湖南省永州市七里桥镇第三中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省永州市七里桥镇第三中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设,,,则,,间的大小关系为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.已知集,,则（

）A．

B．C．P

D．Q参考答案：D3.（5分）（2015?济宁一模）已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=（）A．2B．2C．D．1参考答案：C【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4.若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=?，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】子集与真子集．【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=?，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数．【解答】解：∵正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，∴?=?（++）=?++=1．∴集合{x|x=?，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为1．故选：A．5.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：A6.的值为

（）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（

）分数54321人数2010303010A．

B．

C．3

D．参考答案：【解析】本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。

答案：B8.已知，，则(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知，则……………（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.已知函数，若a、b、c互不相等，且，则a＋b＋c的取值范围是 （

）A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列中，若，则此数列的前13项之和为

.参考答案：52略12.2008年北京奥运会，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加体操比赛,最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是

.参考答案：答案：

13.给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是

。①若；②函数的图象关于x=对称；③函数为偶函数，④函数是周期函数，且周期为2。参考答案：①②④14.对任意中任取两个元素，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且集合中存在一个非零常数，使得对任意，都有，则称是集合的“钉子”.集合的“钉子”为__________________．参考答案：4略15.函数的最大值为_______参考答案：1【分析】因为，所以可以把函数解析式化简，再逆用两角差的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的性质求出最大值.【详解】,所以，因此的最大值为1.【点睛】本题考查了二角差的正弦公式的逆用，正弦型函数的最值，考查了三角恒等变换.16.是虚数单位，能使得成立的成立的最小正整数是

；【解析】由，得，所以，即,所以最小的正整数为3。参考答案：由，得，所以，即,所以最小的正整数为3。【答案】3

17.已知α∈（，π），sinα=，则tan=．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosα和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）过点且与直线平行的直线交曲线于两点，求点到两点的距离之和.参考答案：19.如图在直三棱柱ABC–A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，D为BC的中点，E为CC1上的点，且CE=CC1

（I）求三棱锥B–AB1D的体积；

（II）求证：BE⊥平面ADB1；

（Ⅲ）求二面角B—AB1—D的大小.

参考答案：解析：（Ⅰ）∵AB=AC=a，∠BAC=90°，D为BC中点B1B=C1C=A1A=2a，∴

………………2分∵

…………4分解法一：（Ⅱ）由AB=AC，D是BC的中点，得AD⊥BC从而AD⊥平面B1BCC1又BE平面B1BCC1，所在AD⊥BE…………6分由已知∠BAC=90°，AB=AC=a，得在Rt△BB1D中，在Rt△CBE中，于是∠BB1D=∠CBE，设EB∩DB1=G∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，则DB1⊥BE，又AD∩DB1=D故BE⊥平面ADB1

……8分（Ⅲ）过点G作GF⊥AB1于F，连接BF由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG是二面角B—AB-1—D的平面角

…………10分在Rt△ABB1中，由BF·AB1=BB1·AB，得在Rt△BDB1中，由BB1·BD=BG·DB1，得BG=所以在Rt△BFG中，故二面角B—AB—D的大小为arcsin

………………12分解法二：解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A－xyz

…………2分可知A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（），B1（a，0，2a），E（0，a，）…………4分可得

………………6分于是得，可知BE⊥AD，BE⊥DB1又AD∩DB1=D，故BE⊥平面ADB1

…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB1的法向量，平面ABB1的法向量于是

…………10分故二面角B—AB1—D的大小为arccos

………………12分20.已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2＞2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值．（2）先利用对称性求出g（x）的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得．（3）通过题意分析先讨论，可设x1＜1，x2＞1，利用第二问的结论可得f（x2）＞g（x2），根据对称性将g（x2）换成f（2﹣x2），再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系．【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）=（1﹣x）e﹣x令f′（x）=0，解得x=1当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表x（﹣∞，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）极大值所以f（x）在（﹣∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=．（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2﹣x），得g（x）=（2﹣x）ex﹣2令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x+（x﹣2）ex﹣2于是F'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x当x＞1时，2x﹣2＞0，从而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以f′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数．又F（1）=e﹣1﹣e﹣1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）．（Ⅲ）证明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1．与x1≠x2矛盾．（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．与x1≠x2矛盾．根据（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2），则g（x2）=f（2﹣x2），所以f（x2）＞f（2﹣x2），从而f（x1）＞f（2﹣x2）．因为x2＞1，所以2﹣x2＜1，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（﹣∞，1）内是增函数，所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．21.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若关于的方程在区间上有解,求实数的取值范围.参考答案：（I）由题意知的最小正周期（II）将的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象.所以，因为,所以.在区间上有且只有一个实数解,即函数与在区间上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知综上所述：略22.(本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、。指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．

(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；

(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为