这时新的屈服应力在数值上与初始的屈服应力不等，也不等于卸载时的应力。13进入反向塑性后，应力和应变关系不同于正向，需根据实验重新确定。各向同性硬化运动（随动）硬化混合硬化14循环加载循环加载是指在上述反向进入塑性变形以后，载荷再反转进入正向，又一次达到新的屈服点和新的塑性变形，如此反复循环。加载分支：从载荷的反转点开始，沿此方向加载到新的屈服点，继续塑性变形到下一个载荷反转点。如：OA，AB，BC各为一载荷分支。实验表明，从第二个分支开始各分支的应力-应力关系是相似的。15

等幅应变控制的循环加载，材料呈现循环硬（软）化现象—材料硬（软）化性质增强，直至最后趋于稳定，进而得到稳定的循环应力-应变曲线。

不等幅应变控制的循环加载，材料呈现循环松弛—循环过程中平均应力不断减小，通常以趋于0为极限。16

不等幅应力控制的循环加载，材料呈现循环蠕变—循环过程中平均应变不断增加，这种性质又称为棘轮效应。17二、塑性力学的基本法则将上述单轴应力状态的基本概念推广到一般的应力状态，需要利用塑性力学的增量理论。初始屈服条件此条件规定材料开始塑性变形的应力状态。对于初始各向同性的材料，在一般应力状态下开始进入塑性流动的条件是其中：--应力张量；--应力空间的超曲面。18对于金属材料通常采用以下两种屈服条件。V.Mises条件其中：--屈服应力；--偏斜应力张量分量。其中：--平均应力；--Kronercker符号；19在三维主应力空间内，V.Ｍｉｓｅｓ屈服条件为几何意义是以为轴线的圆柱面。在过原点Ｏ，并垂直于直线的平面上，屈服函数的轨迹为半径为的圆周。而在的平面上，屈服函数的轨迹是一椭圆。20Tresca条件屈服条件为几何意义是以为轴线并内接V.Mises圆柱面的正六棱柱面。在平面上的屈服函数的轨迹为内接V.Mises屈服轨迹的正六边形。从数学角度分析，在棱边处的导数不存在，所以有限元分析通常采用V.Mises屈服条件。21流动法则流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量以及应力分量增量之间的关系。V.Mises流动法则假设塑性应变增量可由塑性势导出其中：--塑性应变增量分量；--待定的有限量，与材料的硬化法则有关；--塑性势函数，是应力状态和塑性应变的函数。22硬化法则硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数（加载函数或加载曲面）。其中：--硬化参数，依赖于变形历史。

理想弹塑性材料，因无硬化效应，后继屈服函数和初始屈服函数一致对于硬化材料，根据不同的硬化特征，采用不同的硬化法则：各向同性硬化法则、运动硬化法则、混合硬化法则。23各向同性硬化法则规定材料进入塑性后，加载曲面在各方向均匀向外扩张，而其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。如：时采用Mises屈服条件，后继屈服函数表示为其中：--现时的弹塑性应力；--等效塑性应变。24为等效塑性应变的函数，可由单轴拉伸试验确定。定义：--塑性模量（硬化系数）。它与弹性模量和切线模量的关系为--切线模量。注意：各向同性硬化主要适用于单调加载情况。如果用于卸载，只适用于反向屈服应力和反转点应力相等的材料。25运动硬化法则规定材料在进入塑性后，加载曲面在应力空间作刚体移动，其形状、大小和方位均不改变。后继屈服函数表示为--加载曲面中心在应力空间的移动张量。它与材料的硬化特性和变形历史有关。根据的规定不同，则Prager运动硬化法则：加载面中心移动沿现时应力状态的应力点的法线方向。Zeigler修正运动硬化法则：加载面中心移动沿连接中心和现时应力状态的方向。26混合硬化法则同时考虑各向同性硬化和运动硬化。塑性应变增量表示为--与各向同性硬化法则相关联；--与运动硬化法则相关联；M表示各向同性硬化特性在全部硬化中所占的比例--混合硬化参数。M为负表示材料软化情况。后继屈服函数为27加载、卸载准则该准则用以判断从一塑性状态出发是继续加载还是弹性卸载—决定是采用弹性本构关系还是弹塑性本构关系。继续塑性加载按弹性卸载理想塑性材料，塑性加载。对于硬化材料，保持塑性状态，但不发生新的塑性流动。28理想塑性材料，采用各向同性硬化法则采用硬化法则和混合硬化法则的材料其中：--移动张量的偏斜张量。29三、应力-应变关系三维空间问题对于各向同性硬化材料符合各向同性硬化法则的材料应力和应变增量的关系塑性矩阵30塑性矩阵为其中：31轴对称问题和平面应变问题轴对称问题平面应变问题32平面应力问题对于各向同性硬化材料其中：33四、温度对本构关系的影响随温度的升高，屈服极限降低；随温度的升高，材料硬化特性（）降低，并接近理想塑性；温度对弹性模量、泊松比、线膨胀系数等材料常数有影响；考虑蠕变效应。应变增量表示为考虑温度对材料常数的影响，则弹性柔度张量温度增量34--由应力变化引起的应变增量；--由弹性柔度张量引起的应变增量。温度应变增量蠕变应变增量线膨胀系数等效蠕变应变等效应力--等效应变率应力和弹性应变增量关系为35在考虑温度和蠕变的影响时，流动法则、硬化法则不变，屈服应力应看成温度的函数，所以对于混合硬化，后继屈服函数可以表示为应力和应变增量关系为其中36第四节弹塑性增量分析的有限元法一、弹塑性问题的增量方程将载荷分成若干个增量，针对于每一个载荷增量，将弹塑性方程线性化—将弹塑性分析这一非线性问题转化为一系列线性问题。假设t时刻的载荷、位移、应变和应力已知：--体力--面力--位移--应变--应力当时间有一增量时，载荷有一增量：37需要求解在时刻的位移、应力和应变平衡方程应变和位移的关系应力和应变的关系38边界条件其中：二、增量的有限元格式增量形式的虚位移原理：如果时刻的应力和体积载荷及边界载荷满足平衡方程，则该力系在满足几何协调条件的虚位移上的总虚功和为0。虚位移包括：在体积内在边界上39矩阵形式40首先将各单元内的位移增量表示成节点位移增量的插值形式利用几何关系代入由虚位移的任意性，得到有限元系统平衡方程系统的弹塑性刚度矩阵增量形式的最小势能原理不平衡力势能的变分41--位移增量向量；--不平衡力向量。以上三个量分别由单元对应量集成。外加载荷向量内力向量由一般情况下，将应力代入平衡方程，不满足，需利用迭代法直到找到满足平衡方程的应力状态。42弹塑性增量有限元分析在将加载过程划分为若干增量步，对于每一增量步包括三个算法步骤：线性化弹塑性本构关系，并形成线性有限元方程。求解有限元方程。积分本构方程决定新的应力状态，检查平衡条件，并决定是否进行新的迭代。43第五节ABAQUS中弹塑性问题的处理一、非线性问题的求解分析步、增量步和迭代步模拟计算的加载过程包含一步或多步骤分析。每一步包含分析过程选项、载荷选项和输出要求选项。在每一分析步中可以采用不同的载荷、边界条件、分析过程和输出要求。ABAQUS采用Newton-Raphson方法（N-R方法）求解非线性问题。44

