山东省青岛市即墨白届中学2023年高三数学理期末试题含解析

山东省青岛市即墨白届中学2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.若，则下列结论正确的是

（

） A． B． C．

D．参考答案：C略3.若向量的夹角为，且，则与的夹角为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知都是实数,那么“”是“”的（

）条件A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：D略5.已知i是虚数单位，若，则a+b的值是（）A．0 B． C． D．参考答案：D【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A3：复数相等的充要条件．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则，化简为，再利用两个复数相等的充要条件求出a、b的值，即可得到a+b的值．【解答】解：若，则a+bi=﹣=﹣=，∴a=，b=0，∴a+b=．故选D．6.函数的图象大致为参考答案：B略7.已知函数的图象经过两点，在内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意画出函数的图像，然后结合图像以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出函数的解析式.【详解】根据题意可以画出函数的图像大致如下因为，由图可知，又因为，所以，所以，因为，由图可知，，解得，又因为，可得，所以当时，，所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图像与性质，属于中档题.这类型题的关键在于结合图像，以及各个参数的几何意义，利用特殊点代入求解.8.设函数的定义域为R，且，若则函数的最小值是（

）A．1

B．3

C．

D．

参考答案：B略9.若函数,若,则实数的取值范围是

（

）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（1,+∞）

C．（-1，0）∪（1,+∞）

D．（-∞，-1）∪（0,1）参考答案：C略10.若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是

（

） A． B． C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若的值为

．参考答案：212.已知平面区域内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M，此时的概率P为____________．

参考答案：略13.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层

参考答案：814.数列{an}的前n项和为Sn，2Sn﹣nan=n（n∈N*），若S20=﹣360，则a2=．参考答案：解：∵2Sn﹣nan=n（n∈N*），∴Sn=，∴，解得a1=1，∴，∴{an}是等差数列，∵S20=﹣360，∴S20==﹣360，解得a20+1=﹣36，即a20=﹣37，∴19d=a20﹣a1=﹣38，解得d=﹣2，∴a2=a1+d=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得Sn=，从而，解得a1=1，进而，由此得到{an}是等差数列，从而由已知条件利用等差数列的性质能求出a2．解答：解：∵2Sn﹣nan=n（n∈N*），∴Sn=，∴，解得a1=1，∴，∴{an}是等差数列，∵S20=﹣360，∴S20==﹣360，解得a20+1=﹣36，即a20=﹣37，∴19d=a20﹣a1=﹣38，解得d=﹣2，∴a2=a1+d=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查数列的第二项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运15.若对任意，有唯一确定的与之对应，则称为关于，的二元函数，现定义满足下列性质的为关于实数，的广义“距离”．（）非负性：，当且仅当时取等号；（）对称性：；（）三角形不等式：对任意的实数均成立．给出三个二元函数：①；②；③，则所有能够成为关于，的广义“距离”的序号为__________．参考答案：①①，满足（）非负性，，满足（）对称性，，满足（）三角形不等式，故①能够成为关于，的广义“距离”．②不妨设，则有，此时有，而，故不成立，所以不满足（）三角形不等式，故②不能成为关于，的广义“距离”．③由于时，无意义，故③不满足．综上，故正确答案是：①．16.一个社会调查机构就某地居民的月收放情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）。为了分析居民的心入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元/月）收入段应抽出

人。参考答案：40略17.若是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案：解:（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆．……………4分（2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为f（x）＝（100－）（x－150）－×50………8分整理得:f（x）＝－＋162x－2100＝－（x－4050）2＋307050∴当x＝4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）＝307050元…………12分19.已知椭圆过点，且焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点P（﹣2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，根据直线的斜率公式，即可求得k的值．【解答】解：（1）由2c=2，c=1，由a2=b2+c2=b2+1，则，解得：b2=1，a2=2，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=k（x+2），，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=，△=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得：﹣＜k＜，则x0=﹣，y0=，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，则kGM===﹣，（k≠0），解得：k=或k=（舍），当k=0时，显然满足题意；∴直线l的方程为：y=（x+2）或y=0．20.如图所示,在中,的中点为,且,点在的延长线上,且.固定边,在平面内移动顶点,使得圆与边,边的延长线相切,并始终与的延长线相切于点,记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴,为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)设动直线交曲线于两点,且以为直径的圆经过点,求.参考答案：(Ⅰ)依题意得,设动圆与边的延长线相切于,与边相切于,则所以======,所以点轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点.则曲线的方程为.(Ⅱ)法一:由于曲线要挖去长轴两个顶点,所以直线斜率存在且不为,所以可设直线

,由得,

,同理可得:,;所以,又,所以==令,则且,所以====

,又,所以,所以,所以,所以,所以面积的取值范围为.法二:依题意得直线斜率不为0,且直线不过椭圆的顶点,则可设直线:,且.设,又以为直径的圆经过点,则,所以由得,则=,且=,所以,又==,代入得:,所以,代入得:恒成立所以且.又==;点到直线的距离为=,===

==,(1)当时,;(2)当且时,==,又,当且仅当时取“”,所以,所以,所以,所以,所以;综合(1),(2)知.本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(Ⅰ)由题意得=,由椭圆的定义得:点轨迹是椭圆,即曲线为.(Ⅱ)设直线,联立方程,套用根与系数的关系求得.21.函数的部分图象如图所示(Ⅰ)求的最小正周期及解析式;(Ⅱ)设,求函数在区间上的最小值

参考答案：略22.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是梯形，且，AB⊥面PAD，E是PB中点，.（1）求证：CE⊥平面PAB；（2）若，，求直线CE与平面PDC所成角的大小.参考答案：（1）证明：取的中点，连结，，如图所示.因为，所以.因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.因为点是中点，所以，且.又因为，且，所以，且