北师大版九年级数学下册期末检测题

九年级数学下册期末检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．化简eq\r(1＋tan230°－2tan30°)的结果为(A)A．1－eq\f(\r(3),3) B．1－eq\r(3) C.eq\f(\r(3),3)－1 D．12．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为(C)A．2eq\r(5)cm B．4eq\r(5)cmC．2eq\r(5)cm或4eq\r(5)cm D．2eq\r(3)cm或4eq\r(3)cm3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，则BC的长度为(C)A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm4．已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.有下列说法：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．其中正确的有(A)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．(泰安中考)在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是(C)(2019·烟台)如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E，连接AC，BC，若AD＝eq\r(3)，CE＝3，则eq\o(AC,\s\up8(︵))的长为(D)A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)πC.eq\f(\r(3),2)π D.eq\f(2\r(3),3)π二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知(tanA－eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanB－\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，则△ABC的形状是直角三角形．8．将二次函数y＝x2＋bx＋c向左平移3个单位，向下平移1个单位，正好得到抛物线y＝x2，则b＋c＝4.9．(2019·台州)如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．10．(2019·黄石)一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为15eq\r(3)海里．11．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝eq\f(4\r(3),3)，那么AD＝__4__．12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，下列结论中：①abc<0；②9a－3b＋c<0；③b2－4ac>0；④a>b.正确的结论是②③④(只填序号)．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．计算：(1)sin260°－cos60°＋tan45°； (2)eq\f(sin30°＋cos245°,cos60°＋sin45°).解：原式＝eq\f(5,4). 解：原式＝2(eq\r(2)－1)．14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长(结果保留根号)．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tanA＝tan30°＝eq\f(BC,AB)，即eq\f(BC,BC＋4)＝eq\f(\r(3),3)，解得BC＝2(eq\r(3)＋1)．15．如图，AB与DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC∥DE.求证：(1)eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵))；(2)BE＝EC.证明：(1)连接OC，∵AC∥DE，∴∠AOD＝∠OAC，∠COE＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠AOD＝∠COE，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵)).(2)∵∠AOD＝∠BOE，∠AOD＝∠COE，∴∠BOE＝∠COE，∴BE＝CE.16．下表给出了代数式－x2＋bx＋c与x的一些对应值：x…－2－10123…－x2＋bx＋c…5nc2－3－10…(1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值；(2)设y＝－x2＋bx＋c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．解：(1)根据表格数据可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4－2b＋c＝5，,－1＋b＋c＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝5.))∴－x2＋bx＋c＝－x2－2x＋5.当x＝－1时，－x2－2x＋5＝6，即n＝6.(2)根据表中数据得，当0≤x≤2时，在x＝0处y的值最大，y的最大值是5.17．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点F，若eq\o(CF,\s\up8(︵))的长为eq\f(2π,3).(1)求圆心角∠CBF的度数；(2)求图中阴影部分的面积．(结果保留根号及π的形式)解：(1)由弧长公式得eq\f(nπ·2,180)＝eq\f(2π,3)，解得n＝60，即∠CBF＝60°.(2)∠ABF＝90°－∠CBF＝90°－60°＝30°，∴AF＝eq\f(1,2)BF＝1，∴DF＝1，AB＝eq\r(3)，S阴影＝S梯形BCDF－S扇形BCF＝eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(3)－eq\f(60π·22,360)＝eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3).四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．已知抛物线y＝x2＋bx－3(b是常数)经过点A(－1，0)．(1)求该抛物线的表达式和顶点坐标；(2)P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′.当点P′落在该抛物线上时，求m的值．