增量步是分析的一部分。在非线性分析中将总载荷分解为许多小的增量。当初始增量的大小建议后，ABAQUS会自动选择接下来的增量大小。每个增量步结束时，结构处于近似平衡状态，结果可以写入重启动文件、数据文件和结果文件。迭代步是每一个增量步中找平衡解的一种尝试。如果模型在迭代后不是处于平衡状态，ABAQUS会进行另一轮迭代。随着每一次迭代，ABAQUS得到的解更接近于平衡状态。结构在一给定的迭代步之后不一定处于平衡状态，因此计算结果只在得到平衡解的迭代步中才可以实现。45对于非线性分析的每次迭代，ABAQUS形成模型的刚度矩阵并求解一组方程。从计算费用的角度看，这意味着每次迭代等价于一次完整的线性分析。同时，ABAQUS在每一收敛的增量步上保存结果，这样非线性分析的输出数据会很大。收敛性基于结构新的位形，ABAQUS形成新的刚度矩阵，利用新的刚度矩阵计算结构中的内部力，并计算与所施加载荷的差值，如果这个差值在每个自由度上均为零，结构处于平衡状态。在非线性分析中，很难使差值为零，所以ABAQUS将之与容许值比较，如果比容许值小，ABAQUS接受结构的新构形作为平衡结果。46对于收敛性问题，ABAQUS还要检查位移修正与总位移增量相比是否是一小量，若位移修正大于位移增量的1％，ABAQUA将重新进行迭代。只有上述两个收敛检查都得到满足，才称此载荷增量是收敛的。自动增量控制需要在每步模拟计算中给出第一增量的大小，只有对于很平缓的非线性问题才可以将所有载荷施加在一个增量步上。对于一载荷增量找到收敛解所需要的迭代步数会随着系统的非线性程度而变化。默认情况下，如果结果在16次迭代后仍不收敛或结果出现发散，ABAQUS放弃当前增量步，并将增量大小设置为先前值的25％。47如果增量步少于5次迭代时收敛，表明找到解很容易。如果在两个增量步中只需少于5次的迭代就可以得到收敛解，ABAQUS自动将增量大小提高50％。利用比较小的增量，找不到收敛解，ABAQUS会降低增量，但只允许在一个增量步中有5次增量减少，否则会中止分析。二、在ABAQUS中定义塑性在ABAQUS中必须用真实应力和真实应变定义塑性。然而大多数实验数据常常是用名义应力和名义应变给出。当前面积和原始面积的关系48真实应力名义应力名义应变真实应变和名义应变的关系真实应力与名义应力和名义应变的关系ABAQUS利用PLASTIC选项定义塑性。用连接给定点的一系列直线来逼近光滑的应力－应变曲线。在P