前馈神经网络

前馈神经网络第一页，共九十四页，2022年，8月28日前馈神经网络是神经网络中的一种典型的分层结构，信息从输入层进入网络后逐层向前传递至输出层。根据前馈网络中神经元转移函数、隐层数以及权值调整规则的不同，可以形成具有各种功能特点的神经网络。第二页，共九十四页，2022年，8月28日§3.1感知器§3.2

自适应线性单元§3.3BP网络§3.4BP网络变通结构§3.5BP网络学习算法的改进§3.6BP网络设计基础§3.7BP网络应用与设计实例§3.8小结第三页，共九十四页，2022年，8月28日1958年，美国心理学家FrankRosenblatt提出一种具有单层计算单元的神经网络，即感知器。感知器是模拟人的视觉接受环境信息，并由神经冲动进行信息传递。感知器研究中首次提出了自组织、自学习的思想，而且对说解决的问题存在着收敛算法，并能从数学上严格证明，因而对神经网络的研究起了非常重要的推动作用。单层感知器的结构和功能都很简单，以至于在解决实际问题是很少采用，但由于它在神经网络研究中具有重要意义，是研究其他网络的基础，而且较易学习和理解，适合于作为神经网络的起点。§3.1感知器第四页，共九十四页，2022年，8月28日3.1.1感知器模型j=1,2,…,m

第五页，共九十四页，2022年，8月28日净输入：输出：感知器模型第六页，共九十四页，2022年，8月28日(1)设输入向量X=(x1,x2)T输出：则由方程

wijx1+w2jx2-Tj=0

确定了二维平面上的一条分界线。ojx1-1x2感知器的功能第七页，共九十四页，2022年，8月28日感知器的功能（二维）第八页，共九十四页，2022年，8月28日wijx1+w2jx2–Tj=0 wijx1=Tj-w2jx2 x1=(Tj-w2jx2)/wij

=-(w2j/wij)x2+Tj/wij=a

x2+c

第九页，共九十四页，2022年，8月28日设输入向量X=(x1,x2,x3)T输出：则由方程

wijx1+w2jx2+w3j

–Tj=0确定了三维空间上的一个分界平面。

x2ojx1x3-1第十页，共九十四页，2022年，8月28日wijx1+w2jx2

+w3j

x3–Tj=0

x1=a

x2+b

x3+c

是什么？第十一页，共九十四页，2022年，8月28日设输入向量X=(x1,x2,…,xn)T则由方程

wijx1+w2jx2+…+wnj

–Tj=0确定了n维空间上的一个分界平面。

输出：wijx1+w2jx2+…+wnj

–Tj=0第十二页，共九十四页，2022年，8月28日

一个最简单的单计算节点感知器具有分类功能。其分类原理是将分类知识存储于感知器的权向量（包含了阈值）中，由权向量确定的分类判决界面将输入模式分为两类。感知器的功能第十三页，共九十四页，2022年，8月28日例用感知器实现逻辑“与”功能x1 x2 y0 0 00 1 01 0 01 1 1逻辑“与”真值表第十四页，共九十四页，2022年，8月28日例一用感知器实现逻辑“与”功能感知器结构w1x1+w2x2

-T=0

0.5x1+0.5x2-0.75=0第十五页，共九十四页，2022年，8月28日例用感知器实现逻辑“或”功能x1 x2 y0 0 00 1 11 0 11 1 1逻辑“或”真值表第十六页，共九十四页，2022年，8月28日用感知器实现逻辑“或”功能感知器结构

w1x1+w2x2-T=0

x1+x2-0.5=0第十七页，共九十四页，2022年，8月28日问题：能否用感知器实现“异或”功能？“异或”的真值表x1 x2 y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0第十八页，共九十四页，2022年，8月28日关键问题就是求第十九页，共九十四页，2022年，8月28日感知器的学习Perceptron(感知器)学习规则式中，当实际输出与期望值相同时，权值不需要调整。感知器学习规则代表一种有导师学习。第二十页，共九十四页，2022年，8月28日感知器学习规则的训练步骤：(1)对各权值w0j(0),w1j(0),┄,wnj(0)，j=1,2,…,m

