高考数学 第八章 直线与圆的方程 第5节对称问题文课件 苏教版课件

第八章直线与圆的方程第五课时对称问题

考纲要求

1.了解中心对称、对称轴图形的几何特性.2.能利用几何图形的对称性解决简单的点关于点对称、点关于线对称、线关于点对称、线关于线对称的问题.知识梳理

一、中点坐标公式设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则线段AB的中点P（x0，y0）的坐标公式二、中心对称问题点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0

）.三、点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标.一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有可求出x′、y′.特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）；点P（x0，y0）关于直线x—y=0（即y=x）的对称点为P′（y0,x0）；点P（x0，y0）关于直线x+y=0（即y=-x）的对称点为P′（-y0,-x0）.四、曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：1.曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0.2.曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（x，y），则由上面第三点知，P与P′的坐标满足从中解出x0、y0，代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.五、两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论1.点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）.2.点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）.3.点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）.4.点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）.5.点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）.基础自测

1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为（）A.（a，b）B.（b，a）C.（－a，－b）D.（－b，－a）答案：B2.点A（4，0）关于直线l：5x+4y+21=0的对称点是（）A.（-6，8）B.（-8，-6）C.（-6，-8）D.（6，8）答案：C3.直线2x+3y+1=0关于直线x-y-1=0的对称直线方程为3x+2y=0.4.若一束光线从点A(5，3)处射出后，在直线x+y=1上的点B(－1，2)处反射，则反射光线所在的直线方程为.6x－y+8=0典例试解

求直线l1:2x—y+2=0关于定点M（1，2）对称的直线m的方程.思路分析:设直线m上的动点P（x，y）关于点M（1，2）的对称点为Q（x0，y0），则Q必在直线l1上，结合中点坐标公式即可求得.解析：设直线m上的动点P（x，y）关于点M（1，2）的对称点为Q（x0，y0），则Q必在直线l1上，线段PQ的中点M，由中点坐标公式得，，于是得x0=2－x,y0=4－y.因为点Q（x0，y0）在直线l1:2x-y+2=0上，所以2（2-x）-(4-y)+2=0,即2x—y-2=0.所以直线m的方程为2x-y-2=0.点评:因为已知直线上的点关于定点的对称点均在其对称直线上，所以关于定点对称的两条直线是互相平行的.1.已知点A（3，-4），求点A关于点P（-2，1）对称的点B.变式探究答案：B（-7，6）

求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.思路分析:由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：①若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；②若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；③a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.解析：解法一：由2x+y－4=0，3x+4y－1=0，解得a与l的交点E（3，-2），E点也在b上.在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0）由两点式得直线b的方程为即2x+11y+16=0解法二：（利用对称关系）设P(x,y)是所求对称直线b上一点，关于直线l的对称点为Q(x0,y0)即b的方程是2x+11y+16=0.解法三：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（∵点P、Q必须在直线l的两侧，故舍）.点评:由平面几何知识可知，若直线a、b关于直线l对称，则应有下列几何性质：（1）若a与b相交，则l是a、b交角的平分线；若a与l平行，则b∥l，且a、b与l距离相等；（2）点A在直线a上，则A点关于l的对称B一定在直线b上，并且AB⊥l,AB的中点在l上；（3）设P(x,y)是所求直线b上一点，则P为关于l的对称点P′的坐标适合a的方程.变式探究2.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.答案：29x-2y+33=0

光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程.思路分析:由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称转化为对称问题.解析：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，故所求直线方程为y－6=－2（x+2），即2x+y－2=0.变式探究3.一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1)（1）求入射光线所在的直线方程；（2）求这条光线从P到Q的长度.答案：（1）5x-4y+2=0

（2）课时升华

1.对称问题分为点（中心）对称及轴对称.点对称仅用中点坐标公式即可解决，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决.特别是关于原点对称、坐标轴对称、直线x±y=0对称都要熟练掌握.2.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.3.许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等.4.对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可以用求轨迹的思想——代入法和转移法来求