初中数学浙教版九年级上册第3章　圆的基本性质3．8　弧长及扇形的面积(j)

弧长及扇形的面积(一)1.已知120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是9.2.如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的周长为2π＋6(结果保留π).(第2题)3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为eq\f(π,3).(第3题)4.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置.搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m.若半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是2π＋50(第4题)5.如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为2，∠C＝40°，则eq\o(AB,\s\up8(︵))的长是eq\f(8,9)π.(第5题)6.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C(第6题)A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcm7.如图，小明把一长为4cm，宽为3cm的矩形木板在桌面上做无滑动的翻转(顺时针)，木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使得木板与桌面成30°角，则点A翻转到点A2走过的路径长为((第7题)A.10πcmB.4πcmC.πcmD.πcm8.如图所示是一段圆弧形弯道，已知eq\o(DB,\s\up8(︵))＝50cm，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝30cm，求弯道的中心线eq\o(EF,\s\up8(︵))的长.(第8题)【解】设∠BOD的度数为n，则eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\f(nπ·OD,180)，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\f(nπ·OC,180)，eq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\f(nπ·OE,180).∵OE＝OC＋eq\f(OD－OC,2)＝eq\f(OC＋OD,2)，∴eq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\f(nπ,180)·eq\f(OC＋OD,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nπ·OC,180)＋\f(nπ·OD,180)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(︵))＋eq\o(BD,\s\up8(︵)))＝eq\f(1,2)(30＋50)＝40(cm).9.如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，P是⊙O上任意一点(点P与点A，B，C，D不重合)，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为(A)(第9题)A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)【解】连结OP.∵PM⊥AO，PN⊥OD，AB⊥CD，∴四边形ONPM是矩形.又∵Q为MN的中点，∴Q为OP的中点，∴OQ＝1.∴点Q走过的路径长＝eq\f(45π×1,180)＝eq\f(π,4).10.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2eq\r(2)，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为π.(第10题)【解析】如解图，取AB的中点E，连结CE，取CE的中点F，连结PE，MF.(第10题解)∵在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2eq\r(2)，∴AB＝4.∵E是AB的中点，∴点E为圆心，∴PE＝eq\f(1,2)AB＝2.∵M为PC的中点，F为CE的中点，∴MF是△CPE的中位线，∴MF＝eq\f(1,2)PE＝1.∵F为定点，∴点M的轨迹是以点F为圆心，1为半径的半圆弧，∴点M运动的路径长为eq\f(1,2)×2π×1＝π.11.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.(1)求证：BD＝CD.(2)若⊙O的半径为3，求eq\o(BC,\s\up8(︵))的长.(第11题)【解】(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°.∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°＝∠DBC，∴BD＝CD.(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的度数为60°.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(60π×3,180)＝π.12.已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一动点(不与点A，B重合)，将△CAD绕点C逆时针旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点.(第12题)(1)如图①，当α＝90°时，G是边AB上一点，且BG＝AD，连结GF.求证：GF∥AC.(2)如图②，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M.①当点M与点C，D不重合时，连结CM，求∠CMD的度数.②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长.【解】(1)∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°.由旋转可得∠CBF＝∠A＝45°，∴∠ABF＝∠ABC＋∠CBF＝90°.∵BG＝AD＝BF，∴∠BGF＝∠BFG＝45°，∴∠A＝∠BGF，∴GF∥AC.(2)①∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD.∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF.∵2∠CAE＋∠ACE＝180°，2∠CDF＋∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF.∴A，D，M，C四点共圆，∴∠DAM＝∠DCM，∴∠CMF＝∠CDM＋∠DCM＝∠CAE＋∠DAM＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°－∠CMF＝135°.(第12题解)②如解图，取AC的中点O，连结OD，CM.∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.由①可知A，D，M，C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M的运动路径是以AC为直径的⊙O上的eq\o(CD,\s\u