高中数学人教A版3第二章随机变量及其分布正态分布

2．4正态分布[学习目标]1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题．[知识链接]1．在频率分布直方图中，纵坐标的含义是eq\f(频率,组距)，用小矩形的面积表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条光滑的曲线．2．正态曲线φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R中的参数μ，σ有何意义？答μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？答若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a＜X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx可知，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量．[预习导引]1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝4.要点一正态曲线例1如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))·e－eq\f(（x－20）2,4)，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.规律方法利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x＝μ与最值eq\f(1,σ\r(2π))，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．跟踪演练1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq\f(1,4\r(2π)).求该正态分布的概率密度函数的解析式．解由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．要点二利用正态分布求概率例2设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．解∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝6(2)∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，∴P(3＜ξ≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3＜ξ≤5)－P(－1＜ξ≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜x≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)4－6)＝9.(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝eq\f(1,2)[1－P(－3＜ξ≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)(1－4)＝8.规律方法解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想．经常用到如下转换公式：①P(x≥a)＝1－P(x＜a)；②若b＜μ，则P(X＜b)＝eq\f(1－P（μ－b<X≤μ＋b）,2).跟踪演练2若η～N(5，1)，求P(5＜η＜7)．解∵η～N(5，1)，∴正态分布密度函数的两个参数为μ＝5，σ＝1，因为该正态曲线关于x＝5对称，∴P(5＜η＜7)＝eq\f(1,2)×P(3＜η＜7)＝eq\f(1,2)×4＝2.要点三正态分布的实际应用例3设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ＜－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ＞σ)＝2P(X－μ＜－σ)＋6＝1，∴P(X－μ＜－σ)＝7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ＜－σ)＝1－7＝3.∴54×3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ＞σ)＝6＋2P(X－μ≥σ)＝1.∴P(X－μ≥σ)＝7.∴54×7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．规律方法解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想．跟踪演练3工厂制造的某机械零件的尺寸X服从正态分布N(4，eq\f(1,9))，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解∵X～N(4，eq\f(1,9))，∴μ＝4，σ＝eq\f(1,3)，∴不属于区间(3，5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)＝1－P(4－1＜X＜4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－4＝6≈，∴1000×＝3(个)，即不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有3个.1．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3答案D2．把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是()A．曲线b仍然是正态曲线B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C．以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2D．以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2答案D3．正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定答案A解析根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．4．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10800小时”的概率．解依题意μ＝104，σ＝400.∴P(104－800<X≤104＋800)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝4.由正态分布性质知P(X≤104－800)＝P(X>104＋800)故2P(X>10800)＋P(104－800<X≤104＋800)＝1，∴P(X>10800)＝eq\f(1－4,2)＝8，故使用时间超过10800小时的概率为8.1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)，若b<μ，则P(X<μ－b)＝eq\f(1－P（μ－b<X<μ＋b）,2).一、基础达标1．设某长度变量X～N(4，16)，则下列结论正确的是()A．E(X)＝D(X)＝eq\r(D（X）)B．D(X)＝eq\r(D（X）)C．E(X)＝eq\r(D（X）)D．E(X)＝D(X)答案C2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝，则P(ξ<0)等于()A．B．C．D．答案A解析P(ξ≤4)＝，故P(ξ>4)＝.P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝.设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\f(x2－4x＋4,6)，则()A．μ＝2，σ＝3B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3)D．μ＝3，σ＝eq\r(3)答案C解析由φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)×\r(3))e－eq\f(（x－2）2,2（\r(3)）2)，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故选C.4．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，eq\f(1,2))，则该随机变量的方差等于()A．10B．100\f(2,π)\r(\f(2,π))答案C解析由正态分布密度曲线上的最高点为(10，eq\f(1,2))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).5．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ>3)＝P(ξ<1)成立，则μ＝________.答案2解析∵ξ～N(μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x＝μ对称，又P(ξ<1)＝P(ξ>3)，从而μ＝eq\f(1＋3,2)＝2，即μ的值为2.6．对于标准正态分布N(0，1)的概率密度函数f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)，下列说法正确的有________．①f(x)为偶函数；②f(x)的最大值是eq\f(1,\r(2π))；③f(x)在x>0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数；④f(x)关于x＝1对称．答案①②③7．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝eq\f(1,8\r(2π)).(1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88mm(不包括72mm，包括88mm)间的零件大约占总数的百分比．解(1)∵正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数．∴正态分布曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处达到峰值，∴μ＝80.又eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,8\r(2π))，∴σ＝8，故正态分布的概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝eq\f(1,8\r(2π))e－eq\f(（x－80）2,128).(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.∴零件的尺寸X位于区间(72，88]内的概率为6.故尺寸在72～88mm(不包括72mm，包括88mm)间的零件大约占总数的%.二、能力提升8．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90，110]B．(95，125]C．(100，120]D．(105，115]答案C解析∵X～N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105，115]，(100，120]，(95，125]上的概率分别应是6，4，4.由于一共有60人参加考试，故成绩位于上述三个区间的人数分别是60×6≈41(人)，60×4≈57(人)，60×4≈60(人)．9．若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ≤－＝，则P(|ξ|<等于()A．B．C．D．答案C解析由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，得P(ξ<＝1－P(ξ≤－．所以P(|ξ|<＝P(－<ξ<＝P(ξ<－P(ξ≤－＝1－2P(ξ≤－＝1－2×＝.10．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于kg小于等于kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为________．答案683解析依题意可知，μ＝，σ＝2，故P<X≤＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝6，从而属于正常情况的人数为1000×6≈683.11．一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：，，10，，，，，10，，.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求η的正态分布密度函数．解依题意得μ＝eq\f(1,10)＋＋10＋＋＋＋＋10＋＋＝10.σ2＝eq\f(1,10)[－10)2＋－10)2＋(10－10)2＋－10)2＋－10)2＋－10)2＋－10)2＋(10－10)2＋－10)2＋－10)2]＝.即μ＝10，σ2＝.所以η的正态分布密度函数为f(x)＝eq\f(10,\r(6π))·e－eq\f(50（x－10）2,3).12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占总人数的比例；(2)成绩在80～90内的学生占总人数的比例．解(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70，102)，则μ＝70，σ＝10.分数在60～80之间的学生的比例为P(70－10<X≤70＋10)＝6，所以不及格的学生的比例为eq\f(1,2)×(1－6)＝7，即成绩不及格的学生占总人数的%.(2)成绩在80～90内的学生的比例为eq\f(1,2)[P(70－2×10<X≤70＋2×10)]－eq\f(1,2)[P(70－10<X≤70＋10)]＝eq\f(1,2)4－6)＝9.即成绩在80～90内的学生占总人数的比例为%.三、探究与创新13．(2023·湖北理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1