广东省深圳市蛇口科爱赛国际学校高三数学理测试题含解析

广东省深圳市蛇口科爱赛国际学校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为角的终边上一点，且，，则角等于（

）A、 B、 C、 D、参考答案：D略2.下列四个图中,函数的图象可能是

参考答案：C3.直线l：与曲线相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B【知识点】直线与双曲线的位置关系H8解析：因为曲线的渐近线方程为y=±x，若直线l：与曲线相交于A、B两点，则k＜-1或k＞1，而直线l的斜率存在，所以α∈，则选B.【思路点拨】一般遇到直线与双曲线的位置关系时，注意结合其渐近线解答.4.化简

（

）A． B．

C．

D．参考答案：B略5.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】先根据三角函数的定义求出，然后再根据二倍角的余弦公式求出．【详解】∵为角终边上一点，∴，∴．故选D．6.若集合，，则集合不可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：答案：A

解析：先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.8.在中，已知是边上的一点，若则

A．

B．

C．

D．

参考答案：【知识点】向量加减混合运算及其几何意义．F1【答案解析】A

解析：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．【思路点拨】要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．9.点P是曲线y=x2一1nx上任意一点，则点P到直线y=x－2的距离的最小值是

A．1

B．

C．2

D．2参考答案：B略10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21参考答案：B【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若点满足线性约束条件的取值范围是

．参考答案：[﹣2,0)略12.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；②函数是圆的一个太极函数；③直线所对应的函数一定是圆的太极函数；④若函数是圆的太极函数，则所有正确的是__________．参考答案：（2）（3）（4）.对①显然错误,如图对②,点(0,1)均为两曲线的对称中心,且f(x)=sinx+1能把圆一分为二,正确对③,直线(m+1)x?(2m+1)y?1=0恒过定点(2,1)，满足题意。对于（4）函数为奇函数,与圆的交点恒坐标为(?1,1)，∴且，∴，令,得得t=1即x=±1；对,当k=0时显然无解,△<0即0<k2<4时也无解，即k∈(?2,2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分。若k=±2时，函数图象与圆有4个交点，若k2>4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二。故所有正确的是（2）（3）（4）故答案为：（2）（3）（4）13.A.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是

.参考答案：.

不等式可以表示数轴上的点到点和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点到点和点1的距离之和最小时即是在点和点1之间时，此时距离和为，要使不等式有解，则，解得.14.函数y＝log2(x2-x-2)的递增区间是

．参考答案：15.已知向量a=(1,—1),b=(2,x).若a·b=1,则x=＿＿＿参考答案：116.已知数列{an}满足，a1=0，数列{bn}为等差数列，且an+1=an+bn，b15+b16=15，则a31=．参考答案：225【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得an+1=b1+b2+b3+…+bn，从而a31==15（b15+b16），由此能求出结果．【解答】解：∵数列{an}满足，a1=0，数列{bn}为等差数列，且an+1=an+bn，b15+b16=15，∴an+1=b1+b2+b3+…+bn，∴a31=b1+b2+b3+…+b30==15（b15+b16）=15×15=225．故答案为：225．17.若函数，则不等式的解集为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；（2）当时，两曲线相交于A、B两点，求.参考答案：（1）曲线：，消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆的两个焦点分别是、，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.参考答案：（1）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得.

………1分由题意得

，

.

………4分故椭圆的方程为.

………6分（2）解：当轴时，显然.

………7分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由消去整理得.

………9分设，线段的中点为，则.

………10分所以，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得.

………12分当时，；当时，.所以，或.

………13分综上，的取值范围是.

………14分

略20.已知数列的满足a1=1，前项的和为，且（）．（1）求的值；（2）设，证明：数列是等差数列；（3）设，若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围．参考答案：（1）令n=1得a2=3．…………2分（2）因为，所以①．所以②，由②-①，得．………………5分因为，所以．所以，即，即，所以数列是公差为1的等差数列．…………8分（其它解法酌情给分）（3）由（2）知，因为b1=，所以数列的通项公式为bn=n．因为，所以，所以数列是常数列．由．………………11分所以因为所以数列{cn}为单调递增数列当时，cn≥c1=，即cn的最小值为………………14分由22-k+3<cn

，而当时，，当且仅当时取得，故.………………16分21.不等式选讲

已知，．（I）求证：，；（II）若，求证：．参考答案：（1）

………5分（2）

…………10分

略22.设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣a+在（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；（2）命题“若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，令g（x）=（﹣）2﹣，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥∴a的最小值为．（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈时，lnx∈，∈，f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有f（x