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文档简介

第五节义积界性.但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件.因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和函数的积分.这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,分布图

★例 ★例 ★例 ★例★例 ★例★函数的广义积★例 ★例 ★例 ★例★例 ★例★函 ★函数的几个重要性★例 ★例★内容小 ★课堂练5-内容要一、无穷限的广义积 af(x)dxF(x)

F()Fbb

f(x)dxF(x)

F(b)Ff(x)dxF(x)|F()F 二、函数的广义积 f(x)dx b

f三、函例题选

f(x)dx 0

f无穷限的广义积例1 计算广义积分exdx0解对任意的b0bexdxex

eb(1)1

bexdx0

lim(1eb)100因 exdx0

bexdx1或exdxex01)000000例2 判断广义积分sinxdx的敛散性0解对任意bbsin0

cosxbcosb(cos0)100lim(1cosb不存在，故由定义知无穷积分sinxdx发散例3 计算广义积

dx

0

b1

01

aa1

b01lim[arctanx]0

lim[arctanx]b

arctana

arctanb

2 42x2sinx

1

11

1解原式2

d

2 d

cos xx

b

xx

b xlimcos1cosb

25(E04)计算广义积分teptdt(p是常数,p0时收敛011 teptdt

tdept

1te

1

e p

p1te

1e

tept0

1(01)10p 0p0

pt

p注:limtept

t

te

tpe6E05)

1dx的敛散性 x证(1)p

1dx1dxlnx x

1p1

dx

11,

pp x

pp1

p

p1时，题设广义积分发散函数的广义积a2例7(E06)计算广义积分a a2limlima2a2

0

xaa0

aa

0 8(E07)计算广义积分2dx 2

2

1xln

2d(lnx)lim[ln(ln

01xln

0

limln(ln2ln(ln(1故题设广义积分发散9E08)

11dx的敛散性0证(1)q

11dx11dxlnx10 0 1(2)q1,1

dx

11,

qq0

q1

11

q1时，广义积分发散 10

x1瑕点0(x

0(x

0(x

1(x1 1

2/3

(x

3，

2/

(x

330(x

112/ 1

1(x

3312/ 33

3(130(xx(111计算广义积分1arcsinxx(10arcsin解被积函数有两个可疑的瑕点xarcsin

1所以

x1是被积函数的唯一瑕点.arcsinarcsin1

arcsinarcsin1

x 例12计算

1

.解x1t1x5x1x5x

dt

tt1tt1t5t1t5t1再令ut511

t

1t5u2u1t5u2u 1u 1u 32 1lnu1

1u2uu2u

2ln1

3例

52

12 (1)(6)

2

54325

33

3112

22

222

12

12

1 2 14x3exdx0已知(r计算xr1exdx(0

ea2x20

(a解

x3exdx(4)3!0令xt则dxdt tr

xr1exdx

etdt tr1etdt 0

r

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