《对数函数》习题

《对数函数》习题（1）一、选择题1.【2022高考山东文3】函数的定义域为（）（A）（B）（C）（D）[答案]B2．三个数,，的大小顺序是（）A．＜＜ B．＜＜C．＜＜ D．＜＜[答案]D[解析]＞1＞＞0＞，故选D.3．设log（a－1）（2x－1）＞log（a－1）（x－1），则（）A．x＞1，a＞2 B．x＞1，a＞1C．x＞0，a＞2 D．x＜0,1＜a＜2[答案]A[解析]要使不等式有意义，应有x＞1，否定C、D.当x＞1时，2x－1＞x－1，因此a－1＞1，∴a＞2，故选A.4．若函数y＝log（a2－1）x在区间（0,1）内的函数值恒为正数，则a的取值范围是（）A．|a|＞1 B．|a|＞eq\r(2)C．|a|＜eq\r(2) D．1＜|a|＜eq\r(2)[答案]D[解析]∵0＜x＜1时y＞0，∴0＜a2－1＜1∴1＜a2＜2∴1＜|a|＜eq\r(2).5．函数y＝eq\r(log2x)＋eq\r(log1/2x)的定义域是（）A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）C．（0,1） D．{1}[答案]D[解析]∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,0<x≤1))，∴x＝1∴定义域为{1}．6．给出函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((\f(1,2))x(当x≥4时),f(x＋1)(当x<4时)))，则f（log23）＝（）A．－eq\f(23,8) \f(1,11)\f(1,19) \f(1,24)[答案]D[解析]∵3×22＜24＜3×23，∴2＋log23＜4＜3＋log23f（log23）＝f（log23＋1）＝f（log26）＝f（log26＋1）＝f（log212）＝f（log212＋1）＝f（log224）＝＝eq\f(1,24)，故选D.7．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝（eq\f(1,2)）x，x＞1}，则A∪B＝（）A．{y|0＜y＜eq\f(1,2)} B．{y|y＞0}C．∅ D．R[答案]B[解析]A＝{y|y＝log2x，x＞1}＝{y|y＞0}B＝{y|y＝（eq\f(1,2)）x，x＞1}＝{y|0＜y＜eq\f(1,2)}A∪B＝{y|y＞0}，故选B.8．函数y＝eq\f(1,\r(4x－3)))的定义域为（）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．（1，＋∞） \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪（1，＋∞）[答案]A[解析]（4x－3）＞0＝，∴0＜4x－3＜1，∴eq\f(3,4)＜x＜1.9．函数f（x）＝loga|x－1|在（0,1）上是减函数，那么f（x）在（1，＋∞）上（）A．递增且无最大值 B．递减且无最小值C．递增且有最大值 D．递减且有最小值[答案]A[解析]∵当0＜x＜1时，f（x）＝loga（1－x）在（0,1）上是减函数，∴a＞1，∴当x＞1时，f（x）＝loga（x－1）在（1，＋∞）上为增函数，且无最大值，故选A10．设a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a[答案]A[解析]a＝log3π＞log33＝1，b＝log2eq\r(3)＝eq\f(lg\r(3),lg2)＝eq\f(\f(1,2)lg3,lg2)＝eq\f(1,2)log23＞eq\f(1,2)log22＝eq\f(1,2)，又eq\f(1,2)log23＜eq\f(1,2)log24＝1，c＝log3eq\r(2)＝eq\f(lg\r(2),lg3)＝eq\f(\f(1,2)lg2,lg3)＝eq\f(1,2)·log32＜eq\f(1,2)log33＝eq\f(1,2).∴a＞b＞c.11．设a＝lge，b＝（lge）2，c＝lgeq\r(e)，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a[答案]B[解析]∵e＞eq\r(e)，∴lge＞lgeq\r(e)，∴a＞c，∵0＜lge＜lgeq\r(10)＝eq\f(1,2)，∴b＝（lge）2＜eq\f(1,2)lge＝lgeq\r(e)＝c，∴a＞c＞b.二、填空题12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝________.[答案]4[解析]由log2x≤2得0＜x≤4，A＝（0,4]；由A⊆B知a＞4，∴c＝4.13．若＞0，则x的取值范围是________；若logx3＜0，则x的取值范围是________．[答案]（0,1），（0,1）14．设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a,2a]上最大值与最小值之差为eq\f(1,2)，则a＝________.[答案]4[解析]由题意知，loga（2a）－logaa＝eq\f(1,2)，∴a＝4.15．用“＞”“＜”填空：（1）log3（x2＋4）________1；（2）logeq\f(1,2)（x2＋2）________0；（3）log56________log65；（4）log34________eq\f(4,3).[答案]（1）＞（2）＜（3）＞（4）＜[解析]（1）∵x2≥0，∴x2＋4＞3，∴log3（x2＋4）＞1.（2）同（1）知logeq\f(1,2)（x2＋2）＜0.（3）∵log56＞log55＝1，∴log65＜1，∴log56＞log65.（4）∵43＜34，∴4＜3eq\f(4,3)，因此log34＜eq\f(4,3).三、解答题16．求函数y＝log2（x2－6x＋5）的定义域和值域．[解析]由x2－6x＋5＞0得x＞5或x＜1因此y＝log2（x2－6x＋5）的定义域为（－∞，1）∪（5，＋∞）设y＝log2t，t＝x2－6x＋5∵x＞5或x＜1，∴t＞0，∴y∈（－∞，＋∞）因此y＝log2（x2－6x＋5）的值域为R.17．已知函数f（x）＝loga（ax－1）（a＞0且a≠1）（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的单调性；（3）x为何值时，函数值大于1.[解析]（1）f（x）＝loga（ax－1）有意义，应满足ax－1＞0即ax＞1当a＞1时，x＞0，当0＜a＜1时，x＜0因此，当a＞1时，函数f（x）的定义域为{x|x＞0}；0＜a＜1时，函数f（x）的定义域为{x|x＜0}．（2）当a＞1时y＝ax－1为增函数，因此y＝loga（ax－1）为增函数；当0＜a＜1时y＝ax－1为减函数，因此y＝loga（ax－1）为增函数综上所述，y＝loga（ax－1）为增函数．（3）a＞1时f（x）＞1即ax－1＞a∴ax＞a＋1∴x＞loga（a＋1）0＜a＜1时，f（x）＞1即0＜ax－1＜a∴1＜ax＜a＋1∴loga（a＋1）＜x＜0.*18.已知函数y＝logeq\f(1,2)（x2－ax－a）在区间（－∞，1－eq\r(3)）内是增函数，求实数a的取值范围．[解析]∵0＜eq\f(1,2)＜1，∴logeq\f(1,2)t为减函数，∴要使y＝logeq\f(1,2)（x2－ax－a）在（－∞，1－eq\r(3)）上