2021-2022学年广东省江门市圭峰中学高三数学文期末试卷

2021-2022学年广东省江门市圭峰中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体的体积是（

）

A．

B．

C． D．参考答案：D2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．20 C．52 D．60参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，根据图中数据，计算体积即可．【解答】解：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图体积为=20；故选B．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体，利用三视图的数据求体积．3.cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由诱导公式，两角和的正弦函数公式化简所求，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40°=cos70°sin50°+cos20°sin40°=cos70°sin50°+sin70°cos50°=sin（50°+70°）=sin120°=．故选：D．4.过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=4作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19参考答案：B【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2?2c﹣3=2?8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B．5.如图，已知在ΔABC中,BC=2，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，MC与NB交于点G，若，则，的度数为A.135

B.120°

C.

150

D.

105°参考答案：D6.在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于(

) A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°参考答案：B考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：将已知代入正弦定理即可直接求值．解答： 解：由正弦定理可得：sinB===．∵0＜B＜180°，∴B=60°或120°，故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基本知识的考查．7.下列式子中与相等的是

（

）

（1）；

（2）；

（3）

（4）。

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（3）

D．（1）（2）（3）（4）参考答案：B8.若实数x，y满足，则（x﹣3）2+y2的最小值是（）A． B．8 C．20 D．2参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出满足条件的平面区域，根据（x﹣3）2+y2的几何意义求出其最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离dmin=，∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．9.函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A10.函数（其中）的图象如所示，为了得到的图象，则只需将的图象(

)A.向右平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向左平移个长度单位

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=；（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=．参考答案：3,6（3n﹣1）.【考点】数列的求和；函数的值；函数的零点．【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）．（ii）如图所示，由题意当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，∴f（6）=3×1=3．（ii）当时，则1≤3x＜3，由可知：．同理，当时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由，可得，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．∴当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）==6×（3n﹣1）．12.已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．参考答案：(1)5(2)13.设函数则____；函数的极小值是____.参考答案：,试题分析：，当时，，由得，（负值舍去），因此当时，；当时，；从而函数在取极小值为2；当时，，因此当时，单调递减；当时，单调递增；从而函数在取极大值为4；从而函数的极小值是2考点：分段函数求值，函数极值14.对于下列命题：①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“”是“对任意的实数，恒成立”的充要条件；④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是

.参考答案：①②④略15.已知双曲线C：的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则C的方程为_______．参考答案：2，【知识点】双曲线【试题解析】由题知：所以，所以

因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=2，所以

所以的方程为：

故答案为：2，16.把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为

．（结果用最简分数表示）参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出抽到写着偶数或大于6的数的卡片包含的基本事件个数，由此能求出抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率．【解答】解：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，基本事件总数n=10，抽到写着偶数或大于6的数的卡片包含的基本事件个数为7，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．17.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是CC1中点，则二面角的正切值为_______．参考答案：【分析】设正三棱柱的所有棱长2,取的中点,这样可以证明出，通过侧面与底面垂直，利用面面垂直的性质定理可以证明出侧面,也就证明出，这样过作,利用线面垂直的判定定理，可以证明出所以平面,也就证出，这样就可以找到二面角的平面角的补角,通过计算可以求出二面角的平面角的补角的正切值，也就求出二面角的平面角的正切值.【详解】设正三棱柱的所有棱长2,取的中点,连接,由题意可知,,所以,利用勾股定理可以求得,过作,垂足为,连接,如下图所示:在正三棱柱中,侧面底面,而侧面底面,所以侧面,平面,所以有,,平面,所以平面,而平面,所以,因此是二面角的平面角的补角,在正方形中,由面积可得,求出,在中,,所以二面角的正切值为.【点睛】本题考查了求二面角的正切值问题，解决本题的关键是找到二面角的平面角的补角.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，知导函数≤恒成立，再转化为所以a≥（﹣，x02+x0）max求解．（III）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=b=时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，f′（x）=﹣x﹣=．令f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，所以k=F′（x0）=≤，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]当x0=1时，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解．∴，设g（x）=，则g′（x）=．令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，所以m=1+，或1≤m＜1+．【点评】本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．19.如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，点E、F分别为AB、CD的中点，将四边形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使∠A1EB=120°，如图2所示，点G，H分别在A1B，D1C上，A1G=D1H=，过点G，H的平面α与几何体A1EB﹣D1FC的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线EH与平面α所成角的余弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）在BE或A1?E上取一点M，使得GM=GH=3，求出M点的位置即可作出截面图形；（2）过E作出截面α的垂线，作出要求角，在直角三角形中计算余弦值．【解答】解：（1）由题意可知A1E=BE=4，GH=A1D1=3，在△A1BE中，由余弦定理得A1B==4，设平面α与几何体的截面正方形为GHNM，则GM=3，若M在棱BE上，设BM=x，则由余弦定理得cos30°==，解得x=3，若M在棱A1E上，设A1M=x，则由余弦定理得cos30°==，解得x=9（舍）．过M作MN∥EF交CF于N，连接GH，MN，GM，HN，则正方形GHNM即为要作的正方形．（2）过E作EP⊥GM，垂足为P，连接HP，∵EF⊥A1E，EF⊥BE，A1E∩BE=E，∴EF⊥平面A1BE，∵A1G=D1H，∴GH∥EF，∴GH⊥平面A1BE，又EP?平面A1BE，∴EP⊥GH，又GH∩GM=G，GH?平面GHNM，GM?平面GHNM，∴EP⊥平面GHNM，∴∠EHP为直线EH与平面α所成的角，由（1）可知GM∥A1E，EM=1，∴∠PEM=30°，∴PM=，PE=，∴GP=，PH==，EH==4，∴cos∠EHP==．∴直线EH与平面α所成角的余弦值为．20.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，E是SA的中点．（1）求证：平面BED平面SAB；（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．参考答案：解：（1）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．…………3分∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB．(若用向量法请参照给分)……6分（2）法一：作AF⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，则∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．……………8分设AD＝2A，则AB＝A，SA＝2A，AE＝A，△ABE是等腰直角三角形，则AF＝A．在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝，故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…………12分（2）法二：分别以DA,DC,DS为坐标轴建立坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，则，因此可取m＝(－1，，1)．…8分

……12分21.设函数f（x）=lnx+，k∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求k值；（Ⅱ）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=e处取得极小值，不等式f（x）＜的解集为P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠?，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大