（m为计算层的节点数）赋予较小的非零随机数；(2)输入样本对{Xp,dp}，其中Xp=(-1,x1p,x2p,…,xnp)，

dp为期望的输出向量（教师信号），上标p代表样本对的模式序号，设样本集中的样本总数为P，则p=1,2,…,P；感知器的学习第二十一页，共九十四页，2022年，8月28日(3)计算各节点的实际输出ojp(t)=sgn[WjT(t)Xp],j=1,2,...,m；(4)调整各节点对应的权值，Wj(t+1)=Wj(t)+η[djp-ojp(t)]Xp,

j=1,2,…,m,

其中为学习率，用于控制调整速度，太大会影响训练的稳定性，太小则使训练的收敛速度变慢，一般取0＜η≤1；(5)返回到步骤(2)输入下一对样本，周而复始直到对所有样本，感知器的实际输出与期望输出相等。感知器的学习第二十二页，共九十四页，2022年，8月28日感知器学习规则的训练步骤：（1）权值初始化（2）输入样本对（3）计算输出（4）根据感知器学习规则调整权值（5）返回到步骤(2)输入下一对样本，周而复始直到对所有样本，感知器的实际输出与期望输出相等。第二十三页，共九十四页，2022年，8月28日例单计算节点感知器，3个输入。给定3对训练样本对如下：X1=(-1，1，-2，0)T

d1=1 X2=(-1，0，1.5，-0.5)T

d2=1X3=(-1，-1，1，0.5)T

d3=1

设初始权向量W(0)=(0.5,1,-1,0)T，η=0.1。注意，输入向量中第一个分量x0恒等于-1，权向量中第一个分量为阈值，试根据以上学习规则训练该感知器。感知器的学习第二十四页，共九十四页，2022年，8月28日解：第一步输入X1，得

WT(0)X1=(0.5,1,-1,0)(-1,1,-2,0)T=2.5

o1(0)=sgn(2.5)=1

W(1)=W(0)+η[d1-o1(0)]X1=(0.5,1,-1,0)T+0.1(-1-1)(-1,1,-2,0)T=(0.7,0.8,-0.6,0)T感知器的学习第二十五页，共九十四页，2022年，8月28日第二步输入X2，得

WT(1)X2=(0.7,0.8,-0.6,0)(-1,0,1.5,-0.5)T=-1.6

o2(1)=sgn(-1.6)=-1

W(2)=W(1)+η[d2-o2(1)]X2=(0.7,0.8,-0.6,0)T+0.1[-1-(-1)](-1,0,1.5,-0.5)T=(0.7,0.8,-0.6,0)T由于d2=o2(1)，所以W(2)=W(1)。感知器的学习第二十六页，共九十四页，2022年，8月28日第三步输入X3，得

WT(2)X3=(0.7,0.8,-0.6,0)(-1,-1,1,0.5)T=-2.1

O3(2)=sgn(-2.1)=-1W(3)=W(2)+η[d3-o3(2)]X3=(0.7,0.8,-0.6,0)T+0.1[1-(-1)](-1,-1,1,0.5)T=(0.5,0.6,-0.4,0.1)T第四步返回到第一步，继续训练直到dp-op=0，p=1,2,3。感知器的学习第二十七页，共九十四页，2022年，8月28日单层感知器的局限性问题：能否用感知器解决如下问题？第二十八页，共九十四页，2022年，8月28日单层感知器的局限性无法解决“异或”问题只能解决线性可分问题“异或”的真值表x1 x2 y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0第二十九页，共九十四页，2022年，8月28日双层感知器“异或”问题分类例四用两计算层感知器解决“异或”问题。“异或”的真值表x1

