数字信号处理第2章

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模拟信号数字化处理

信号的数字处理与模拟处理相比有很多优点，但实际问题中，要处理的往往是模拟信号。因此数字处理的第一个问题就是将模拟信号数字化。处理完毕后恢复成模拟信号。

模拟信号数字信号处理ADCx(nT)y(nT)x(t)DACy(t)模拟信号输出第2章离散时间系统与离散信号的变换22.1取样和内插模拟信号与离散信号之间的转换

（1）将模拟信号离散化的过程称为抽样或取样。（2）将离散信号变为模拟信号的过程称为内插。32.1.1取样

最常用的是等间隔周期取样，即每隔固定时间T取一个信号值。

取样频率：

取样角频率：

4取样定理

对连续变化的模拟信号进行周期性的抽样，只要抽样频率等于或大于该模拟信号频带中最高频率的两倍。则抽样值就能包含原始信号的全部信息，利用低通滤波器就可由此抽样信息重构出原始信号。

抽样频率fs与原始信号最高频率fm的关系:

fs≥2fm5模拟信号取样实际上就是将它与取样函数相乘ss6时域分析

原始信号：取样函数：则取样信号为：

7频域分析由傅氏变换的性质可知，两个信号若在时域是相乘关系，映射到频域则为卷积的关系。因为在时域有：则在频域有：或：8取样信号的频谱

原始信号已知，那么其频谱也已知。由p(t)计算出取样函数的频谱，即可根据频域关系计算取样函数的频谱：9计算得到取样信号的频谱为：

1001Xa()mm0xa(t)t…(1)0…p(t)T2Tt…0xs(t)2TTt……Xs()ssmm1/T……P()ss原始信号和取样信号的频谱11原始信号和取样信号的频谱12结论

抽样信号的频谱包含着原信号的频谱以及无限个经过平移的此基带频谱，频谱的幅度乘以常数1/T，平移的大小为取样角频率的整数倍。时域中的连续信号经单位脉冲取样后，在频域产生周期性函数，其周期等于取样角频率。只要取样频率足够高，大于原信号频谱最高频率的两倍，该周期性函数就不会发生混迭。132.1.2内插

由取样过程可知，只要取样频率不低于原始信号频谱最高频率的两倍，得到的离散信号的频谱就不会发生混迭。让取样信号通过一个理想的低通滤波器，可以恢复出原来的连续信号。因为相差一个常数因子，恢复后的信号：14这个过程的示意图如下：15

恢复后的信号：g(t)

理想低通滤波器的冲激响应和频率响应分别表示为h(t)和则：频域分析16时域分析

计算h(t）：17由此计算得到：因为已知：所以：18

若取则有：这就是内插公式，其中称为内插函数。19连续信号的内插表示202.2离散时间信号——序列离散信号的表示方法离散时间信号的运算常用离散时间信号21离散时间信号：是仅定义在离散的时间点上的时间信号.即其时间变量仅在一个离散集上取值:xa(nT)x(n)或者记为x[n]，称为序列。22离散信号的表示方法数字序列如:(…0.9,0.9,08,0.3,…)有规则的可以用函数表示:x(n)波形表示:线段的长短表示各序列值的大小23离散信号的运算1．相加：2．相乘：3．乘系数：4．移位：245．倒置：6．差分：7．累加：8．序列的能量25常用离散信号单位取样序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列正弦序列261．单位取样序列时移性抽样性27利用单位取样序列表示任意序列：282．单位阶跃序列293．矩形序列与u(n)的关系:Rn(n)=u(n)-u(n-N)304.实指数序列

x(n)=an，

a为实数如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列,其波形如书上图2.13。如|a|>1，则称为发散序列。315.正弦序列x(n)=sin(nω0)对模拟信号xa(t)=sin(Ω0t)采样,可得到正弦序列：

xa(t)|t=nT=xa(nT)=sin(Ω0nT)=sin(nω0)=x(n)上式中有关系：ω0=Ω0T32上式可以写成一般形式：ω=ΩT其中：

Ω：模拟角频率单位：red/s弧度每秒

ω：数字角频率单位：red弧度具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系。比例常数就是抽样周期T。332.3

离散系统及其特性2.3.1

离散系统的定义从数学上定义，离散系统表示输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。342.3.2线性非移变系统1.系统的线性设x1(n)和x2(n)是两个任意的离散信号，a,b为两个任意常数，若满足下式，则为线性系统。35对系统T[]有T[x(n)]=y(n),若满足下式，则该系统为非移变的：2.系统的非移变特性362.3.3

