曲线及二次曲面

第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线

C.C又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t

的函数:称它为空间曲线的参数方程.例.

空间曲线——圆柱螺线P同时又在平行于z轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。

圆柱面yz0xa

x=

y=z=acostbtM(x,y,z)asinttM螺线从点P

Q当t

从02，叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进行，所以z与t成正比。)点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转；三、空间曲线在坐标面上的投影定义：设空间曲线C的一般方程为定义以C为准线，母线平行于坐标轴的柱面称为投影柱面。1、定义投影柱面与坐标平面的交线C´称为曲线C在坐标平面上的投影（曲线）。2、投影曲线的方程设空间曲线C的一般方程为消去z

得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz

面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程例如,在xoy面上的投影曲线方程为又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.

1.解yxzo得交线L：例.空间曲线在坐标面上的投影由z=0.1yxzo解L...得交线L：例.空间曲线在坐标面上的投影.投影柱面由四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面

三、柱面空间曲面及其方程

第七章

四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:为正数)2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面例.

椭圆抛物面xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面例.

椭圆抛物面.2.抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q同号)用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法（马鞍面）例.

双曲抛物面截痕法.例.

双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面截痕法.例.

双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:

直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。.注.

单叶双曲面是直纹面(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面图形4.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到,见书P316)内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:斜率为1的直线平面解