x2 y1

y2

o00 11001 10 110 01 111 110多层感知器第三十页，共九十四页，2022年，8月28日给出具有一个具有单隐层的感知器，其中隐层的两个节点相当于两个独立的符号单元（但计算节点感知器）。这两个符号单元可分别在由x1、x2构成的平面上确定两条分界直线S1和S2，从而构成一个开放式凸域。显然通过适当调整两条直线的位置，可使两类线性不可分样本分别位于该开放式凸域内部和外部。此时对于隐节点1来说，直线S1下面的样本使其输出y1=1，而直线上面的样本使其输出为y2=1，而直线下面的样本使其输出为y2=0。当输入样本为o类时，其位置位于开放式凸域外部，即或者同时同时处在两直线S1、S2上方，使y1=0，y2=1；或者同时处在两直线S1、S2下方，使y1=1，y2=0。输出层节点一隐层两节点的输出y1、y2作为输入，其结构也相当于一个符号单元。如果经过训练，使其具有逻辑“与非”功能，则疑惑问题即可得到解决。根据“与非”逻辑，当隐节点输出为y1=1，y2=1时，该节点输出为o=0，当隐节点输出为y1=1，y2=0时，或y1=0，y2=1时，该节点输出o=1。可以看出单隐层感知器确实可以解决异或问题，因此具有解决线性不可分问题的能力。

第三十一页，共九十四页，2022年，8月28日多层感知器的提出单计算层感知器的局限性只能解决线性可分问题，而大量的分类问题是线性不可分的。解决的有效办法在输入层与输出层之间引入隐层作为输入模式的“内部表示”，将单计算层感知器变成多（计算）层感知器。采用非线性连续函数作为转移函数，使区域边界线的基本线素由直线变成曲线，从而使整个边界线变成连续光滑的曲线。第三十二页，共九十四页，2022年，8月28日多层感知器第三十三页，共九十四页，2022年，8月28日⊿Wj(t)=[dj-oj

(t)]X多层感知器具有不同隐层数的感知器的分类能力对比返回第三十四页，共九十四页，2022年，8月28日§3.2自适应线性单元1962年美国斯坦福大学教授Widrow提出一种自适应可调的神经网络，其基本构成单元称为自适应线性单元。这种自适应可调的神经网络主要适用于信号处理中的自适应滤波、预测和模式识别。返回第三十五页，共九十四页，2022年，8月28日§3.3BP网络误差反向传播神经网络，简称BP(BackPropagation)网络，是一种单向传播的多层前向网络。在模式识别、图像处理、系统辨识、函数拟合、优化计算、最优预测和自适应控制等领域有着较为广泛的应用。BP网络的示意图第三十六页，共九十四页，2022年，8月28日误差反向传播算法简称BP算法，其基本思想是最小二乘法。它采用梯度搜索技术，以期使网络的实际输出值与期望输出值的误差均方值为最小。BP算法的学习过程由正向传播和反向传播组成。在正向传播过程中，输入信息从输入层经隐含层逐层处理，并传向输出层，每层神经元（节点）的状态只影响下一层神经元的状态。如果在输出层不能得到期望输出，则转入反向传播，将误差信号沿原来的连接通路返回，通过修改各层神经元的权值，使误差信号最小。第三十七页，共九十四页，2022年，8月28日基于BP算法的多层前馈网络模型误差反传（BP）算法第三十八页，共九十四页，2022年，8月28日模型的数学表达输入向量：

X=(x1,x2,…,xi,…,xn)T隐层输出向量：

Y=(y1,y2,…,yj,…,ym)T输出层输出向量：

O=(o1,o2,…,ok,…,ol)T期望输出向量：d=(d1,d2,…,dk,…,dl)T输入层到隐层之间的权值矩阵：V=(V1,V2,…,Vj,…,Vm)隐层到输出层之间的权值矩阵：W=(W1,W2,…,Wk,…,Wl)各个变量之间如何建立联系，来描述整个网络？第三十九页，共九十四页，2022年，8月28日对于输出层：k=1,2,…,l(3.1)k=1,2,…,l(3.2)对于隐层：j=1,2,…,m(3.3)j=1,2,…,m(3.4)BP学习算法第四十页，共九十四页，2022年，8月28日双极性Sigmoid函数：单极性Sigmoid函数：(3.5)BP学习算法第四十一页，共九十四页，2022年，8月28日输出误差E定义：(3.6)将以上误差定义式展开至隐层：(3.7)BP学习算法第四十二页，共九十四页，2022年，8月28日进一步展开至输入层：(3.8)BP学习算法第四十三页，共九十四页，2022年，8月28日j=0,1,2,…,m;k=1,2,…,l(3.9a)i=0,1,2,…,n;j=1,2,…,m(3.9b)式中负号表示梯度下降，常数η∈(0,1)表示比例系数。在全部推导过程中，对输出层有j=0,1,2,…,m;k=1,2,…,l对隐层有i=0,1,2,…,n;j=1,2,…,mBP学习算法第四十四页，共九十四页，2022年，8月28日对于输出层，式(3.9a)可写为(3.10a)对隐层，式(3.9b)可写为(3.10b)对输出层和隐层各定义一个误差信号，令