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx－3经过点A(－1，0)，∴0＝1－b－3，解得b＝－2，∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)．(2)由点P(m，t)在抛物线y＝x2－2x－3上，得t＝m2－2m－3.又点P′和点P关于原点对称，∴P′(－m，－t)，∵点P′落在抛物线y＝x2－2x－3上，∴－t＝(－m)2－2(－m)－3，即t＝－m2－2m＋3.∴m2－2m－3＝－m2－2m＋3.解得m1＝eq\r(3)，m2＝－eq\r(3).19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．(1)证明：连接AE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)解：连接DE.∵四边形ACED为⊙O的内接四边形，∴∠BED＝∠BAC.∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴eq\f(BE,BA)＝eq\f(BD,BC).∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.∵BD＝2，∴AB＝9.∴AC＝9.20．(2019·襄阳)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.(1)求证：DG是⊙O的切线；(2)若DE＝6，BC＝6eq\r(3)，求优弧eq\o(BAC,\s\up8(︵))的长．(1)证明：连接OD交BC于H，∵点E是ABC的内心，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴DG是⊙O的切线；(2)解：连接BD，OB，∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD＋∠ABE＝∠DBC＋∠CBE＝∠DBE，∴DB＝DE＝6，∵BH＝eq\f(1,2)BC＝3eq\r(3)，sin∠BDH＝eq\f(BH,BD)＝eq\f(3\r(3),6)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BDH＝60°，而OB＝OD，∴OBD为等边三角形，∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，∴∠BOC＝120°，∴优弧eq\o(BAC,\s\up8(︵))的长＝eq\f(（360－120）·π·6,180)＝8π.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(2019·连云港)如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．(结果保留根号)(参考数据：sin37°＝cos53°≈eq\f(3,5)，cos37°≈sin53°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4)，tan76°≈4)解：(1)在ABC中，∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－37°－53°＝90°.在RtABC中，sinB＝eq\f(AC,AB)，∴AC＝AB·sin37°＝25×eq\f(3,5)＝15(海里)．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里．(2)过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D，C，M在一条直线上．在RtAMC中，CM＝AC·sin∠CAM＝15×eq\f(4,5)＝12(海里)，AM＝AC·cos∠CAM＝15×eq\f(3,5)＝9(海里)．在RtAMD中，tan∠DAM＝eq\f(DM,AM)，∴DM＝AM·tan76°＝9×4＝36(海里)，∴AD＝eq\r(AM2＋DM2)＝eq\r(92＋362)＝9eq\r(17)(海里)，CD＝DM－CM＝36－12＝24(海里)．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有eq\f(24,16)＝eq\f(9\r(17),x)，解得x＝6eq\r(17).经检验，x＝6eq\r(17)是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6eq\r(17)海里/小时时，恰好在D处成功拦截．22．如图，已知△ABC的面积为2400cm2，底边BC长为80cm，若点D在BC边上，点E在AC边上，点F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝xcm，S▱BDEF＝ycm2，求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？解：(1)过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交EF于点G.∵△ABC的面积为2400cm2，BC＝80cm，∴AH＝2400×2÷80＝60cm，∵四边形BDEF为平行四边形，∴EF∥BC，EF＝BD＝x，△AEF∽△ACB，∴eq\f(AG,AH)＝eq\f(EF,BC)，即eq\f(AG,60)＝eq\f(x,80)，∴AG＝eq\f(3,4)x，∴GH＝60－eq\f(3,4)x.∴y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60－\f(3,4)x))＝－eq\f(3,4)x2＋60x.(2)自变量x的取值范围是0<x<80.(3)∵y＝－eq\f(3,4)x2＋60x＝－eq\f(3,4)(x－40)2＋1200，∴当x＝40时，y有最大值，且最大值为1200.六、(本大题共12分)23．(2019·眉山)如图①，抛物线y＝－eq\f(4,9)x2＋bx＋c经过点A(－5，0)和点B(1，0)．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)点P是抛物线上A，D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；(3)如图②，连接AD，BD，点M在线段AB上(不与A，B重合)，作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线的表达式为：y＝－eq\f(4,9)(x＋5)(x－1)＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9)，配方得：y＝－eq\f(4,9)(x＋2)2＋4，∴顶点D的坐标为(－2，4)．(2)设点P的坐标为(a，－eq\f(4,9)a2－eq\f(16,9)a＋eq\f(20,9))，则PE＝－eq\f(4,9)a2－eq\f(16,9)a＋eq\f(20,9)，PG＝2(－2－a)＝－4－2a.∴矩形PEFG的周长＝2(PE＋PG)＝2(－eq\f(4,9)a2－eq