系统的单位取样响应,离散信号的

线性卷积1.单位取样响应

当输入信号是单位取样序列时的输出信号就是此离散系统的单位取样响应。记为h(n):372.离散信号的线性卷积

设x1(n)和x2(n)是两个任意的离散信号，定义它们的线性卷积为：或者：383.线性非移变系统对输入信号的响应392.3.4

线性卷积的计算1.由解析式计算2.做图法3.序列排列法40例2.4一个LTI系统的单位脉冲响应为

,求当输入信号为矩形序列

时的输出

.1.由解析式计算解:由离散卷积的定义得到(1)n<0时：u(n-k)=0,因此y(n)=0(2)0≤n<9时：u(n-k)=1,因此y(n)=10[1-(0.9)n+1](3)n≥9时：u(n-k)=1,因此(0≤k≤n)412.做图法423.序列排列法{A}={3,2,1},{B}={1,1,1,1},{C}={c1,c2,…,c6}

3211111c1=1*3=31111c2=1*3+1*2=51111c3=61111c4=61111c5=31111c6=1432.3.5系统的稳定性和因果性1.稳定性:一个离散系统，输入序列有界时,如果其输出序列也有界,则此系统是稳定的。对一切n,|x(n)|<∞＝＞|y(n)|<∞44线性非移变系统稳定的条件的推导：若x(n)有界，则存在以一正数，使：452.因果性

若一个系统的输出变化不会发生在输入变化之前，则该系统为因果系统。一个线性非移变系统是因果系统的充分必要条件：其单位取样响应h(n)当n<0时等于0对某一个时刻n0,当n<n0时,x1(n)=x2(n),

则当n<n0时,也有y1(n)=y2(n)46必要性：如果一个线性非移变系统h(n)是因果系统，(简)则当n<0时h(n)=0．对某一个n0，设n<n0

，x1(n)=x2(n)时，也有y1(n)=y2(n)对某一个n1，设n1

<n0n1

-k<n0当k<0时h(k)=047充分性：如果一个线性非移变系统，当n<0时h(n)=0(简)则是因果系统．即对某一个n1<n0，x1(n1)=x2(n1)，则y1(n1)=y2(n1)当n≥０时，n1-n<n0，于是x1(n1)=x2(n1)，因此y1(n1)=y2(n1)482.3.6系统的差分方程描述1.非递归型：输出对输入无反馈

线性非移变因果系统有限项492.递归型系统输出值不仅取决于输入，也取决于输出值若系统是线性非移变，因果的：50能否直接对离散信号

求傅氏变换得到其频谱函数？2.4.1问题的提出该结论是由“时域相乘，频域卷积”的关系推导得出的：2.4离散信号的傅氏变换取样信号的频谱：512.4.2离散信号傅氏变换对的推导52周期为T0

周期为取样角频率：53最终离散信号傅氏变换对表示为(=T)：X(ej)

是数字角频率的周期函数,周期为：sT=2542.4.3离散信号傅氏变换的性质线性若：则：55时移与频移特性：若：则：56序列的卷积特性频域卷积定理：时域卷积定理：57证明：58离散信号的傅氏变换是ω的周期函数，周期为2序列傅氏变换的周期性证明：59序列傅氏变换的对称性共轭对称序列共轭反对称序列60任意一个序列总能表示成一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和：其中：61若x(n)为复序列性质3：性质4：证明：62若x(n)为复序列性质5：性质6：证明：63推论：要画出X(ejω)的幅频特性，只要画出其半个周期即可，通常在实际中是选择0,的部分642.4.4线性非移变系统的频率响应线性非移变系统的输入输出关系为：由序列的卷积特性得：定义H(ej)为系统的频率响应。65频率响应的求取：幅度响应：相位响应：或：66线性模拟系统描述方法：常系数线性微分方程求解方法：解常系数线性微分方程（时域方法）拉氏变换的作用：转化为解代数方程（频域方法）线性离散系统描述方法：差分方程求解方法：解差分方程（时域方法）Z变换的作用：转化为解代数方程（频域方法）2.5离散信号的Z变换67Z变换的定义及其收敛域序列的Z变换定义为：在收敛域内，X(z)为解析函数，具有高阶导数，极点都在收敛域之外。收敛域：对于任意的序列，使其Z变换收敛的Z值集合称为X（z）的收敛域。68右边序列的Z变换右边序列的定义将n<n0时等于零的序列称为右边序列。右边序列的收敛域收敛域在某一个圆外69例：求下面序列的Z变换:当即时，该幂级数收敛。解：7071极点和零点零点：极点：的根称为X(z)的零点。的根称为X(z)的极点。72左边序列的Z变换左边序列的定义当时等于零的序列称为左边序列左边序列的收敛域左边序列的收敛域在某一圆内73例：求下面左边序列的Z变换解：若该幂级数收敛收敛域7475双边序列的Z变换双边序列这种序列既包含右边序列又包含左边序列双边序列的收敛域由于右边序列收敛域：|z|>R-左边序列收敛域：|z|<R+因此双边序列的收敛域是一个环状区域：

