《对数运算》设计

《对数运算》教学设计【教学目标】1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．理解对数的底数和真数的取值范围.3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．【教学重点】理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．【教学难点】掌握对数的基本性质及对数恒等式．【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．对数的定义及相关概念(1)对数的概念在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．(2)对数恒等式＝N.(3)常用对数：以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg_N.(4)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln_N.思考1对数式logaN是不是loga与N的乘积?提示:不是,logaN是一个整体,是求幂指数的一种运算,其运算结果是一个实数.2．对数的性质性质1负数和零没有对数性质21的对数是0，即loga1＝0(a＞0且a≠1)性质3底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0且a≠1)性质4a＝N思考2：为什么负数和零没有对数?提示:因为b=logaN的充要条件是,当a>0且a≠1时,由指数函数的值域可知N>0,故负数和零没有对数.小试牛刀1.把指数式ab＝N化为对数式是()＝NB．logaN＝b＝aD．logNa＝bB解析:根据对数定义知ab＝N⇔logaN＝b.2.把对数式x＝lg2化为指数式为()A．10x＝2B．x10＝2C．x2＝10D．2x＝10A[根据指数式与对数式的互化可知x＝lg2化为指数式为10x＝2.]3．已知logx16＝2，则x等于()A．±4B．4C．256D．2B解析:由logx16＝2可知x2＝16，所以x＝±4,又x＞0且x≠1,所以x＝4.4.下列各式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若10＝lgx,则x＝10；④由log25x＝eq\f(1,2)，得x＝±5.其中正确的是________．(把正确的序号都填上)①②解析：∵lg10＝1，∴lg(lg10)＝lg1＝0，①正确；∵lne＝1，∴lg(lne)＝lg1＝0，②正确；若10＝lgx，则x＝1010，③错误；由log25x＝eq\f(1,2)，得x＝25＝5，④错误．例题讲解对数的概念【例1】(1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________。(2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是______．[思路点拨]根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))(2)(2,3)∪(3，＋∞)[(1)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>eq\f(1,2)，所以x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．]方法总结根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式(组)，可求得对数式中字母的取值范围．课堂练习1若对数式log3有意义,则实数t的取值范围是()A.[2,+∞) B.(2,3)∪(3,+∞)C.(-∞,2) D.(2,+∞)B解析：要使对数式log3有意义,则实数t应满足解得.指数式与对数式的互化【例2】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)54＝625；(2)2－6＝eq\f(1,64)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))m＝;(4)log16＝－4；(5)lg＝－2;(6)ln10＝.思路点拨：利用ab＝N⇔logaN＝b【解析】(1)log5625＝4；(2)log2eq\f(1,64)＝－6；(3)＝m；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16；(5)10－2＝；(6)＝10.方法总结(1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．课堂练习2将下列指数式与对数式互化：①log216＝4；②logeq\r(3)x＝6；③43＝64；④3－2＝eq\f(1,9)；⑤lg1000＝3.[解]①因为log216＝4，所以24＝16.②因为logeq\r(3)x＝6，所以(eq\r(3))6＝x.③因为43＝64，所以log464＝3.④因为3－2＝eq\f(1,9)，所以log3eq\f(1,9)＝－2.⑤因为lg1000＝3，所以103＝1000.对数的性质【例3】求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(eq\r(3)＋1)eq\f(2,\r(3)－1)＝x.思路点拨：利用性质logaa＝1，loga1＝0求值．解析:(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\f(2\r(3)＋1,2)＝eq\r(3)＋1，所以log(eq\r(3)＋1)eq\f(2,\r(3)－1)＝log(eq\r(3)＋1)(eq\r(3)＋1)＝1，所以x＝1.(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．课堂练习3求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.对数恒等式【例4】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－e－x，则f(ln6)＝()A．－ln6＋6B．ln6－6C．ln6＋6D．－ln6－6⑵计算：①9＝________；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝________.(1)C(2)eq\f(3,2).解析：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln6)＝－f(－ln6)＝－(－ln6－eln6)＝－(－ln6－6)＝ln6＋6.(2)①9＝(9)＝3＝4.②原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝3×(3－1)＝3×(3)－1＝3×2－1＝eq\f(3,2).方法总结