(3.11a)(3.11b)BP学习算法第四十五页，共九十四页，2022年，8月28日综合应用式(3.2)和(3.11a)，可将式

(3.10a)的权值调整式改写为综合应用式(3.4)和(3.11b)，可将式

(3.10b)的权值调整式改写为(3.12a)（3.12b)可以看出，只要计算出式(3.12)中的误差信号o和y，权值调整量的计算推导即可完成。下面继续推导如何求误差信号o和y。第四十六页，共九十四页，2022年，8月28日对于输出层，o可展开为对于隐层，y可展开为下面求式(3.13)中网络误差对各层输出的偏导。(3.13a)（3.13b)第四十七页，共九十四页，2022年，8月28日对于输出层，利用式(3.6)：对于隐层，利用式(3.7)：（3.14a)可得：（3.14b)可得：第四十八页，共九十四页，2022年，8月28日将以上结果代入式(3.13)，并应用式(3.15)（3.15a)得到：（3.15b)至此两个误差信号的推导已完成。第四十九页，共九十四页，2022年，8月28日将式(3.15)代回到式(3.12)，得到三层前馈网的BP学习算法权值调整计算公式为：(3.16a)(3.16b)第五十页，共九十四页，2022年，8月28日第五十一页，共九十四页，2022年，8月28日BP学习算法流程：

1)初始化置所有权值为最小的随机数；

2)提供训练集给定输入向量和期望的目标输出向量；

3)计算实际输出计算隐含层、输出层各神经元输出；

4)计算目标值与实际输出的偏差；

5)计算局部梯度；

6)调整各层权重；

7)返回2)重复计算，直到误差满足要求为止。第五十二页，共九十四页，2022年，8月28日第五十三页，共九十四页，2022年，8月28日

在使用BP算法时，应注意的几个问题是：学习开始时，各隐层连接权系数的初值应以设置较小的随机数较为适宜。采用S型激发函数时，由于输出层各神经元的输出只能趋于1或0，不能达到1或0。在设置各训练样本时，期望的输出分量不能设置为1或0，以设置为0.9或0.1较为适宜。在学习开始阶段，选较大的值可以加快学习速率。学习接近优化区时，学习速率必须相当小，否则权值将产生振荡而不收敛。第五十四页，共九十四页，2022年，8月28日网络包含一个隐层，设输入层与隐层的权值wjk，隐层与输出层的权值wij初始值x1x2y000011101110BP网络权值学习举例样本：输入和期望输出激发函数学习速率第五十五页，共九十四页，2022年，8月28日迭代1次后的BP网络x1x2y实际输出误差0000.50.50110.51010.51100.5第五十六页，共九十四页，2022年，8月28日迭代8000次后的BP网络x1x2y实际输出误差0000.1190.1660010.7271010.7341100.415第五十七页，共九十四页，2022年，8月28日迭代11050次后的BP网络x1x2y实际输出误差0000.050.0080110.9411010.9411100.078返回第五十八页，共九十四页，2022年，8月28日标准连接(StandardConnection)

每个单元都与下一层的单元相连。一般三层网络能够解决大多数问题。如果需要选用一个以上的中间层，学习时间需要大大增加。§3.4BP网络变通结构第五十九页，共九十四页，2022年，8月28日跳跃连接（JumpConnections）Recurrent网络返回第六十页，共九十四页，2022年，8月28日多层前馈网的主要能力(1)非线性映射能力