R-<|z|<R+76例：求下面序列的Z变换：解：若，收敛域为空集，X(z)不存在。

若，收敛域为

7778例：已知X(z)的3个极点z1,

z2,

z3,

且|z1|<

|z2|

<|z3|若x(n)为右边序列，则X(z)收敛域为：|z|>|z3|若x(n)为左边序列，则X(z)收敛域为：|z|<|z1|只有当两个序列Z变换的表达式和收敛域都相同时，它们对应的序列才相同Z变换的收敛域与其极点的关系密切，由极点位置可确定收敛域。79Z变换的性质线性序列的移位Z变换的导数复序列的共轭序列初值定理序列的卷积801.线性序列线性组合的Z变换等于这些序列各自的Z变换的线性组合。：812.序列的移位收敛域为整个Z平面收敛域为收敛域为收敛域一般不变，但在z=0,和无穷大可能有变化如：823.乘以指数序列证明：收敛域：如果X(z)有极点或零点z1，则X(a-1z)就有极点或零点az1834.X(z)的导数收敛域不变证明：845.复序列的共轭序列收敛域不变证明：856.初值定理若x(n)是因果序列，则：证明：867.

序列的卷积序列卷积的Z变换等于这两个序列各自Z变化的乘积收敛域：

是两个序列Z变换收敛域的重叠部分

但是，若其中的一个Z变换的某些极点刚好被另一个Z变换的零点抵消，则序列卷积的Z变换的收敛域就会扩大。878.复卷积定理时域的相乘关系映射到复频域为复卷积的关系。9.帕斯维尔定理881.幂级数法2.部分分式法3.留数法2.5.3Z反变换891.幂级数法将X（z）展开成幂级数形式，再与定义式相比较，系数便是所求序列。必须考虑收敛域：如果收敛域在一圆外，应展开成z-1级数形式如果收敛域在一圆内，应展开成z级数形式如果收敛域在一环内，应展开成z级数和z-1两部分90例：求下式的反变换解：将它展开成幂级数形式比较定义式，所以91例：求下式的反变换解：根据线性和移位特性：92长除法展开幂级数若已知x(n)为右边序列，为了使相除结果不含z的正指数项，分子分母多项式中各项应按降幂排列。

若已知x(n)为左边序列，为了使相除结果只含z的正指数项，分子分母多项式中各项应按升幂排列。932.部分分式法根据以下Z变换关系：右边序列：左边序列：因此，当X(z)为有理分式时，可展开为部分分式，再根据上面关系求各简单分式的Z反变换。94如将X(z)表示为：对于右边序列：对于左边序列：95上述结论根据Z变换的线性特性得到：右边序列：左边序列：96对于双边序列，应将部分分式划为两部分：一部分包含内圆上及其之内的极点，另一部分包含外圆上及其之外的极点C此时有：97已知将X(z)化为

部分分式之和解于是有例２.７98一个关键就是判断部分分式的反变换是属于右边序列还是左边序列根据极点位置来判断如果某极点在收敛域的内侧，那么该极点对应的部分分式的反变换应当是一个右边序列。如果某极点在收敛域的外侧，那么该极点对应的部分分式的反变换应当是一个左边序列。极点总在收敛域之外，但“之外”又可以分为“内侧”和“外侧”991003.留数法Z反变换关系式C是X(z)的收敛域内一条包围原点的闭合曲线101上式右边的围线积分应用留数定理来求。或者：102若X(z)zn-1是z的有理函数，设z0是它的一个s阶极点，可以将它表示为：X(z)zn-1在z=z0处的留数为：若z0是一阶极点，即s=1，则此留数为：103P38例2.9解：分析上式的极点（为求留数作考虑）1.当n>0时，c内无极点，采用2.83式，x(n)=02.当n≤0时，在z=2有一个一阶极点，z=0有一个极点，阶次根据n不同，阶数可能从1到无穷大。采用2.84式，确定积分围线：c在半径为2的圆内归纳1，21042.6

单边Z变换单边Z变换的定义单边Z变换的收敛域由于单边Z变换只含z的负指数项，其收敛域在半径为某以个值的圆周之外