2022-2023学年广东省潮州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年广东省潮州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.设D={(x，y){|x2+y2≤a2，a＞0,y≥0)，在极坐标下二重积分(x2+y2)dxdy可以表示为()A.∫0πdθ∫0ar2dr

B.∫0πdθ∫0ar3dr

C.D.

2.在空间中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲线B.母线平行于Oy轴的抛物柱面C.母线平行于Oz轴的抛物柱面D.抛物面

3.

4.

5.A.

B.0

C.ln2

D.-ln2

6.A.A.2B.1C.0D.-1

7.

8.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.2

9.

10.A.A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.较低阶的无穷小量

11.A.连续且可导B.连续且不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续12.A.A.

B.

C.

D.

13.

14.A.

B.

C.e-x

D.

15.

16.下列运算中正确的有()A.A.

B.

C.

D.

17.

18.设()A.1B.-1C.0D.2

19.

20.

21.函数f(x)=lnz在区间[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

22.设函数Y=e-x，则Y'等于()．A.A.-ex

B.ex

C.-e-xQ258

D.e-x

23.微分方程y'＋x=0的通解（）。A.

B.

C.

D.

24.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

25.

26.

27.

28.

29.A.6YB.6XYC.3XD.3X^230.

31.设y=2x3，则dy=()

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

32.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

33.

34.

35.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

36.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

37.A.A.0B.1C.2D.不存在38.设函数为()．A.A.0B.1C.2D.不存在

39.

40.

二、填空题(50题)41.设y=e3x知，则y'_______。

42.

43.

44.

45.

46.设区域D由y轴，y=x，y=1所围成，则．47.48.

49.

50.

51.52.

53.

54.

55.

56.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。57.58.59.60.

61.

62.63.设，则f'(x)=______．

64.

65.设x2为f（x)的一个原函数，则f（x)=_____

66.设f(x)=x(x-1)，贝f'(1)=_________．

67.68.设Ф(x)=∫0xln(1+t)dt，则Ф"(x)=________。

69.

70.71.微分方程y'+9y=0的通解为______．

72.

73.74.

75.

76.设y=y(x)是由方程y+ey=x所确定的隐函数，则y'=_________.

77.

78.

79.

80.81.82.83.84.

85.

86.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。87.88.89.微分方程xy'=1的通解是_________。

90.

三、计算题(20题)91.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

92.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．93.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．94.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．95.96.求曲线在点(1，3)处的切线方程．97.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

98.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

99.

100.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

101.求微分方程的通解．

102.

103.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．104.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

105.

106.107.

108.证明：109.

110.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则四、解答题(10题)111.

112.113.用洛必达法则求极限：114.115.

116.

117.

118.

119.

120.

五、高等数学(0题)121.

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.B因为D：x2+y2≤a2，a＞0，y≥0，令则有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤π，所以(x2+y2)dxdy=∫0πdθ∫0ar2.rdr=∫0πdθ∫0ar3.rdr故选B。

2.C方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，故选C。

3.B

4.D解析：

5.A为初等函数，定义区间为，点x=1在该定义区间内，因此

故选A．

6.C

7.C

8.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

9.D

10.C本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

11.B

12.B本题考查的知识点为级数收敛性的定义．

13.A

14.A

15.C解析：

16.C本题考查的知识点为重要极限公式．

所给各极限与的形式相类似．注意到上述重要极限结构形式为

将四个选项与其对照。可以知道应该选C．

17.D

18.A

19.A

20.D

21.D由拉格朗日定理

22.C本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

由复合函数的导数链式法则知

可知应选C．

23.D所给方程为可分离变量方程．

24.C

25.B

26.C

27.A

28.B

29.D

30.B

31.B

32.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此为常系数一阶线性齐次方程，其特征根为r=2，所以其通解为y=Ce2x，又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

33.B

34.C

35.B

36.C

37.C本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．

38.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

39.A

40.D解析：41.3e3x

42.(-∞2)(-∞,2)解析：

43.(03)(0,3)解析：44.3yx3y-1

45.11解析：46.1/2本题考查的知识点为计算二重积分．其积分区域如图1-2阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1由二重积分的几何意义可知表示积分区域D的面积，而区域D为等腰直角三角形，面积为1/2，因此．

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正向看，入口曲线为y=x，作为积分下限；出口曲线为y=1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x=0，最大值为x=1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对Y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积分下限；出口曲线为x=y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y=0，最大值为y=1，因此

0≤y≤1．

可得知

47.

48.

本题考查的知识点为求直线的方程．

由于所求直线平行于已知直线1，可知两条直线的方向向量相同，由直线的标准式方程可知所求直线方程为

49.2xy(x+y)+3

50.11解析：

51.本题考查的知识点为定积分计算．

可以利用变量替换，令u=2x，则du=2dx，当x=0时，a=0；当x=1时，u=2．因此

或利用凑微分法

本题中考生常在最后由于粗心而出现错误．如

这里中丢掉第二项．52.0

53.0

54.x2x+3x+C本题考查了不定积分的知识点。

55.56.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。

57.In258.

59.ln(1+x)+C本题考查的知识点为换元积分法．

60.

61.1/x

62.

63.本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

64.x=-365.由原函数的概念可知

66.1

67.68.用变上限积分公式(∫0xf(t)dt)"=f(x)，则Ф"(x)=ln(1+x)，Ф"(x)=。

69.(12)

70.yf''(xy)+f'(x+y)+yf''(x+y)71.y=Ce-9x本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

分离变量

两端分别积分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

72.

73.

74.f(x)本题考查了导数的原函数的知识点。

75.

76.1/(1+ey)本题考查了隐函数的求导的知识点。

77.＞1

78.

79.80.本题考查的知识点为无穷小的性质。

81.

82.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给级数为缺项情形，

83.e-2本题考查了函数的极限的知识点，

84.

85.

86.

87.

88.89.y=lnx+C

90.1/21/2解析：

91.

92.

93.

列表：

说明

94.

95.96.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

97.

98.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

99.

100.需求规律为Q=100ep-2