多层前馈网能学习和存贮大量输入-输出模式映射关系，而无需事先了解描述这种映射关系的数学方程。只要能提供足够多的样本模式对供BP网络进行学习训练，它便能完成由n维输入空间到m维输出空间的非线性映射。第六十一页，共九十四页，2022年，8月28日多层前馈网的主要能力(2)泛化能力

当向网络输入训练时未曾见过的非样本数据时，网络也能完成由输入空间向输出空间的正确映射。这种能力称为多层前馈网的泛化能力。(3)容错能力

输入样本中带有较大的误差甚至个别错误对网络的输入输出规律影响很小。第六十二页，共九十四页，2022年，8月28日误差曲面与BP算法的局限性误差函数的可调整参数的个数nw等于各层权值数加上阈值数，即：误差E是nw+1维空间中一个形状极为复杂的曲面，该曲面上的每个点的“高度”对应于一个误差值，每个点的坐标向量对应着nw个权值，因此称这样的空间为误差的权空间。第六十三页，共九十四页，2022年，8月28日误差曲面的分布－－BP算法的局限性曲面的分布特点--------算法的局限性(1)存在平坦区域--------误差下降缓慢，影响收敛速度(2)存在多个极小点------易陷入局部最小点第六十四页，共九十四页，2022年，8月28日曲面分布特点1：存在平坦区域平坦－－误差的梯度变化小－－接近于零第六十五页，共九十四页，2022年，8月28日曲面分布特点2：存在多个极小点

误差梯度为零多数极小点都是局部极小，即使是全局极小往往也不是唯一的。单权值双权值第六十六页，共九十四页，2022年，8月28日曲面分布特点2：存在多个极小点BP算法－－－以误差梯度下降为权值调整原则误差曲面的这一特点－－－使之无法辨别极小点的性质导致的结果：因而训练经常陷入某个局部极小点而不能自拔，从而使训练无法收敛于给定误差。第六十七页，共九十四页，2022年，8月28日BP算法存在的问题BP网络收敛太慢影响了该网络在许多方面的实际应用。为此，许多人对BP网络的学习算法进行了广泛的研究，提出了许多改进的算法。学习时间过长泛化能力较低容易陷入局部最小而中断学习过程中间层单元个数、网络的大小如何确定（实际应用多采用三层网络）第六十八页，共九十四页，2022年，8月28日标准BP算法的改进误差曲面的形状－－固有的算法的作用是什么？调整权值，找到最优点那么如何更好地调整权值？利用算法使得权值在更新的过程中，‘走’合适的路径，比如跳出平坦区来提高收敛速度，跳出局部最小点等等如何操作？需要在进入平坦区或局部最小点时进行一些判断，通过改变某些参数来使得权值的调整更为合理。第六十九页，共九十四页，2022年，8月28日引入动量项标准BP算法实质上是一种简单的最速下降静态寻优算法，在修正w(t)时，只按t时刻的负梯度方式进行修正，而没有考虑以前积累的经验，即以前时刻的梯度方向，从而常使学习过程发生振荡，收敛缓慢。为此提出如下改进算法：增加动量项即从前一次权值调整量中提取出一部分迭代到本次权值调整量中。该方法所加入的动量项实质上相当于阻尼项，它减小了学习过程的振荡趋势，改善了收敛性，这是目前应用比较广泛的种改进算法。第七十页，共九十四页，2022年，8月28日变尺度法标准BP学习算法采用一阶梯度法，因而收敛较慢。若采用二阶梯度法，则改善收敛性。该算法为其中

虽然二阶梯度法具有比较好的收敛性，但需要计算E对w的二阶导数，计算量很大。一般不直接采用二阶梯度法，而采用变尺度法或共轭梯度法，它们具有如二阶梯度法收敛快的优点，而又无需直接计算二阶梯度。第七十一页，共九十四页，2022年，8月28日下面具体给出变尺度法的算法：第七十二页，共九十四页，2022年，8月28日变步长法

