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第六章、解线性方程组的迭代法直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法

(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。§1.引言

迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。引入误差向量则可得由问题是在什么条件下所以等价于也即§2.基本迭代法设有其中A为非奇异矩阵将A分解成其中M是可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解由此,原问题就可转化为等价方程得:可构造迭代法Jacobi迭代法

Jacobid迭代的矩阵形式收敛与解故如果序列收敛,则收敛到解.B称迭代矩阵.高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法用矩阵可表示为:移项得又所以可逆也即选取M为A的下三角部分，即M=D－L，Ａ＝Ｍ－N，则Ａx=b可等价为（M－N)x=b联系上面已经得到的矩阵迭代形式,为统一起见,

记:A=D－L－U等价为其中或其中Ｇ即为G-S迭代法的迭代矩阵Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下：松弛(SOR)法SOR迭代法也可以看作是G-S迭代法的一种修正.假设已知:及首先利用G-S迭代计算预测值加权平均可得:即得再由和的前i-1个分量返回松弛法计算过程如下：引入误差向量则可得由等价于问题是在什么条件下所以等价于也即§3.迭代法的收敛性作:

注:

其中为矩阵的任一种算子范数(p244定理1)

注迭代法基本定理矩阵的谱半径定理2由此得P248的定理5(迭代法收敛的充分条件)定理5设有方程组和其定常迭代法如果B的某种算子范数则:1.迭代法收敛．即对任取的有２．３．４．证明(P252定理8)(特殊方程组迭代法的收敛性P249)定理6:(对角占优定理P250)如果矩阵A为严格对角占矩阵或为不可约弱对角占优矩阵,则A为非奇异矩阵.(P251定理7,9,10)<例同时G-S迭代法也收敛.如1．条件的矩阵，证明特别误差估计证明：2.3.1.返回注:返回证明:只证关于简单迭代法的两个，其余两个的证明类似.(1)设A具有严格对角优势，以下证ρ(BJ)<1反证法，设BJ有特征值μ,|μ|≥1.3.20所以μD+L+U也具有严格对角优势，所以|μD-L-U|≠0，所以|μ|≥1不可能成立，所以|μ|<1，即ρ(BJ)<1。3.21

与矛盾(2)A不可约且具有对角优势，证ρ(BJ)<1，由定理有A非奇异，又（否则A必有一行元素全为零，与A非奇矛盾）用反证法，设BJ有特征值μ,|μ|≥1.同（1）有(3.20),(3.21)。注意μD-L-U中非零元素的位置与A中非零元素的位置完全相同，而A

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