天津小李中学2023年高一数学理月考试卷含解析

天津小李中学2023年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体是（

）A．三棱锥

B．四棱锥 C．四棱台

D．三棱台参考答案：B2.已知函数，若，则实数的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.（5分）已知空间两个点A，B的坐标分别为A（1，2，2），B（2，﹣2，1），则|AB|=（） A． 18 B． 12 C． D． 参考答案：C考点： 空间两点间的距离公式．专题： 空间位置关系与距离．分析： 根据两点间的距离公式进行计算即可．解答： ∵点A，B的坐标分别为A（1，2，2），B（2，﹣2，1），∴|AB|==3．故选：C．点评： 本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是容易题目．4.已知函数满足对任意的都成立。若，则与的大小关系是

（

）

A．

B．

C．

D．不确定

参考答案：B5.已知方程的两根为，且，则

A．

B.

C.

D.参考答案：A6.如果等差数列中，，那么(

)A.

14

B.21

C.28

D.35参考答案：C略7.函数的零点个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】题目中条件：“函数的零点个数”转化为方程lnx=x2﹣2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x2﹣2x左右两式表示的函数图象即得．【解答】解：∵对于函数f（x）=lnx﹣x2+2x的零点个数∴转化为方程lnx=x2﹣2x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点个数为3故选D．．【点评】函数的图象直观地显示了函数的性质．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A、圆柱B、圆台C、棱柱D、棱台参考答案：B试题分析：由俯视图可知该几何体底面为两个圆，因此该几何体为圆台考点：几何体三视图9.已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a3+a9=6，则S11等于（）A．12B．33C．66D．11参考答案：B【考点】等差数列的前n项和；等差数列；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=6，代入求和公式可得答案．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=6，由求和公式可得S11===33，故选：B10.若,则下列不等式成立的是（）A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观。已知,则面积最小值为____参考答案：【分析】设，然后分别表示，利用正弦定理建立等式用表示，从而利用三角函数的性质得到的最小值，从而得到面积的最小值.【详解】因为，所以，显然，，设，则，且，则，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，则，因为，所以当时，取得最大值1，则的最小值为，所以面积最小值为，【点睛】本题主要考查了利用三角函数求解实际问题的最值，涉及到正弦定理的应用，属于难题.对于这类型题，关键是能够选取恰当的参数表示需求的量，从而建立相关的函数，利用函数的性质求解最值.12.已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是

．参考答案：3设铜球的半径为R，则，得R=3，故答案为3.

13.函数f（x）=loga（x﹣2）+1的图象经过定点．参考答案：（3，1）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】令y=loga（x﹣2）的真数值为1，求得自变量x的值即可求得答案．【解答】解：令x﹣2=1，得x=3，∵f（3）=loga（3﹣2）+1=1，∴函数f（x）=loga（x﹣2）+1的图象经过定点（3，1）．故答案为：（3，1）．14.若函数只有一个零点，则实数k=

．参考答案：15.方程的实数解的个数为

．参考答案：2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将方程变为2﹣x=，方程的根即相关的两个函数的交点的横坐标，故判断方程实数解的个数的问题可以转化求两个函数y=2﹣x与y=的两个函数的交点个数的问题，至此解题方法已明．【解答】解：方程变为2﹣x=，令y=2﹣x与y=，作出两函数的图象如图，两个函数在（0，+∞）有两个交点，故方程有两个根．故应填

2．16.函数的单调递减区间为

．参考答案：(3,+∞)

17.在ABC中，sinA：sinB：sinC=2：5：6，则cosC的值为_______

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．参考答案：（Ⅰ）an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7试题分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，从而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知an=3﹣2n，所以Sn==2n﹣n2，进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7为所求．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．19.设y1=loga（3x+1），y2=loga（﹣3x），其中a＞0且a≠1．（Ⅰ）若y1=y2，求x的值；

（Ⅱ）若y1＞y2，求x的取值范围．参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由y1=y2，即loga（3x+1）=loga（﹣3x），可得3x+1=﹣3x，由此求得x的值，检验可得结论．（2）分当0＜a＜1时、和当a＞1时两种情况，分别利用对数函数的定义域及单调性，化为与之等价的不等式组，从而求得原不等式的解集．【解答】解：（1）∵y1=y2，即loga（3x+1）=loga（﹣3x），∴3x+1=﹣3x，解得，经检验3x+1＞0，﹣3x＞0，所以，x=﹣是所求的值．

（2）当0＜a＜1时，∵y1＞y2，即loga（3x+1）＞loga（﹣3x），∴解得．当a＞1时，∵y1＞y2，即loga（3x+1）＞loga（﹣3x），∴解得．综上，当0＜a＜1时，；当a＞1时，．【点评】本题主要考查对数方程、对数不等式的解法，体现了转化及分类讨论的数学思想，属于中档题．20.（本小题12分）已知函数是奇函数，且满足(1)求实数、的值；（2）试证明函数在区间单调递减，在区间单调递增；（3）是否存在实数同时满足以下两个条件：①不等式对恒成立；②方程在上有解．若存在，试求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案：解：(Ⅰ)由得，解得．由为奇函数，得对恒成立，即，所以．…3分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，．任取，且，，∵，∴，，，∴，所以，函数在区间单调递减．

类似地，可证在区间单调递增．

…4分

（Ⅲ）对于条件①：由（Ⅱ）可知函数在上有最小值故若对恒成立，则需，则，对于条件②：由（Ⅱ）可知函数在单调递增，在单调递减，略21.已知函数f（x）对一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给与证明；（2）若f（﹣3）=a，试用a表示f（12）．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）利用赋值法，即可判断、证明f（x）是奇函数；（2）令x=y，得f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），即可用a表示f（12）．【解答】解：（1）令x=y=0，则f（0）=0，令y=﹣x，即x+y=0，则f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，则f（x）=﹣f（﹣x）所以f（x）是奇函数．（2）∵f