一阶梯度法寻优收敛较慢的一个重要原因是

η(学习率)不好选择。η选的太小，收敛太慢，若η选的太大，则有可能修正过头，导致振荡甚至发散。下面给出的变步长法即是针对这个问题而提出的。这里w表示某个连接权系数。第七十三页，共九十四页，2022年，8月28日

上面的算法说明，当连续两次迭代其梯度方法相同时，表明下降太慢，这时可使步长加倍；当连续两次迭代其梯度方向相反时，表明下降过头，这时可使步长减半。当需要引入动量项时，上述算法的第二项可修改为

在使用该算法时，由于步长在迭代过程中自适应调整，因此对于不同的连接权系数实际采用了不同的学习率，也就是说误差代价函数E在超曲面上在不同地方按照各自比较合理的步长向极小点逼近。返回第七十四页，共九十四页，2022年，8月28日一、训练样本集的准备1.输入输出量的选择2.输入量的提取与表示3.输出量的表示二、输入输出数据的归一化三、网络训练与测试§3.6BP网络设计基础第七十五页，共九十四页，2022年，8月28日1.输出量的选择输出量:代表系统要实现的功能目标系统的性能指标分类问题的类别归属非线性函数的函数值一、训练样本集的准备第七十六页，共九十四页，2022年，8月28日2.输入量的选择输入量选择的两条基本原则必须选择那些对输出影响大且能够检测或提取的变量各输入变量之间互不相关或相关性很小第七十七页，共九十四页，2022年，8月28日输入输出量的性质从输入、输出量的性质来看，可分为两类：一类是数值变量，一类是语言变量。数值变量的值是数值确定的连续量或离散量。语言变量是用自然语言表示的概念，其“语言值”是用自然语言表示的事物的各种属性。当选用语言变量作为网络的输入或输出变量时，需将其语言值转换为离散的数值量。第七十八页，共九十四页，2022年，8月28日输入量的提取与表示XC=(111100111)T

XI=(111100111)T

XT=(111100111)T(1)文字符号输入第七十九页，共九十四页，2022年，8月28日（2）曲线输入p=1,2,…,P第八十页，共九十四页，2022年，8月28日(3)函数自变量输入一般有几个输入量就设几个分量，1个输入分量对应1个输入层节点。(4)图象输入在这类应用中，一般先根据识别的具体目的从图象中提取一些有用的特征参数，再根据这些参数对输入的贡献进行筛选，这种特征提取属于图象处理的范畴。第八十一页，共九十四页，2022年，8月28日3.输出量的表示(1)“n中取1”表示法

“n中取1”是令输出向量的分量数等于类别数，输入样本被判为哪一类，对应的输出分量取1，其余n-1个分量全取0。例如，用0001、0010、0100和1000可分别表示优、良、中、差4个类别。(2)“n-1”表示法

如果用n-1个全为0的输出向量表示某个类别，则可以节省一个输出节点。例如，用000、001、010和100也可表示优、良、中、差4个类别。(3)数值表示法

对于渐进式的分类，可以将语言值转化为二值之间的数值表示。数值的选择要注意保持由小到大的渐进关系，并要根据实际意义拉开距离。第八十二页，共九十四页，2022年，8月28日二、输入输出数据的归一化归一化也称为或标准化，是指通过变换处理将网络的输入、输出数据限制在[0，1]或[-1，1]区间内。

进行归一化的主要原因：归一化的方法：第八十三页，共九十四页，2022年，8月28日进行归一化的主要原因：网络的各个输入数据常常具有不同的物理意义和不同的量纲，归一化给各输入分量以同等重要的地位；BP网的神经元均采用Sigmoid转移函数，变换后可防止因净输入的绝对值过大而使神经元输出饱和，继而使权值调整进入误差曲面的平坦区；Sigmoid转移函数的输出在0-1或-1-1之间。教师信号如不进行归一化处理，势必使数值大的输出分量绝对误差大，数值小的输出分量绝对误差小。第八十四页，共九十四页，2022年，8月28日归一化的方法：将输入输出数据变换为[0，1]区间的值常用以下变换式其中，xI代表输入或输出数据，xmin代表数据变化的最小值，xman代表数据的最大值。将输入输出数据变换为[-1，1]区间的值常用以下变换式其中